复变函数与积分变换

1、复变函数与积分变换第二节 目录 上页 下页 返回 结束 引言引言: : 在十六世纪中叶，在十六世纪中叶，g. cardano (1501-1576) 在研究一元二次在研究一元二次方程方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被复数被cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的被认为是没

2、有意义的，不能接受的“虚数虚数”。直到十七与十八世纪，。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 l.euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的euler公式公式 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到威瑟尔然而一直到威瑟尔( c.wessel 挪威挪威.1745-1818)和阿尔冈和阿尔冈( r.argand法国法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及）将复数用平面向量或点来表示，

3、以及k.f.gauss (德国德国1777-1855)与汉密尔顿与汉密尔顿w.r.hamilton (爱尔兰爱尔兰1805-1865)定义定义 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，疑虑，“复变函数复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。1040 xx515515与cossinieiaib复数复数第二节 目录 上页 下页 返回 结束 意大利医生、数学家、占星术家。一般称其英文拼法名字卡当意大利医生、数学家、占星术家。一般称其英文拼法名字卡当( (cardancardan) )。1501

4、1501年年9 9月月2424日生于帕维亚，日生于帕维亚，15761576年年9 9月月2121日死于罗马。日死于罗马。早年学习古典文学、数学和星占学，后入帕维亚大学读医学，早年学习古典文学、数学和星占学，后入帕维亚大学读医学，15261526年获医学年获医学博士学位。博士学位。15341534年成为数学教师。年成为数学教师。15391539年到米兰医学院任教，年到米兰医学院任教，15431543年成为帕年成为帕维亚大学医学教授。他在医学上曾是闻名全欧的医生，也是第一个记载斑疹维亚大学医学教授。他在医学上曾是闻名全欧的医生，也是第一个记载斑疹伤寒病医疗方法的人。伤寒病医疗方法的人。 在数学上以

5、记载三次和四次代数方程的一般解法而著称，发表在在数学上以记载三次和四次代数方程的一般解法而著称，发表在15451545年年出版的出版的大术大术一书中。他说明解法取自另一数学家塔尔塔利亚，并且一名一书中。他说明解法取自另一数学家塔尔塔利亚，并且一名叫费罗的人在叫费罗的人在 3030年前已得知，但都没有证明，他本人用几何方法对三次方程年前已得知，但都没有证明，他本人用几何方法对三次方程求解公式进行了证明。实际上塔尔塔利亚只告知了两种特例情形，而卡尔达求解公式进行了证明。实际上塔尔塔利亚只告知了两种特例情形，而卡尔达诺叙述的公式具有一般性，因此后人称这一公式为卡尔达诺公式或卡诺叙述的公式具有一般性，

6、因此后人称这一公式为卡尔达诺公式或卡当公式。当公式。 书中还记载了他的学生费拉里发现的四次代数方程的一般解法，还有代书中还记载了他的学生费拉里发现的四次代数方程的一般解法，还有代数基本定理和韦达定理的初级形式，解方程中虚根的使用等许多方程的基本数基本定理和韦达定理的初级形式，解方程中虚根的使用等许多方程的基本理论。理论。 他被誉为他被誉为1616世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物和百科全书式的学者，世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物和百科全书式的学者，一生共写了各种类型论著一生共写了各种类型论著200200多种，内容涉及力学、机械学、天文学、化学、多种，内容涉及力学、机械学、天文学、化学、生物

7、学、密码术、及占星术等等。生物学、密码术、及占星术等等。 卡尔达诺（卡尔达诺（cardano, girolamo, 1501-1576cardano, girolamo, 1501-1576）第二节 目录 上页 下页 返回 结束 复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域 的推广和发

8、展。的推广和发展。 自变量为复数的函数就是复变函数自变量为复数的函数就是复变函数, , 它是本课程的研究对它是本课程的研究对象象. .由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算, ,第一章第一章将在原有的基础上作简要的复习和补充将在原有的基础上作简要的复习和补充; ; 然后再介绍复平面上然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, , 为进一步研究解为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础析函数理论和方法奠定必要的基础. .第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章第一章 复数与复变函数复数

