第五章分式与分式方程

1、第五章 分式与分式方程1 认识分式（一）教学目标1、能用分式表示现实情境中的数量关系。2、了解分式的概念，明确分式与整式的区别 .3、理解分式有意义的条件， 分式的值为零的条件； 能熟练地求出分式有意义的 条件，分式的值为零的条件 .重点、难点重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件 . 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件 教学方法 互动探究法 教学过程一、探索新知1、问题 1：课本 P108“土地沙化问题”（1） 2400x个 （ 2）2400 个x 30 个问题 2：P108“做一做”（ 1） 35a 45bab万人2) b 册ax问题 3：（1）长方形的面积是

2、10cm2，长为 7cm，则宽为 （10 cm2 )72）长方形的面积为S，长为a，2、观察代数式 ： 2400 ，x 共同特征？与整式有什么不同？ 3、引入分式概念2400x 30则宽为 ( s a 35a 45b abax和 s ，它们有什么 a一般地，用 A、B表示整式， A÷B可以表示成 A 的形式。如果 B 中含有字母，那 B么称 A 为分式。 其中 A 称为分式中的分子， B 称为分式中的分母。 对于任意一个 B分式，分母不能为零4、练习（1）下列各式中，哪些是分式，哪些是整式？ b 2a b x 1 2a 5 1 xy2a 4x 2 25、分式与分数 分式与分数都是 A

3、 的形式BA 分数 A 的分子与分母都是整数B 分式 A 的分子与分母都是整式，且 B中含有字母B 当分式中的字母取具体数时，它就成了分数。二、讲例1、例1（1）当a 1,2, 1时，分别求分式 a 1 的值；2a 1（2）当 a 取何值时，分式 a 1 无意义？有意义呢？2a 1a 1 1 1解：（ 1）当 a=1 时， a 1 = 1 1 =22a 1 2 1 1 a 1 2 1当 a=2 时，= =12a 1 2 2 1a 1 1 1当 a=-1 时，= =02a 1 2 （ 1） 11（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，由分母 2a 1 0，得 a 1 ，所以2当a 1 时，分式

4、a 1 无意义。除此之外，分式都有意义，所以当 a 1 时，分2 2a 1 2 式 a 1 有意义。2a 12、补充练习 ： （1）当a取什么值时，分式 a2 1 有意义？2a2 1（2）当 y 是何值时，分式 y 3的值是 0？y3y2 3（3）当 y 是何值时，分式 y 3的值是 0？ y3（4）若代数式 （x 2）（x 1）的值为 0，则 x的值是？注：分式的值为 0，则分子为 0，且分母不能为 0.三、巩固练习P109“随堂练习”及习题 5.1 第 1-5 题。四、课堂小结五、布置作业分式（二）教学目标1、经历探索分式基本性质的过程，了解并熟练掌握分式基本性质。2、利用分式的基本性质对

5、分式进行适当变形。3、了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法。4、了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式。 重点、难点 重点：掌握分式基本性质，并利用分式基本性质约分。难点：分子、分母是多项式的约分 教学过程一、 复习引入1、下列分数是否相等？可以进行变形的依据是什么？2 ， 4 ， 8 ， 163 6 12 242、分数的基本性质是什么？怎样用式子表示？ 分数的基本性质：一个分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为 0 的数，分数的值不变。一般地，对于任意一个分数都有：a a.cb bca c (c 0) bc二、 讲解新课1、 分式的基本性质1） 分式 2aa与12相等吗？相等吗

6、？相等）mn m（ 2） 归纳分式的基本性质 ：分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为 式的值不变。0 的整式，分ACBC（C 0） ，其中 A、B、C是整式。注：所乘（或除以）的必须是同一个整式所乘（或除以）的整式不等于零。2、 讲例下列等式的右边是怎样从左边得到的？1）2bx 2bxyy (y o)2）axbx解：（ 1）因为 y 0，利用分式的基本性质，在 b 的分子、分母中同时乘以 y ，2x即可得到右边，即 b b y by2x 2 x y 2xy2） 可以由分子、分母同时除以 bxx得到，即 ax ax x bx bx x3、分式的约分 （约去公因式 ）a 2bcx2 1例 2

