误差理论与数据处理

1、 误差理论与数据处理误差理论与数据处理一、测量误差的基本理论一、测量误差的基本理论1、测量误差的定义：、测量误差的定义：测量误差测量误差 = 测得值测得值 - 真值真值客观真实值（未知）客观真实值（未知）1m = 1650763.73 实验结果实验结果 - 实验数据实验数据 - 与其理论期望值不完全相同与其理论期望值不完全相同 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值如：米如：米 - 公制长度基准公制长度基准

2、- 氪氪-86的的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长能级间跃迁在真空中的辐射波长测量所得数据与其相应的真值之差测量所得数据与其相应的真值之差 - 1）绝对误差）绝对误差 x = x x0 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值光在真空中光在真空中1s时间内传播距离的时间内传播距离的1/2997924852）相对误差）相对误差测量的绝对误差与被测量的真值之比测量的绝对误差与被测量的真值之比绝对误差很小绝对误差很小定义：定义：表示：百分数（表示：百分数（%）- 分子分母量纲相同分子分母量纲相同相对误差相对误差 = 100%

3、绝对误差绝对误差真值真值 = 100% xx0相对误差相对误差 = 100%绝对误差绝对误差测得值测得值 = 100% xx例：质量例：质量G1=50g，误差，误差 1=2g；质量；质量G2=2kg，误差，误差 2=50g 1= 100% = 100% = 4% 1G1G1的相对误差为的相对误差为250 2= 100% = 100% = 2.5% G2G2的相对误差为的相对误差为502000 2- G2的测量效果较好的测量效果较好确切反映测量效果：被测量的大小不同确切反映测量效果：被测量的大小不同 - 允许的测量误差不同允许的测量误差不同被测量的量值小被测量的量值小 - 允许的测量绝对误差也越

4、小允许的测量绝对误差也越小2、误差的特点、误差的特点普遍性普遍性 - 所有的测量数据都存在误差所有的测量数据都存在误差 - 不可避免的不可避免的最高基准的测量传递手段（测量仪器最高基准的测量传递手段（测量仪器/测量方法）测量方法）- 不绝对准确不绝对准确 “米制米制”建议（建议（18世纪末法国科学院）世纪末法国科学院） - “米米” 定义定义 （1791年法法国国会国国会） - 通过巴黎的地球子午线长度的四千分之一通过巴黎的地球子午线长度的四千分之一 - 铂杆铂杆“档案档案尺尺” （1799年）年）- 两端之间的距离两端之间的距离- 第一个实物基准第一个实物基准长度：长度： “档案尺档案尺”变

5、形变形 - 较大误差较大误差 - 废弃（废弃（1872年米制国际会议）年米制国际会议） 铂铱合金的铂铱合金的X形尺形尺 - 米原器（米原器（1889年第一次国际计量大会）年第一次国际计量大会） - 中中性面上两端的二条刻线在性面上两端的二条刻线在0 C时的长度时的长度 - （12） 10-7（复现精度）（复现精度） 自然基准（自然基准（1960年第十一次国际计量大会）年第十一次国际计量大会）- 废弃米原器废弃米原器 -Kr-86的的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长的能级间跃迁在真空中的辐射波长的1650763.73倍。倍。- （0.51） 10-8（复现精度）（复现精度） “米米”

6、新定义（新定义（1983年第十七届国际计量大会）年第十七届国际计量大会）- 光在真空中光在真空中1s时间内传播距离的时间内传播距离的1/299792485 - 1.3 10-10 （复现精度）（复现精度） 减小误差的影响，提高测量精度减小误差的影响，提高测量精度测量精度测量精度 - 测量技术水平的主要标志之一测量技术水平的主要标志之一精度提高受到限制精度提高受到限制 - 测量误差的影响作出评定测量误差的影响作出评定 对测量结果的可靠性给出评定（精确度的估计）对测量结果的可靠性给出评定（精确度的估计）与检测系统的组成和各组成环节有关与检测系统的组成和各组成环节有关3、误差原因、误差原因性质、状态