9、与复变函数1.11.1复数及其表示法复数及其表示法iyxz 一对有序实数（一对有序实数（ ）构成一个）构成一个复数复数，记为，记为 . .yx,x, y 分别称为分别称为 z 的的实部实部和和虚部虚部, , 记作记作x=re(z), y=im(z), . .1i zxiy称为称为 z z 的共轭复数。的共轭复数。与实数不同与实数不同, 一般说来一般说来, 任意两个复数不能比较大小任意两个复数不能比较大小.两个复数相等两个复数相等他们的实部和虚部都相等他们的实部和虚部都相等特别地，特别地，00yxiyxz第二节 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.代数形式代数形式 : :iyxz复数的表示法复

10、数的表示法1)点表示：点表示：iyxz复数( , )xoyz x y 平面上的点y yz(x,y)z(x,y)x xx x0 0y yr r复平面复平面实轴实轴虚轴虚轴第二节 目录 上页 下页 返回 结束 2) 2) 向量表示：向量表示：-复数复数z z的辐角的辐角( (argument) ) 记作记作arg z=arg z=q .q . 任何一个复数任何一个复数z z 0 0有无穷多个幅角有无穷多个幅角, ,将满足将满足 复数z=x+iy矢径z0 xyxyz=x+iy|z|=rz22zzrxy-复数复数z z的模的模zx与 轴正向的夹角|,| |,| | |,| |22zzz zyxzzyz

11、x- q- q0 0 的的q q0 0 称为称为arg z的主值的主值, , 记作记作q q0 0=arg z=arg z . .则则arg z=qarg z=q0 0+2k =arg z +2k +2k =arg z +2k (k为任意整数为任意整数) )第二节 目录 上页 下页 返回 结束 在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanarg 当当 z = 0 时时, | z | = 0, 而幅角不确定而幅角不确定. arg z可由下列关系确定可由下列关系确定:arctan22yx其中说明：当说明：当 z 在第二象限时，在第二象限时，arg

12、022ztan()tan()tanyxarctanyx arctan.yx第二节 目录 上页 下页 返回 结束 2. 2. 指数形式与三角形式指数形式与三角形式),(zargzr)sin(cosirzirez 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系: : x = r cos , y = r sin , 可以将可以将z表示成表示成三角表示式三角表示式: 利用欧拉公式利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得得指数表示式指数表示式:例例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122 ;2)sincos.55zizi 解解1)|124

13、4.rzz在第三象限在第三象限, 因此因此235arctanarctan.3612 因此因此56554cos()sin()466izie第二节 目录 上页 下页 返回 结束 2) 显然显然, r = | z | = 1, 又又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此因此31033cossin1010izie练习：练习： 写出写出 的辐角和它的指数形式。的辐角和它的指数形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3argzzkkkz1,rz23.ize第二节 目录 上页 下页 返回 结束 1.2 1.2 复数的运算复数

14、的运算222111,iyxziyxz设设)0()()()(22222211222222121211221212121212121zyxyxyxiyxyyxxzzyxyxiyyxxzzyyixxzzz1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ；z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 复数运算满足交换律复数运算满足交换律,结合律和分配律结合律和分配律:1 . . 四则运算：四则运算：第二节 目录 上页 下页 返回 结束 加减法与平行四边形加减法与平行四边形法则的几何意义法则的几何意义: :乘、除法的几何意义乘

15、、除法的几何意义: :111izr e222izr e12()121 2iz zrr e,121 2121212rgz zr rzzargz zazargz,1z2z12zz12zz,定理定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和数乘积的幅角等于它们幅角的和.第二节 目录 上页 下页 返回 结束 等式等式 arg(z1z2)=arg z1+arg z2, 的意思是等式的两的意思是等式的两 边都是无限集合边都是无限集合, 两边的集合相等两边的集合相等, 即每给定等式左边即每给定等式左边 的一个数的一个数, 就有等式右

16、边的一个数与之对应就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然反之亦然.几何上几何上 z1z2 相相当于将当于将 z2 的的模扩大模扩大 |z1| 倍倍并旋转一个角并旋转一个角度度arg z1 .011z2z1 2z z1r2r1 2rr12112 xy1iz12z第二节 目录 上页 下页 返回 结束 例例2：设：设121,.zzi 求求1 2;1 2.z zargz z21 2;iz zie 12,argzn22,2argzm解：解：1 21222,argz zargzargzkk m nz 若取若取1,k 则则1,1,;nmnm 若取若取0,mn则则1.k 第二节 目录 上页 下页 返回 结束