7、 化简下列各式：（1） a bc （2） 2 x 1 abx2 2x 1解：（1）a 2bc =a2bc abacab ab ab2）x 2 1 (x 1)(x 1) x 1 x2 2x 1 = (x 1)2 = x 1如果分子分母是多项式的分式，应先将它们分别分解因式4、最简分式分式约分的目的是将分式化简。化简的结果中没有公因式，这种分式称为最简分式。因此，通常使结果化成为最简分式或整式。2、（1） x 与 x 有什么关系？ yyx与 x有什么关系？yy2） x 与 x 有什么关系？ yy与 x 有什么关系？ y如：（1） 5xy2（2）a(ab)20x2yb(ab)三、 练习1、化简下列各

8、式（231)12x32y23（2）xy9x3y2(x y)3、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母不含“ - ”号1）6x25y22) a2b3）4m3n4）x2y4、不改变分式的值，使分子、分母的系数变为整数1）x 0.5y0.2y 0.3x32 xy 2) 2334 yx43四、小结1、分式的基本性质及化简2、分式的变号法则：分式本身及其分子分子、分母这三处的正负号中，同时改变两处，分式的值不变，改变一处或三处，分式的值变为相反数。五、布置作业1填空：(1)22x =(2)x2 3x x 3(3) b 1=(4)3 2 36a3b2 3a322x y =x y2x y 22约分：(1)6

9、3aab22bc2)8m2n2mn23)4x2 yz316xyz54)2(x y)3yxa c an cn3通分：121) 2a1b3 和5a22b2c2)a2xyb3x23)3c2ab2和 8bac24)1和1y 1 y 14不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“- ”号.(1)x3y3ab2(2)3 a 17b25a3) 13x2(4)(a b)2m5不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“- ”号.1)2a babx 2y3x y分式的乘除法教学目标1、认识分式的乘除法，并理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.2、掌握简单分式的乘除运算，并能解决一些与分式乘除法有

10、关的简单实际问题 重难点重点： 会用分式乘除的法则进行运算 .难点： 灵活运用分式乘除的法则进行运算及约分。 教学方法 引导探究法 教学过程一、情境导入1、观察下列算式2 4 2 4 85252103 5 3 5 157979632 4 2 5 2 55525959453 5 3 4 3 4679727214猜一猜： b d ?bd?acac二、探究新知（“数”“式”相通）1、分式的乘除法法则（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母b d bd： a c ac 2）两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘如： b d b c bca c a d ad2、约分

11、把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 练习：计算1）23a 2y24y 3a22）a 2 1a 2 a2 2a(3)(a2a)aa1(4) 3xy2 6yx(5)(a2 a)aa1三、补充练习1、计算ba（ 1）2a b 22）x2 1 x 12yy23）x2 1(x 1) 21x1(x 1)归纳：如（ 3）分式乘除混合运算，将分式的乘除混合运算统一化成乘法运算， 并判断运算的符号，能约分的要约成最简分式或整式。112、已知 a 2 2 2 27k 2 30k2 4k 2k 2 3a 1 0 ，求（ 1） a（2）a22aa21解：（1）因为 a2 3a 1 0，a 0，

12、所以两边同时除以 a，得 a 3 1 0，所a以 a 1 3a（2）a2 12 =（a 1 ）2-2=（-3）2-2=7aa四、拓展22若2a 3b，求2a2 ab 3b2 的值。3a 5ab b解：因为 2a 3b，所以设 a 3k ，b 2k （k 0），所以，22=2 (3k)2 3k 2k 3 (2k) 2223 (3k)2 5 3k 2k (2k)222 2 218k 2 6k 2 12k224k2五、课堂小结六、布置作业分式的加减法（一）教学目标：1、熟练地进行同分母的分式加减法的运算 2、会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减。3、类比分数的加减运算学习分式的加减运算。重