7、、条件以及被测量的种类、状态性质、状态、条件以及被测量的种类、状态 检测系统各环节所使用的材料性能和制造技术引起的误差检测系统各环节所使用的材料性能和制造技术引起的误差 检测系统各环节动力源的变化引起的误差检测系统各环节动力源的变化引起的误差 检测系统器件特性变化引起的误差检测系统器件特性变化引起的误差 - 偏离设定值偏离设定值 检测环境引起的误差检测环境引起的误差 检测方法误差检测方法误差 检测人员造成的误差检测人员造成的误差 由被测对象本身引起的误差由被测对象本身引起的误差 因检测理论的假定产生的误差因检测理论的假定产生的误差实际情况与假定情况不符实际情况与假定情况不符 组成组成检测系统各

8、环节的传递特性方面产生的误差检测系统各环节的传递特性方面产生的误差人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）环境条件（温度、湿度、气压等）差异环境条件（温度、湿度、气压等）差异 器件的性能器件的性能电流、电压、气压、液压等电流、电压、气压、液压等检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间 方法误差方法误差4 、误差分类、误差分类按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差 系统误差（系统误差（System error）由特定原因

9、引起、具有一定因果关系并按确定规律产生由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生按掌握程度：已知误差、未知误差按掌握程度：已知误差、未知误差按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差 - 有规律可循有规律可循装置、环境、动力源变化、人为因素装置、环境、动力源变化、人为因素再现性再现性 - 偏差（偏差（Deviation）理论分析理论分析/实验验证实验验证 - 原因和规律原因和规律 - 减少减少/消除消除 随机误差（随机误差（Random error）因许多不确定性因素而随机发生因许多不确定性因素而随机发生偶然性（不明确、无规律）偶然性（不明确、无规律

10、）概率和统计性处理（无法消除概率和统计性处理（无法消除/修正）修正） 粗大误差（粗大误差（Abnormal error）检测系统各组成环节发生异常和故障等引起检测系统各组成环节发生异常和故障等引起异常误差异常误差 - 混为系统误差和偶然误差混为系统误差和偶然误差 - 测量结果失去意义测量结果失去意义分离分离 - 防止防止 按变化速度：静态误差、动态误差按变化速度：静态误差、动态误差5、检测精度、检测精度- 检测系统的基本内容检测系统的基本内容不同场合不同场合 - 检测精度要求不同检测精度要求不同例：服装裁剪（身长例：服装裁剪（身长/胸围）胸围）- 半厘米；发动机活塞直径半厘米；发动机活塞直径

11、- 微米级微米级精度高精度高 - 系统复杂系统复杂 - 造价高造价高- 系统误差大小的反映系统误差大小的反映坐标原点坐标原点 - 真值点的位置真值点的位置按误差原因：按误差原因：点点 - 多次测量结果多次测量结果 正确度：表征测量结果接近真值的程度正确度：表征测量结果接近真值的程度 精密度：反映测量结果的分散程度（针对重复测量而言）精密度：反映测量结果的分散程度（针对重复测量而言）- 表示随机误差的大小表示随机误差的大小 准确度：表征测量结果与真值之间的一致程度准确度：表征测量结果与真值之间的一致程度- 系统误差和随机误差的综合反映系统误差和随机误差的综合反映例：例：6、确定测量误差的方法、确

12、定测量误差的方法1）逐项分析法）逐项分析法与被测对象有关的专业知识与被测对象有关的专业知识 - 物理过程、数学手段物理过程、数学手段对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限最严重情况最严重情况 - 结果和实际差别结果和实际差别 - 误差极限偏大误差极限偏大2）实验统计法）实验统计法综合使用，互相补充、相互验证综合使用，互相补充、相互验证利用实际测量数据估算利用实际测量数据估算 - 反映各种因素的实际综

13、合作用反映各种因素的实际综合作用反映出各种误差成分在总误差中所占的比重反映出各种误差成分在总误差中所占的比重- 产生误差的主要原因产生误差的主要原因 - 减小误差应主要采取的措施减小误差应主要采取的措施应用数理统计的方法对在实际条件下所获得的测量数据进行分析应用数理统计的方法对在实际条件下所获得的测量数据进行分析处理，确定其最可靠的测量结果和估算其测量误差的极限处理，确定其最可靠的测量结果和估算其测量误差的极限适用：适用： 一般测量一般测量 适用：适用： 拟定测量方案拟定测量方案 研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统 对测量方法和测量仪器的实际精度进

