《数学分析》(2)复习

1、 多元函数微分学多元函数微分学 数学分析数学分析（2 2）复习）复习（课本（课本 ch13,ch14,ch15,ch16ch13,ch14,ch15,ch16） 2.2.求多元函数求多元函数( (特别是含有抽象函数特别是含有抽象函数) )的一阶、二阶的一阶、二阶偏导数，全微分偏导数，全微分 3. 3.了解隐函数存在定理，会求由方程或方程组所确了解隐函数存在定理，会求由方程或方程组所确定的多元隐函数的偏导数定的多元隐函数的偏导数 （包括二阶偏导数）（包括二阶偏导数） 1. 1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续及他们

2、之间的关系存在、是否可微，偏导数是否连续及他们之间的关系考试要求考试要求 4. 4.求二元函数的极值，求二元函数的极值， 用拉格朗日乘数法求条件用拉格朗日乘数法求条件极值，最值问题极值，最值问题数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 基基本本题题型型二、求二元、三元初等函数的偏导数与全微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与全微分三、复合函数求导法三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复求带抽象函数记号的复 合函数的偏导

3、数与全微分合函数的偏导数与全微分四、复合函数求导法四、复合函数求导法求隐函数的求隐函数的( (偏偏) )导数与导数与 全微分全微分五、复合函数求导法五、复合函数求导法变量替换下方程的变形变量替换下方程的变形六、多元函数的极值与最值问题六、多元函数的极值与最值问题重重难难点点一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系1.1.二元函数的极限二元函数的极限数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学Ayxfyyxx),(lim00),(),(00yxyx是以是以“任意方式任意方式”题型一：求极限题型一：求极限常用方法常用方法：等价无穷小代换；利用无穷小量

4、与有：等价无穷小代换；利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量，界变量之积为无穷小量， 两边夹定理两边夹定理.题型二：题型二：证明重极限不存在证明重极限不存在 常用方法：常用方法：沿不同路径极限不同（如：沿过点沿不同路径极限不同（如：沿过点),(00yx的直线）；的直线）；2) 2) 沿某一路径极限不存在沿某一路径极限不存在. .yxxayxx 2)11(lim)1(),(),(=e 练习练习 )(22),(),()(lim)2(yxyxeyx =022)0,0(),()cos(1lim)3(yxxyyx 21 (4) 证明二重极限不存在证明二重极限不存在;lim2200yxxyyx数学分析（数学

5、分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学2. 讨论函数的连续性、可偏导性、可微性讨论函数的连续性、可偏导性、可微性),(),(lim0000yxfyxfyyxx连续连续)(),(),(0000oyBxAyxfyyxxfz可微可微 可微的判定可微的判定: :必要条件必要条件: : ),(00yxfx),(00yxfy与与都存在都存在; ;充分条件充分条件: : ),(yxfx),(yxfy),(00yx和和在在连续连续; ;是否都存在？是否都存在？与与),(),()0000yxfyxfiyx是否为零是否为零?ii）用定义判定可微性：用定义判定可微性：2200)0 , 0(limyxyfxfzy

6、xyx 一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在极限存在极限存在数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学 , 0, 00,),(. 12222222 yxyxyxyxyxf设设是否可微？是否可微？处是否连续处是否连续在点在点问问 )0 , 0(),(yxf练习练习 0, 00,sin)(),(. 2222222yxyxyxxyyxyxf设设.)0 , 0

7、(),(连续，但不可微连续，但不可微在点在点证明：证明：yxf数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学 0, 00,)(),(. 32222232222yxyxyxyxyxf设设.)0 , 0(),(连续，但不可微连续，但不可微在点在点证明：证明：yxf数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学定义定义 000000(,)(,)limlimxxxzf xyf xyxxx 若极限若极限存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数在点在点处对处对x的偏导数，的偏导数，( , )zf x y 00(,)xy00000()()()limlimxxf xxf xyfxx

8、x 一元函数一元函数在点在点的导数：的导数：( )yf x 0 x对于对于x的偏改变量的偏改变量二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学计算偏导数的方法计算偏导数的方法：求多元函数对某个自变量的：求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需将偏导数时，只需将其他变量看成常数其他变量看成常数，再用一元函，再用一元函数的求导法对此变量求导，即可得到偏导数。数的求导法对此变量求导，即可得到偏导数。多元函数求偏导数的实质是多元函数求偏导数的实质

9、是“在固定其他自变量的前提在固定其他自变量的前提下，对某个自变量下，对某个自变量求导数求导数”的问题。的问题。全微分：全微分：全微分全微分=各个偏微分之和各个偏微分之和二元函数二元函数( , )zf x y 三元函数三元函数( , , )uf x y z uuuuxyzxyz ddddzzzxyxy ddd二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学练习练习).0 , 1(),1 , 1(,)(),(. 1yxxyffyxyxf求求设设 . 0)0 , 1(, 2ln21)1 , 1( yxff).1 ,(