13、难点重点： 熟练地进行同分母分式加减法及简单的异分母的分式加减法的运算 难点： 正确地运用运算法则，灵活运用解题技巧进行分式加减法的运算 教学过程一、情境导入1、计算：5316662、12aa3、归纳：同分母分式加减，分母不变，把分子相加减4、练习1）2xx24=x2(2)x 2 x 1 x 3 =x 1 x 1 x 15、简单的异分母分式相加减（ 1）计算2 1 5346（ 2）计算 3 1 a 4a根据分式的基本性质， 异分母的分式可以化成为同分母的分式， 这一过程称为 分式的 通分 。异分母的分式加减法法则 ：异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式， 然后再按同分母分式的加减法法

14、则进行计算。异分母加减：先找 最简公分母 再通分转化为同分母加减， 最后把结果化成最简 练习：找最简公分母1）x 1 2 3x2ax2）3a2a b1b 2a3）aa29a12 a 2 6a 9例题 3： 计算1）3 a 15 a 5a2）11x 3 x 33）2a 1a 2 4 a 2例题 4：小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度是 2vkm/h。小刚需要走 1 km的上坡路、 2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速 度为 vkm/h，在下坡路上的骑车速度为 3 vkm/h. 那么（1）小刚从家到学校需要多长时间？2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间解

15、：( 1)小刚从家到学校需要 1 2 3 2 5 (h)v 3v 3v 3v(2) 小丽从家到学校需要 3 (h) 。因为 5 > 3 ，所以小丽在路上花费的时间少 2v 3v 2v小丽比小刚在路上花费的时间少 5 - 3 =10 9 1 (h)3v 2v 6v 6v二、巩固练习1、P “随” 1、 2及习题 第 1题。2、某长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费 b元，如果某人打该长途电话被收费 8 元，则此人打电话时间是 三、补充习题1、(1)2 x 1 x11x2)x 3yx 2y 2x 3y222 2 2 2x y x y x y3)1 1 x

16、6 x3 62x x2 91112、已知 x1z11 ，求 y1?yxz三、布置作业(课后练习册)分式加减（二）教学目标1、进一步掌握异分母的分式加减 2、学会通分的方法，积累通分的经验重难点 重点：理解通分的意义，掌握异分母的分式加减运算 难点：正确通分，化异分母分式为同分母分式 教学过程 一、讲例22）x* x1 x 1 （3）aa3 a219a1a31、例 5：计算（1） y 1 xy x xy x例 6：已知 x 2 ，求 yxxy23、做一做（ P123） 解：（1）原计划需要 1120 天，实际用了 1120 天。x x 10（ 3） 实际比计划缩短了 121200 天。x2 10

17、 x二、巩固练习 1、P123“随堂”第 1、2 题 2、先化简，再求值2当x 1，y 2时，求代数式 （ 1 1 ） 2xy 2 的值2 x y x y x2 y2323、已知 a2 a 1 0，求分式 a 22a 6 的值 aa三、布置作业习题 5.6 第 1、2、3、4 题分式加减（三）教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算 重点、难点熟练地进行分式的混合运算 .教学过程一、分式的混合运算 1、分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：分式的混合运算顺序 ：先乘方，再乘除，然后加减 , 如遇到有括号的，就先算括 号内的，再算括号外的。最后结果分子、分

18、母要进行约分，注意最后的结果要是 最简分式或整式 .注：（1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母的转 化成同分母再相加减。 （2）要灵活运用交换律、结合律、分配律。2、讲例1)(x22x 2xx1x2 4x 44xx2）2 xy4x4y2x4 4 2 2x y x y x y x y二、巩固练习1、计算1) (1y )(1 x )x y x y2)(a2a2 2aa12a 4a 44a2a13)(1 2 1xyzxyxy yz zx112、(1)由 1 1 11 2 211 . 你能总结出41n(n 1)n 为正整数）的结果吗？2）化简(x 8)(x 9)分式方程（一）教