14、行估算和校验对测量方法和测量仪器的实际精度进行估算和校验1、系统误差的消除、系统误差的消除 测量方法测量方法 - 避免出现系统误差避免出现系统误差 - 防止系统误差出现的最基本办法防止系统误差出现的最基本办法数据处理数据处理 - 被测量的估计值被测量的估计值 - 可信程度（评定）可信程度（评定） 找出规律找出规律 - 修正值修正值2）引入修正值进行校正）引入修正值进行校正3）检测方法上消除或减小）检测方法上消除或减小- 现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）1）分析系统误差产生的原因）分析系统误差产生的原因二、数据处理的一般方法二、数据处理的一

15、般方法 - 已出现的系统误差已出现的系统误差理论分析理论分析/专门的实验研究专门的实验研究 - 系统误差的具体数值和变化规律系统误差的具体数值和变化规律- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等）确定修正值（温度、湿度、频率修正等）测量前测量前 - 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施- 修正表格、修正曲线、修正公式修正表格、修正曲线、修正公式 - 按规律校正按规律校正- 实际测量中，采取有效的测量方法实际测量中，采取有效的测量方法 抵消抵消法法 例：等臂天平称重例：等臂天平称重 - 左右两臂长的微小差别左右两臂长的微小差别 - 恒值系统误差恒值系统

16、误差引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 - 其他条件不变其他条件不变 换位法换位法/替代法替代法- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 - 抵消抵消a）X与与P左右交换左右交换 - 两次测量两次测量的平均值的平均值 - 消除系统误差消除系统误差被测物被测物 -X；平衡物；平衡物 - T；砝码；砝码 - P改变测量条件（如方向）改变测量条件（如方向）- 两次测量结果的误差符号相反两次测量结果的误差符号相反 - 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差平均值消除带有间隙特性的定值系统误差 例：千分尺例：

17、千分尺 - 空行程（刻度变化，量杆不动）空行程（刻度变化，量杆不动）- 系统误差系统误差- 异号相消法异号相消法b）T与与X 平衡平衡TLLX12TLLP12测量结果测量结果P与与T平衡平衡已知量替换被测量已知量替换被测量正反两个方向对准标志线正反两个方向对准标志线 ad ad2/)(dda顺时针顺时针 - 逆时针逆时针 - 正确值正确值 - 换位换位/替代法替代法不含系统误差不含系统误差a，空程引起误差，空程引起误差 差动法差动法被测量对传感器起差动作用被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用干扰因素起相同作用- 被测量的作用相加被测量的作用相加 - 干扰的作用相减干扰的作用相减抑制干扰

18、抑制干扰 提高灵敏度和线性度提高灵敏度和线性度作用：作用： 比值补偿法比值补偿法利用比值补偿原理利用比值补偿原理 - 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 - 约消约消 例：比色高温计例：比色高温计 - 消除辐射率变化的影响消除辐射率变化的影响 半周期偶数观测法半周期偶数观测法 - 系统误差随某因素成周期性变化系统误差随某因素成周期性变化综合：综合：两次测量所得的周期系统误差两次测量所得的周期系统误差 - 数值相等、正负相反数值相等、正负相反 - 取平均值取平均值 自动检测自动检测 - 检测的时间间隔为检测的时间间隔为周期（克服随时间周期变化因素

19、的影响）周期（克服随时间周期变化因素的影响）有影响的因素有影响的因素 - 定值定值/较窄范围较窄范围 - 系差稳定系差稳定 - 修正值修正值 测量测量 - 变化周期变化周期传感器信号转换传感器信号转换 - 选频放大器、滤波器、滤色片选频放大器、滤波器、滤色片 - 截断截断/删除无用删除无用频带（只让有用信号频带通过）频带（只让有用信号频带通过） - 减轻校正、补偿难度减轻校正、补偿难度措施措施 - 恒温、稳压或稳频恒温、稳压或稳频1）判别方法）判别方法 物理判别法物理判别法- 人为因素（读错、记录错、操作错）人为因素（读错、记录错、操作错） 统计判别法统计判别法- 整个测量完毕之后整个测量完毕

