第二章导数与微分

1、第二章 导 数 与 微 分(一) 本 章 内 容 小 结(二) 常见问题分类及解法(三) 思 考 题(四) 课 堂 练 习( (一一) ) 本章内容小结本章内容小结一、内容提要一、内容提要1、导数定义，单侧导数，可导充要条件。2、导数的几何意义，导数和切线的关系，光滑曲线和导数 的关系。3、可导和连续的关系。4、基本初等函数求导公式。5、导数的四则运算。6、复合函数求导法则，反函数求导法则，参数方程确定的函 数求导法则。 7、幂指函数的求导方法。v xyu x8、高阶导数；二阶导数的一个物理模型。9、微分的定义，函数的微分和增量关系，导数和微分关 系，微分公式和微分运算，一阶微分形式不变性，近

2、 似计算。二、基本要求二、基本要求1、正确理解导数的概念(导数是变化率问题抽象出来的数学 概念)；会用导数定义求一些最简函数在某点的导数值。2、牢固掌握导数几何意义，快速确定切线方程和法线方程。3、熟练应用本节内容的各种求导法则；解决一切初等 函数求导问题。4、熟练应用微分公式和法则，解决一切初等函数微分问题。四、对学习的建议四、对学习的建议 本章绝大部分内容都是微分学中的基本内容，其中导数和微分是最基本的概念，务必理解透彻，牢固掌握。求导和求微分的运算也是高等数学的基本功，力求运算正确，快速娴熟。 基本初等函数的导数公式是求导运算的基础，应熟记于心。复合函数的分解是复合函数求导的基础，也应运

3、用无误。函数的和、差、积、商的求导法则、复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程所确定的函数求导法则以及取对数求导法都是求导的基本法则，都要运用熟练，其途径在于多练、多总结。五、本章关键词五、本章关键词导数微分( (二二) ) 常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、求显函数的导数一、求显函数的导数 利用基本初等函数的求导公式，运用函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，可以求出一般显函数的导数。例例1 1 求下列函数的导数：3sinln(1) ；xyexxx2lncos(2) ；yxxcos ln(3) ；yxxxsinsin(4) ；xxyxx22ln(5)

4、；yxxa2arcsin.3(6) xy利用求导公式和求导法则求解：33sinlnsinln(1) xxyexxxexxx 33sinsinlnlnxxexexxxxx231sincos3lnxxexexxxxx22sincos3lnxexxxxx解解2221lncoscoscos(2) yxxxxxx 2212 cossincosxxxxxx2cossin2tancos ；xxxxxxxxxxxxxxxxxxxy)(lncosln)(coslncos)lncos(3）（xxxxxxcoslnsin-lncosxxxxxcoslnsin-cos）（2lncos(2) ；yxxcos ln(3)

5、 ；yxxx22sincossinsincossinsin(4) xxxxxxxxyxxxx 2222222211212(5) xyxxaxxaxxaxa 2222222211 ；xaxxxaxaxasinsin(4) ；xxyxx22ln(5) ；yxxa212 arcsinarcsin2arcsin333313(6) xxxxyx 22arcsin3.9xx2arcsin.3(6) xy二、求隐函数的导数二、求隐函数的导数,0. 对于由方程所确定的隐函数 ，可以利用方程两边对 求导的方法，注意遇到 时应当视 为 的函数进行求导，最后解出 即可f x yyxyyxy2ln 求由方程 确定的函

6、数 的导数.yxyy例例2 2将方程两边对 求导，得x212 lnyxyxyy解出 ，得y22lnxyyyyx 11lnln. 注意解题过程中 的求导是 ，而不是 ， 看成了 的复合函数yyyyyx解解三、用三、用“取对数求导法取对数求导法”求函数导求函数导数数 1212对于幂指函数 和 的显函数，可以先对等式两边取对数变为隐函数，然后再根据隐函数的求导方法求导.v xnkmux uxuxyu xyvx vxvx例例3 3求下列函数的导数：cos2(1) ；xyx23312(2) .xxxyxex(1)两边取对数得lncos2lnyxx两边对 求导，得x112sin2 lncos2yxxxyx

7、 解解cos2cos2cos22sin2 ln2sin2 lnxxxyxx yxx xxx (2)两边同时取对数231lnln1ln2lnln3xyxxxex两边对 求导，得x223111231312xxxxeyyxxxex 23231211231.312因此 xxxxxxeyxxxexxex 四、求由参数方程所表示的函数的导数四、求由参数方程所表示的函数的导数 . 对于由参数方程所表示的函数，可以直接由公式来求导xxtyttyt 33sin.cos 已知参数方程为 ，求 xtdydxyt 例例4 43223cos3cossincot .3sincossintdytttdxttt 解解五、求函

8、数微分五、求函数微分 利用微分的定义、一阶微分形式不变性和微分运算法则可以求出函数的微分。2arctan. 求函数 的微分yxx例例5 5利用微分形式不变性和微分运算法则222arctanarctanarctandyd xxx d xx dx22221arctan22 arctan11xxxdxxdxxxdxxx解解六、求曲线上一点的切线方程六、求曲线上一点的切线方程 根据导数的几何意义，可以求出函数曲线上某一点处的切线方程和法线方程。3132,3 求曲线在点处的切线和法线方程。yxxm例例6 6 解解 233323111313131333yxxxxxx 2,32,3 由导数的几何意义可知，函

9、数在点处的导数等于曲线在点处的切线的斜率，即mm20 xky2,3因此曲线在点处的切线方程为m3023，即 yxy2.所以法线方程为 x 2,302. 注意：本例题中曲线在处的切线斜率等于 ，所以，曲线在该点处的法线斜率不存在，即法线是垂直于 轴的，法线方程直接写出为mxx (三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 1 , ?、已知运动规律试说明，分别表示什么ss ts tst2、可导与连续的关系是什么?3、什么是一阶微分形式不变性? 4、求隐函数导数的过程是怎样的? 应注意什么?（四）课堂练习题（四）课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案arctan3ln3 .1、，求xyxxy2cos .、，可微,求xyf efdy13 .、，是隐函数，求xyyexyyy 424 0 .、，求xyey返返 回回 1 .、表示物体在时刻 的速度；表示物体的加速度s ttst返返 回回2、可导必连续，而连续不一定可导.返返 回回 .3、函数，不论是中间变量或是自变量，恒有，该性质就是一阶微分形式不变性yf uudyfu du返返 回回4 0 .、对于方程，所确定的隐函数，可以利用方程两边对求导的方法；要注意的是：遇到时应当视为的函数进行求导，最后解出f xyyxyyxy返返 回回211arctan3ln313 ln3.1、：xxyxxx 解返返 回回2