二连续与间断ppt课件

1、二、二、 延续与延续延续与延续 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 习题课习题课机动 目录 上页 下页 前往 终了 函数与极限函数与极限 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函数函数1. 函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 普通为曲线 )设,RD函数为特殊的映射:其中机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 函数的特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg那么复合函数

2、为 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及根本初等函数经有限次四那么运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例1. 设函数设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuf

3、f1,0 xx设其中).(xf求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.2.机动 目录 上页 下页 前往 终了 思索与练习思索与练习1. 以下各组函数能否一样 ? 为什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx与axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax与0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 与一样一样一样一样一样一样机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 以下各种关系式表示的 y 能否为 x 的函数? 为什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy2

4、2,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y机动 目录 上页 下页 前往 终了 0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xoxy110 x1xRx3. 以下函数能否为初等函数 ? 为什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2xxy1以上各函数都是初等函数 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 4. 设设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域 .5. 知知8,)5(8,3)(xxff

5、xxxf, 求. )5(f6. 设设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2机动 目录 上页 下页 前往 终了 f5. 知知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f66. 设设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、二、 延续与延续延续与

6、延续1. 函数延续的等价方式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(0 xfxf2. 函数延续点第一类延续点第二类延续点可去延续点腾跃延续点无穷延续点振荡延续点机动 目录 上页 下页 前往 终了 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .3. 闭区间上延续函数的性质例例3. 设函数设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 延续 , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1

7、xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 前往 终了 ) 1)()(xaxbexfx有无穷延续点0 x及可去延续点, 1x解解:为无穷延续点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去延续点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例5. 设设 f (x) 定义在区间定义在区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 假设 f (x) 在延续,0 x提示提示:)

8、(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf阅读与练习阅读与练习且对恣意实数证明 f (x) 对一切 x 都延续 .P64 题2(2), 4; P73 题5机动 目录 上页 下页 前往 终了 证证:P73 题题5. 证明证明: 假假设设 令,)(limAxfx那么给定,0,0X当Xx 时, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根据有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM那么),(,)(xMxf)(xf在),(内延续,)(limxfx存在, 那么)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1Myox机动 目录 上页 下页 前往 终了 三

9、、三、 极限极限1. 极限定义的等价方式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 极限存在准那么及极限运算法那么3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判别极限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x机动 目录 上页 下页 前往 终了 5. 求极限的根本方法

10、例例6. 求以下极限：求以下极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界机动 目录 上页 下页 前往 终了 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12机动 目录 上页 下页 前往 终了 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e那么有)()(1lim0 xvxxxu复习复习:

11、 假假设设,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1机动 目录 上页 下页 前往 终了 331xy例例7. 确定常数确定常数 a , b , 使使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例8. 当当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为设其为x的k阶无穷小,那么kxxxx

12、320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k机动 目录 上页 下页 前往 终了 阅读与练习阅读与练习1. 求的延续点, 并判别其 类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去延续点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷延续点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类腾跃延续点机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1