2022年八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案

1、初二数学第十一章全等三角形综合复习切记： “有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例 1.如图，,a f e b四点共线，acce ，bddf，aebf， acbd 。求证：acfbde 。思 路 ： 从 结 论a c fb d e 入 手 ， 全 等 条 件 只 有a cb d ；由aebf两边同时减去ef得到afbe，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是cfde，也可以是ab。由条件 acce ，bddf可得90acebdf， 再加上aebf，acbd ，可以证明acebdf，从而得到ab。证明acce ，bddf90acebdf在 rt

2、ace 与 rt bdf 中aebfacbd rt acertbdf (hl) abaebfaeefbfef，即afbe在acf 与bde中afbeabacbdacfbde (sas) 思考 ：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结： 本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例 2.如图，在abc 中，be是 abc的平分线，adbe，垂足为d。求证：21c 。精品学习

3、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -思路：直接证明21c 比较困难， 我们可以间接证明， 即找到， 证明2且1c 。也可以看成将2“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将ad延长交bc于f，则构造了 fbd ，可以通过证明三角形全等来证明2=dfb，可以由三角形外角定理得dfb= 1+c。证明 ：延长ad交 bc 于f在abd与fbd中90abdfbdbdbdadbfdbabdfbd(asa 2dfb又1dfbc21c 。思考 ：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三

4、角形。例 3. 如图，在abc 中， abbc ，90abc。f为ab延长线上一点， 点e在 bc 上，bebf，连接,ae ef 和 cf 。求证：aecf 。思路： 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段ae为边的abe绕点b顺时针旋转90到cbf的位置，而线段cf正好是cbf的边，故只要证明它们全等即可。证明 ：90abc，f为ab延长线上一点90abccbf在abe与cbf 中abbcabccbfbebfabecbf (sas) aecf 。思考 ：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结： 利用三角形全等证明线段或角

5、相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -例 4. 如图，ab/ cd ，ad/ bc ，求证：abcd 。思路： 关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。证明 ：连接 acab/cd ，ad/ bc12，34在abc与cda中1243accaabccda (asa) abcd 。思考 ：连接四边形的对角线，

6、是构造全等三角形的常用方法。例 5. 如图，,ap cp 分别是abc 外角mac 和nca 的平分线，它们交于点p。求证：bp为mbn 的平分线。思路： 要证明“bp为mbn 的平分线”，可以利用点p到,bm bn的距离相等来证明，故应过点p向,bm bn作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,ap cp 分别是mac 和nca 的平分线”，也需要作出点p到两外角两边的距离。证明 ：过p作pdbm于d， peac 于e， pfbn 于fap平分mac ，pdbm于d， peac 于epdpecp 平分nca ， peac 于e， pfbn 于fpepfpdpe，pepfpdpfpdpf，且pd

7、bm于d， pfbn 于fbp为mbn 的平分线。思考 ：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -例 6. 如图，d是abc 的边 bc 上的点，且 cdab ，adbbad，ae是abd的中线。求证：2acae 。思路： 要证明“2acae ” ，不妨构造出一条等于2ae的线段，然后证其等于ac。因此，延长ae至f，使efae。证明 ：延长ae至点f，使ef

8、ae，连接df在abe与fde中aefeaebfedbedeabefde(sas) bedfadfadbedf，adcbadb又adbbadadfadcabdf， abcddfdc在adf与adc 中adadadfadcdfdcadfadc (sas) afac又2afae2acae 。思考 ：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7. 如 图 ， 在abc 中 ， a ba c，12，p为ad上 任 意 一 点 。 求 证 ：abacpbpc 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4

9、 页，共 9 页 - - - - - - - - -原图法一图法二图思路： 欲证 abacpbpc ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差， 故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段abac 。而构造 abac可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明 ：法一：在ab上截取 anac ，连接 pn在apn 与apc 中12anacapapapnapc (sas) pnpc在bpn 中， pbpnbnpbpcabac ，即 ab acpb pc。法二：延长 ac 至m，使amab，连接pm在abp与amp中12abamapapabpamp(sas) pbpm在pcm 中，

10、 cmpmpcabacpbpc 。思考 ：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结： 本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

11、- - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -a. 两直角边对应相等b. 一锐角对应相等c. 两锐角对应相等d. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一abc的是 ( ) a. 3ab，4bc，8cab. 4ab，3bc，30ac. 60c，45b，4abd. 90c，6ab3. 如图，已知12，acad，增加下列条件：abae；bced；cd；be。其中能使abcaed的条件有 ( ) a. 4 个b. 3 个c. 2 个d. 1 个4. 如图，12，cd，,ac bd交于e点，下列不正确的是( ) a. daecbeb. cedec. dea不全等于cbed

12、. eab是等腰三角形5. 如图，已知abcd，bcad，23b，则d等于 ( ) a. 67b. 46c. 23d. 无法确定二、填空题：6. 如 图 ， 在abc中 ，90c，abc的 平 分 线bd交ac于 点d， 且:2 : 3c da d，10accm，则点d到ab的距离等于 _cm；7. 如 图 ， 已 知abdc，adbc，,e f是bd上 的 两 点 ， 且bed f， 若100aeb，30adb，则bcf_；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -8. 将 一 张 正 方

13、 形 纸 片 按 如 图 的 方 式 折 叠 ，,bc bd为 折 痕 ， 则cbd的 大 小 为_；9. 如图，在等腰rt abc中，90c，acbc，ad平分bac交bc于d，deab于e，若10ab，则bde的周长等于 _；10. 如图，点,d e f b在同一条直线上，ab/cd，ae/cf，且aecf，若10bd，2bf，则ef_；三、解答题：11. 如图，abc为等边三角形， 点,m n分别在,bc ac上，且bmcn，am与bn交于q点。求aqn的度数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -12. 如图，90acb，acbc，d为ab上一点，aecd，bfcd，交cd延长线于f点。求证：bfce。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -同步练习的答案一、选择题：1. a 2. c 3. b 4. c 5. c 二、填空题：6. 4 7. 708. 909. 10 10. 6 三、解答题：11. 解：abc为等边三角形abbc，60abcc在a