10、,arcsin)1(),(. 2xfyxyxyxfx求求设设 1 答案：答案：数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学根据结构图，根据结构图， “分线相加，连线相乘分线相加，连线相乘” “分路偏导，单路全导分路偏导，单路全导”对抽象或半抽象函数，注意对抽象或半抽象函数，注意.,),(的函数的函数求完偏导后仍然是求完偏导后仍然是对对vuvuvuf1. 复合函数求导复合函数求导),(vufz 有连续偏导数，有连续偏导数，),( ),(yxvyxu 2.全微分形式不变性全微分形式不变性vvzuuzzdddyyzxxzzddd则则三、复合函数求导法三、复合函数求导法求带抽象函数记号求带

11、抽象函数记号 的复合函数的偏导数与全微分的复合函数的偏导数与全微分数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学1. 设设 , 其中其中f (u,v)可微，求：可微，求： 。,yxzfxy zzxyxy 2. 设函数设函数z = f (x+y, x-y, xy) ，其中，其中f具有二阶连续偏导数，求具有二阶连续偏导数，求dz与与 。2zx y 练习练习.,),(. 322yxzxzfxyyxfz 求求，具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数，其中，其中设设.,),(. 4222zyuxufxzzyyxfu 偏偏导导数数，求求具具有有连连续续的的二二阶阶，其其中中设设数学分析（数学分

12、析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学四、复合函数求导法四、复合函数求导法求隐函数的求隐函数的( (偏偏) )导数导数 与全微分与全微分对于一个方程的隐函数求导，解题方法有如下二种：对于一个方程的隐函数求导，解题方法有如下二种：（1）公式法则；）公式法则；（2）推导法。）推导法。1 1、隐函数存在定理、隐函数存在定理2 2、隐函数求导法、隐函数求导法隐函数的个数隐函数的个数=方程的个数方程的个数隐函数的自变量个数隐函数的自变量个数=变量总个数变量总个数 方程的个数方程的个数数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学(1)公式法公式法(2)推导法推导法( (直接法直接法) )方法

13、步骤方法步骤0),( yxF)(xfy yxFFdxdy x、y、z 等各变量地位等同等各变量地位等同0),( zyxF),(yxzz zxFFxz zyFFyz 0),(0),(vuyxGvuyxF ),( , ),( yxvvyxuu 公式不必记公式不必记,要求掌握要求掌握推导法推导法方法方法1 将方程将方程(组组)两边同时两边同时对对某个某个自变量自变量求求(偏偏)导导；方法方法2 将方程将方程(组组)两边同时两边同时取微分取微分.数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学1. 存在存在由隐函数存在定理由隐函数存在定理设设, 1ln xzeyzxy）在在此此邻邻域域内内该该

14、方方程程（的的一一个个邻邻域域点点 ,)1 , 1 , 0(A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数);,( yxzz );,(),(yxzzzyxx );,(),(yxzzzxyy ).,(),(zxyyzyxxD练习练习数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学2. 设设z=f (x, y)由方程由方程 确定确定, 则则2 -32xzzey

15、3zzxy 。练习练习., 0,sin, 0),(),(. 42dxduzggfxyzexgzyxfuy求求一一阶阶连连续续导导数数，都都有有且且设设 ., , sincos. 5yzxzuvzveyvexuu 求求设设.),(2. 3233yxzyxzzaxyzz 求求确确定定隐隐函函数数设设方方程程数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学五、复合函数求导法五、复合函数求导法变量替换下方程的变形变量替换下方程的变形06,222222 yzyxzxzayxvyxu可可把把方方程程设设变变换换., 02avuz求求常常数数化化简简为为 3 a2.)0(,. 1 aayxvayxu

16、其中其中，利用变换利用变换. 022222 yzxza变换方程变换方程)0(2 vuz练习练习数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学六、多元函数的极值六、多元函数的极值1、无条件极值无条件极值二元函数：二元函数：( (极值必要条件极值必要条件) )如果如果z f(x,y)在点在点( (x0, y0) )处有处有极值极值，且两个一阶偏导数存在且两个一阶偏导数存在，则它在该点的偏导数必为零则它在该点的偏导数必为零，0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy 即即驻点可能是极值点，驻点可能是极值点，可能是偏导数不存在的点。可能是偏导数不存在的点。使一阶偏导数为零使一阶偏导数为零的

17、点称为驻点的点称为驻点极值点未必是驻点，极值点未必是驻点，数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学时时, 具有极值具有极值1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.的极值求),(yxfz 得驻点。解方程组, 0),(,0),(yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC极值的求法极值的求法第一步：求驻点第一步：求驻点第二步：判定第二步：判定 （对每一个驻点，求）（对每一个驻点，求）数学分析（数学分析（2 2）多元函数微分学多元函数微分学六、多元函数的极值六、多元函数的极值2 2、条件极值、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值