(整理)多元函数微积分练习题

1、练习题多元函数微分学部分练习题1求函数Z= 11 一的定义域Jx +yJx -yf (, y).2 已知 f (x _ y, Xy)=X2y2 _5Xy , 求3计算下列极限(1)Iim叱ey2(X,V) g X2 y22 2. X +yIim 44(X,y)J X ： y(3)3xyIim (x,y)_(O,O)Xy 4 _2(4)1(x,yi)m(0,1)(V XV)X(5)22l. 2xy + X yIim22-(x,y)_(2,1) x2y2(6)2 2Iim Sin 2(X T)(X,y) >(0,0)X2y24证明极限（x,y）! 冗不存在.X十V5指出函数f（x,y&quo

2、t;r 的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）Z=In（x2y）2（3）Z=X f （x, V）(2)(4)(XV)X(5)z =X4 v4 -3Xy 2y(6) Z= _ In(X2 y2)2x4yS 2 X(7) Z =e cos(3x V)(9)7计算下列函数的二阶偏导数42（1） Z=X 3xyyXV(3) Z =e Sin yy(8)Z = (1 XV)×2y2厂(10) Z= OSin .tdt(2)z = VIn(xy)2(4)Z=X f(x, V)2(5) z = f (xy, X )1(4) Z=Xy yf (x, y)8求下列函数的全微分(1) Z= XeXy(3

3、) Z= arcsin XyXy29 设 f (x,y) = Sint dt ,求 df .LI22EZ CZ10 (1) Z=UV-UV ,其中 U= XCOSy , V = ysin x,求,GX Gy(2)u = f(X, y, Z) = arctan(xy Z)，其中Z=COS(Xy),求三，ZCX:y(3)UA丄Z =e ， U= Sint, V =.2 dz t ,-dt(4)x22Zz = f ( , X -y ),求 ，；:zyJX(5)设 z = f (2x - y) g(x, Xy)Z,求一CZ ；? ?:X11(1)设 X2 2y -In( X y) = 0 ,求 .dx

4、ZCZ CZ(2)设 e = XyZ ,求 ，一.CX Cy(3)已知丿x+y+z2=0，求£ + y +z =1dxdzdydztX =1 +t1 +t12求曲线Jy= 在点t=1的切线及法平面方程tz =t213求曲线J*2丄2丄2CX + y + Z 6 在点Mo(1,-2,1)处的切线与法平面方程£ + y + z = 014求曲面ez - z xy =3在点M (2,1,0)处的切平面和法线方程2 215求函数Z=X (yT)的极值.2316求函数U=XyZ在条件Xya(Xly) Z) a - 0)下的极值.17求函数u =xy2z3在曲面x2 y2z2 -3xy

5、z =O上点P(1,1,1)处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数2 2 218 设 f(x, y,z)=x y Z xy-x y 3z ,求 gradf (1,2,3).多元函数积分学部分练习题1、改变下列二次积分的积分次序1 1(1)0dx x2 f (x, y)dy(2)1 yOdyy2f(X, y)dx2 y42(3)0dy 丄 f (x, y)dx 2dy y f (x, y)dx2 22、计算下列二重积分(1)1.Xyd二，其中区域D 是DX=2及y =X所围成的区域.(3)(4)(5)(6)I i(X y)d二，其中区域 D是曲线y2DH(x+y)do ,其中区域 D: X+y

6、D=4x及y=x所围成的区域.< 1.IICOS(X y)d二，其中区域 D是曲线y = x， y=0及X 所围成的区域.D22 2e"&-,其中积分区域 D为中心在原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域D112y2d二，其中积分区域为D : X2 y2 _ 1，2y2_ 2x， y _ 0 D23、设函数f (x,y)连续， 且 f (x, y) = xy + JjLf(X, y)dxdy ,其中 D 是由 y = 0, y = xD和X =1所围成的区域.fx2y2)d二4、设函数f(u)具有连续导数，且 f(0)=0，f(0)=3 ,求limX2 y2 疗叭35计算

7、下列三重积分(1) IiISin(X y z)dxdydz,其中是由三个坐标面与平面 XyZ所围成的立2体;(2) 计算IIiZdXdyd z,其中是由曲面za£2-x2-y2以及z=2y2所围成的空间形体2 2 2(3) 计算积分IIlXyZdXdydz,其中丨是球面X y Z <4在第一卦限的部分.6试计算立体：由曲面z=8x2y2及z=x2+y2所围成的体积.7计算 IIieZdXdydz,其中是球面 x2 y2z 1.8计算下列曲线积分2 2 2(1) (XydS,其中L为圆X +y =a在第一象限内的部分；(2) I(X2 y2 z2)dS，其中-是球面X2 y2 Z

8、 9与平面x y 0的交线.(3) JL(I+y3)dx-(2x + y)dy ,其中 L 是曲线 y3=2 上从点 0(0,0)到点 A(1,1)的一段 弧；(4) 计算 L ydx Xdy ,其中 L 为圆周 x = r COSV， y = r si nr 上由 V - 0 到 V - 2 二的一 段弧.(5) 在过点O(0,0)和A(;0)的曲线族科=asin x(a - 0)中求一条直线L，使沿该曲线到点O到点A的积分L (1 y3)dx (2x y)dy的值最小.(6)计算Ii - dS ,其中匕为球面X2 y2 z 4被平面z = 1截出的上半部分 送Z(7)计算 (x2 y2 z

9、2)dS，其中匕为锥面z X2 y2介于平面Z=O与z=1之间的部分.Z(8) 计算 H . e dxdy ,其中龙是锥面Z = J2+ y2夹在平面z = 1和Z = 2之间部 分的外侧.(9) 计算 I=x3dydz y3dzdx z3dxdy，其中二为以点 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)为顶点的三角形的上侧.1 29求曲线'"a 'y = at 'zSat( 0"绡'a0)的质量，设其线密度为10 (1)设L为取正向的圆周 x'+y2=9 ,计算曲线积分qL(2xy-2y)dx + (x2-4x)dy 的值.(2) 利用StokeS公式计算曲线积分I = ；： L ydx Zdy XdZ ,其中L是球面2 2 2 2X y Z =a与平面XyQ的交线，由Z轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.2(3) 计算对坐标的曲线积分L(Xy x)dx y dy ,其中L为X2 y2 =R2的第一象限由(0,R)到(R,0)的一段弧.(4) 已知,试确定 (x),使曲线积分Bsin X - (x)dx (x)dyAX与路径无关，并求当 A，B分别为(1,0)，(二，二)时线积分的值(5) 计算