19、学目标： 1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示.2、了解分式方程的概念 , 及发展学生分析问题、解决问题的能力。 重点、难点根据实际问题中的数量关系列出分式方程。教学过程一、引例甲乙两地相距 1400km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9h ，已知 高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍。（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ （2）如果设特快列车的平均行驶速度为 xkm /h, 那么 x 满足怎样的方程？1400 14009x 2.8x（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 yh，那么 y 满足怎样的方程？140014002.8yy 9二、做一做与议一议 P1

20、25 （ 1）“做一做” 解： 4800 5000x x 20（ 2）“议一议” 观察下列方程有什么特点？1400 1400x 2.8x14001400480050002.8yy 9 xx 20（ 3）分式方程 三、随堂练习分母中含有未知数的方程叫做分式方程1、下列方程不是分式方程的是（A、23x x -2B、2、P125“随堂”第 1、3 2x 1 5x 2题7 2x 135315x 1 x四、小结 分式方程特征： 含分母， 分母中含有未知数； 分式方程与整式方程统称为有 理方程，如 x 1 就不是分式方程x五、布置作业（习题 5.7 第1、2、3 题）分式方程(二)教学目标1、了解解分式方

21、程的一般步骤以及解分式方程验证根的必要性。2、让学生独立探索分式方程的解法，体会解分式方程的必要步骤。 重难点 重点：了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。 难点：明确分式方程验根的必要性。教学方法 启发式、引导式 教学过程 一、复习旧知，引入新课 1、解方程：(1) 3x 8 18( 2) 3x 1 5x 2 2232、你能求出分式方程： 1400 1400 9 的解吗？x 2.8x二、探索新知1、讲例1)13x 2 x解：方程两边都乘以 x(x 2) ，得x 3( x 2)解这个方程，得 x 3检验：将 x 3代入原方程，得左边 =1，右边 =1，左边 =右边。 所以 x 3是

22、原方程的根。解分式方程的三大步骤： 方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程。 解这个整式方程把整式方程的根代入最简公分母， 看结果是否为零。 使最简公分母为零的根是 原方程的增根，应舍去，使最简公分母不为零根才是原方程的根。2、议一议( 1)解方程 1 x 1 2x 2 2 x解：方程两边都乘以 (x 2) ，得1 x 1 2(x 2)解这个方程得 x 2 检验，当 x 2 时， x 2 0 所以 x 2 是增根，舍去所以原方程无解(2)增根使原分式方程的最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去3、例 2 解方程： 480 600x452x三、随堂练习 课本第 128 页“随

23、” 四、补充习题解方程： 5x 4 1 2x 4 2x1、2x 52、3、3x 6关于 x 的方程 x 3m m 有增根，且 m 1 ，求 m 的值。x 1 1 x 3关于 x的方程 6 m 1无解，求 ( 2 1 ) (m2 1)的值。 x 3 x 3 m 1 m 1五、小结六、布置作业习题 5.8 第 1、3、4 题分式方程（三）教学目标 1、通过日常生活的情境创设，探索分式方程应用的过程，会验根。 2、进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。重难点 重点：会列出分式方程解简单应用题，并会检验根的合理性。 难点：寻求实际问题中的等量关系，正确列出方程。教学过程一、提出问题，引入新课P129 解：（1）等量关系 ：第二年每间房屋的租金 =第一年每间房屋的租金 +500 第一年出租的房屋间数 =第二年出租的房屋间数出租的房屋间数 =所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金 （2）问题：每年各有多少间房屋出租？这两年每年房屋的租金各是多少？ 二、探索新知1、问题：解：设每年有 x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为 9