17、 22112211122110zzzzzzzzzzargzargargzz21()2211izrezr22112211zzzzzargargzargzz;按照乘积的定义按照乘积的定义, 当当z1 0时时, 有有定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.第二节 目录 上页 下页 返回 结束 2 . . 乘方与开方运算乘方与开方运算1）乘方）乘方cossinnninnzr erninde moivre （棣摩佛）（棣摩佛）公式：公式：cossincossinninin第

18、二节 目录 上页 下页 返回 结束 2 ）开方）开方: 若满足，若满足，则称则称w w为为z z的的n n次方根次方根，nwz记为记为 .nwzziargwinargnezew2(0,1,2,1)nwzargzkargwnkn于是于是推得推得第二节 目录 上页 下页 返回 结束 2122cossin(0,1,1)arg zkinnnnzzeargzkargzkrinnkn从而从而几何解释：几何解释：z1/n的的n个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆为半径的圆 的内接正的内接正n边形的边形的n个顶点。个顶点。例例2 求求41. i解解 因为因为12 cossin,44i

19、i 所以所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiik 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 即即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwi注注：四个根是内接于中心在原点半径：四个根是内接于中心在原点半径为为21/8的圆的正方形的四个顶点的圆的正方形的四个顶点.2821+iw0w1w2w3oxy第二节 目录 上页 下页 返回 结束 1.3 1.3 复数形式的代数方程与平面几何图形复数形式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程很多平面图形能用复

20、数形式的方程(或不等式或不等式)来表来表示示; 也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定来确定 它所表示的平面图形它所表示的平面图形. 例例3 将通过两点将通过两点z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的直线用复数形式的直线用复数形式 的方程来表示的方程来表示. 解解 ：通过点：通过点(x1,y1)与与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxt xxtyyt yy 因此因此, 它的复数形式的参数方程为它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2 z1). ( t+ )第二节 目录 上页 下页 返回

21、结束 由此得知由由此得知由z1到到z2的直线段的参数方程可以写成的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2 z1). (0 0 t 1 1)取取12t 得知线段得知线段1 2z z的中点为的中点为122zzz 例例4 求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:1)|2;2)|2 | |2|;3)im()4.ziziziz第二节 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：1)| 2zi设设 z = x + i y , 方程变为方程变为2222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxyioxy2)|2 | |2|ziz 几何上几何上, 该方程表示到点该方程表示到点2i和和 2的距离相等的点

22、的轨迹的距离相等的点的轨迹, 所所以方程表示的曲线就是连接点以方程表示的曲线就是连接点2i和和 2的线段的垂直平分线的线段的垂直平分线, 方方程为程为 y x , 也可用代数的方法求出。也可用代数的方法求出。第二节 目录 上页 下页 返回 结束 oxy22iyx3)im()4.iz设设 z = x + i y , 那末那末(1)im()1izxy iizy 可得所求曲线的方程为可得所求曲线的方程为 y 3 .oyxy3第二节 目录 上页 下页 返回 结束 复数域的几何模型复数域的几何模型-复球面复球面 0n除了复数的平面表除了复数的平面表示方法外示方法外, 还可以还可以用球面上的点来表用球面上

23、的点来表示复数示复数.第二节 目录 上页 下页 返回 结束 x2x3oz(x,y)x1yp(x1,x2,x3)x1x2x3n(0,0,2r)对复平面内任一点对复平面内任一点z, 用直线将用直线将z与与n相相连连, 与球面相交于与球面相交于p点点, 则球面上除则球面上除n点点外的所有点和复平外的所有点和复平面上的所有点有一面上的所有点有一一对应的关系一对应的关系, 而而n点本身可代表点本身可代表无穷远点无穷远点, 记作记作 .这样的球面称作这样的球面称作复复球面球面.x第二节 目录 上页 下页 返回 结束 扩充复数域扩充复数域 - 引进一个引进一个“新新”的数的数: 扩充复平面扩充复平面 - 引

24、进一个引进一个“理想点理想点”: 无穷远点无穷远点 .约定约定: ),0(0aa),(0aa)(aa)0( aaa)(aaa第二节 目录 上页 下页 返回 结束 1.4 1.4 区域区域 1. 区域的概念区域的概念 平面上以平面上以 z0为中心为中心, d d (任意的正数任意的正数)为半径的圆为半径的圆: |z z0|d d 内内部的点的集合称为部的点的集合称为z0的的邻域邻域, 而称由不等式而称由不等式 0|z z0|m 的所有点的集合的所有点的集合, 其中实数其中实数 m0 , 称为称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. 即它是圆即它是圆 |z|=m 的外部且包含的外部且包含无穷远点本身无穷

