2022年函数的单调性与最值(基础+复习+习题)

1、精品资料欢迎下载函数的单调性与最值一.函数单调性和单调区间的定义：类别增函数减函数y图像描述o x1x2x自左向右 看： 图像是yo x1x2x自左向右 看： 图像是一般地，设函数f x的定义域为 a ，区间 ia，假如对于区间 i 内任意两个自变量x1, x2i单调性当 x1x2 时，都有，当 x1x2 时，都有，那么，就称定义f x在区间 i 上是增函数那么，就称f x 在区间 i 上是减函数如函数单调f x在区间 i 上是增函数或减函数，就称函数f x在这一区间具有，区间 i 叫做f x 的区间导数2. 函数单调性的定义：假如函数fx 对区间 d 内的任意x1, x2 ，当x1x2时都有

2、fx1f x2 ，就fx 在 d 内是增函数；当x1x2 时都有 fx1fx2，就 fx 在 d 内时减函数；设函数yf x在某区间 d 内可导，如 fx0 ，就yf x 为 xd 的增函数；如 fx0 ，就yf x 为 xd 的减函数 .3. 单调性的定义的等价形式：fx1fx2设 x1, x2a, b，那么x1x20f x 在a,b 是增函数；fx1 x1fx20x2fx 在a,b 是减函数；x1x2fx1fx20f x 在a, b 是减函数；4. 函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即如 f x 在区间 d 上递增（递减）且f x1 f x2 x1x2 x1 , x2d ；如 f

3、x 在区间 d 上递递减且f x1f x2x1x2 . x1, x2d .5. 在公共定义域内，利用函数的运算性质：如f x 、g x 同为增函数，就f xg x 为增函数；1f x0为减函数；f xf xf x0为增函数；f x 为减函数 .针对性练习1. 函数 y1的单调区间是（）xa（-， +）b.（-，0） （1， ，）c.（-， 1） 、（1， ）d.（-， 1） （1， ）2. 以下函数中 , 在区间（ 0,2 ）上为增函数的是 .ay3x2by3 xc yx24 x5dy3 x28 x103. 函数yx22x3 的增区间是（）；a-3 ，-1b-1,1 c 1a1 ,3d 1,3

4、4、已知 f x 是定义在 2，2 上的减函数，并且 f m 1 f 1 2m 0，求实数 m的取值范畴5、定义在（ 1，1）上的函数f x 是减函数，且满意：f 1af a ，求实数a 的取值范畴；6. 已知函数 f x x3 3x2 9x，就函数 fx的单调递增区间是a 3,9b ， 1， 3， c 1,3d ， 3， 9， 解析： 选 b f x x3 3x29x， f x 3x2 6x 9 3x2 2x 3 令 f x 0 知 x3 或 x 1.7. 已知函数f xx22a1) x2 在区间 ,3 上是减函数，求实数a 的取值范畴二.函数的最值前提设函数yf x 的定义域为 i ，假如

5、存在实数 m 满意1 对于任意 xi ，都有条件2 存在 x0i，使得1 对于任意 xi ，都有2 存在 x0i，使得m 为最大值m 为最小值结论2例 1、f x x 2x x 2,4 的单调增区间为 ；f x max .2 1 函数 f x 1在2,3上的最小值为 ，最大值为x1针对性练习1. 函数 y 4xx2， x0 ，3 的最大值、最小值分别为 a4 ， 0b2 ，0c3 ， 0d4 ，32. 函数 y1xx 2的最小值为 a1b1c2d423、函数 y3 xx 22) 在区间 0，5上的最大值、最小值分别是（）a.3 ,07b.3 ,02c.3 , 327d.最大值 3 7，无最小值；4函数 y 2x24x 1x 2，3 的值域为5函数 y2xx2的值域为6、函数y x24x5 x0,3的值域是；7求函数f x2x , xx, x0 的值域0三. 常见初等函数的单调区间幂函数指数函数对数函数三角函数四.复合函数的单调性1、定义：设 y=fu,u=gx,当 x 在 u=gx 的定义域 中变化时，y=fu的定义域内变化，因此变量u=gx 的值在x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系，记为y=fu=fgx称为复合函数，其中x 称为自变量， u 为中间变量， y为因变量 即函数 2 、复合函数 fgx的单调性与构成它的函数 u=gx ，y=fu 的单调