25、远点本身. 不包括无穷远点本身不包括无穷远点本身的仅满足的仅满足 |z|m 的所有点称为的所有点称为无穷无穷远点的去心邻域远点的去心邻域, 也记作也记作 m|z|m第二节 目录 上页 下页 返回 结束 设设g为一平面点集为一平面点集, z0为为g中任意一点中任意一点. 如果存在如果存在z0的一个邻的一个邻域域, 该邻域内的所有点都属于该邻域内的所有点都属于g, 则称则称z0为为g的的内点内点. 如果如果g内的内的每个点都是它的内点每个点都是它的内点, 则称则称g为为开集开集 平面点集平面点集d称为一个称为一个区域区域, 如果它满足下列两个条件如果它满足下列两个条件:1) d是一个开集是一个开集

26、;2) d是连通的。就是说是连通的。就是说d中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于d 的一条折线连接起来的一条折线连接起来. 设设d为复平面内的一个区域为复平面内的一个区域, 如果点如果点p不属于不属于d, 但在但在p的任意的任意小的邻域内总包含有小的邻域内总包含有d中的点中的点, 这样的点这样的点p称为称为d的的边界点边界点. d的所的所有边界点组成有边界点组成d的的边界边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的.第二节 目录 上页 下页 返回 结束 区域区域 d与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域或闭域闭区域

27、或闭域, 记作记作 d.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即即存在正数存在正数 m, 使区域使区域 d的每个点的每个点z都满足都满足 |z|m, 则称则称 d为为有界有界的的, 否则称为否则称为无界的无界的. 平面曲线在数学上平面曲线在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果如果x(t)和和y(t)是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数, 则方程组则方程组x=x(t), y=y(t), (a t b)代表一条平面曲线代表一条平面曲线, 称为称为连续曲线连续曲线. 如果令如果令z(t)=

28、x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程则此曲线可用一个方程z=z(t) (a t b)来代表来代表. 这就是平面曲线的复数表示式这就是平面曲线的复数表示式.2. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域第二节 目录 上页 下页 返回 结束 设设c: z=z(t) (a t b)为一条连续曲线为一条连续曲线, z(a)与与z(b)分别为分别为c的的起点起点与与终点终点. 对于满足对于满足 at1b, a t2 b 的的 t1与与 t2, 当当 t1 t2而有而有 z(t1)=z(t2) 时时, 点点 z(t1)称为曲线称为曲线 c的的重点重点. 没有重点的没有重点的连续曲线连续曲线 c, 称为称为

29、简单曲线简单曲线或或若尔当若尔当(jardan)曲线曲线. 如果如果简单曲线简单曲线 c的起点与终点闭合的起点与终点闭合, 即即 z(a)=z(b) , 则曲线则曲线 c 称称为为简单闭曲线简单闭曲线.z(a)=z(b)简单简单,闭闭z(a)z(b)简单简单,不闭不闭z(a)=z(b) 不简单不简单,闭闭不简单不简单,不闭不闭z(a)z(b)第二节 目录 上页 下页 返回 结束 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 c 把整个复平面唯一地分成三把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集个互不相交的点集, 其中除去其中除去 c 外外, 一个是有界区域一个是有界区域, 称称为为 c 的的内部内部,

30、另一个是无界区域另一个是无界区域, 称为称为 c 的的外部外部, c 为它为它们的公共边界们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义其几何直观意义是很清楚的是很清楚的.内部外部c第二节 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 b, 如果在其中任作一条如果在其中任作一条简单闭曲线简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于b, 就称为就称为单连通域单连通域, 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域第二节 目录 上页 下页 返回 结束 1.5 复变函数复变函数1. 复变函数的定义复变函数的定义定义定义 设设 d 是复平面中的一个点集是复平面中的一个点集, :dwfzw复数 ,wf zf xiyu x yiv x y称为复变函数称为复变函数. .其确定了自变量为其确定了自变量为x和和y的两个二元实变函数的两个二元实变函数 u ,v .例如例如, 考察函数考察函数 w = z2.令令 z = x