20、之后2、粗大误差的减少办法和剔除准则、粗大误差的减少办法和剔除准则 2）剔除准则）剔除准则 拉依达准则（拉依达准则（3 3 准则）准则） 肖维勒准则肖维勒准则 格拉布斯准则格拉布斯准则显然与事实不符显然与事实不符 - 歪曲测量结果歪曲测量结果 - 主观避免主观避免 - 剔除（发现）剔除（发现）- 测量过程中测量过程中- 不符合实验条件不符合实验条件/环境突变（突然振动、电磁干扰等）环境突变（突然振动、电磁干扰等）统计方法处理数据统计方法处理数据 - 超过误差限超过误差限 - 判为坏值判为坏值 - 剔除剔除随机误差在一定的置信概率下的确定置信限随机误差在一定的置信概率下的确定置信限测量值测量值

21、Xd 的剩余误差的绝对值的剩余误差的绝对值 | Pd| 3 - 坏值坏值 - 剔除剔除 测量值测量值 Xd 的剩余误差的绝对值的剩余误差的绝对值 | Pd| n - 坏值坏值 - 剔除剔除 n - 肖维勒系数（查表确定）肖维勒系数（查表确定）测量值测量值 Xd 的剩余误差的绝对值的剩余误差的绝对值| Pd| ( ,n) - 坏值坏值 - 剔除剔除 ( ,n) - 查表确定查表确定计算算术平均值计算算术平均值 x 剩余误差剩余误差 均方误差均方误差 剔除坏值剔除坏值- 随时发现，随时剔除随时发现，随时剔除 - 重新测量重新测量 3、随机误差的分析处理、随机误差的分析处理 - 统计方法统计方法正态

22、分布（高斯分布）正态分布（高斯分布） - 大多数；大多数；其它其它 - 正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、 分布、分布、 分布等分布等1）分布：）分布：均匀分布均匀分布 - 量化误差、舍入误差；量化误差、舍入误差；N次测量结果次测量结果 - xi ( i =1, 2, , N ) 222222)(heheP概率密度函数概率密度函数dedPF22221)()(概率分布函数概率分布函数)(P误差误差 = x - x0均方根误差均方根误差/标准误差标准误差 nnii12 对称性对称性2）特点）特点: 有界性有界性 抵偿性抵偿性 单峰性单峰性 - 可正可负

23、可正可负 - 绝对值相等的正负误差出现的机会相等绝对值相等的正负误差出现的机会相等 P( ) - 曲线对称于纵轴曲线对称于纵轴 - 绝对值不会超过一定的范围（一定的测量条件下）绝对值不会超过一定的范围（一定的测量条件下）绝对值很大的误差几乎不出现绝对值很大的误差几乎不出现 - 测量次数测量次数n 时（相同条件下）时（相同条件下）全体随机函数的代数和全体随机函数的代数和01limniin - 绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大）绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大） =0 处随机误差概率密度有最大值处随机误差概率密度有最大值数学期望（数学期望（Expectation ） - 真值真值x0标

24、准偏差（标准偏差（Standard deviation） - 测量精密度的标志测量精密度的标志3）特征量：）特征量：-KKh - 精密度指数精密度指数21h数学期望数学期望 - 标准偏差标准偏差样本平均样本平均 - 随机变量随机变量 - 数学期望、标准偏差数学期望、标准偏差nx - 估计值估计值 s样本平均样本平均 x 的标准偏差的标准偏差 - 单次测量标准偏差的单次测量标准偏差的n/1nsx真值真值x0 x估计估计x样本中各测量数据相对样本平均的分散程度样本中各测量数据相对样本平均的分散程度 - 样本标准偏差样本标准偏差s1)(21nxxsnii- 总体标准偏差总体标准偏差 的无偏估计的无偏

25、估计s算术平均（算术平均（Mean value）nxxnii1样本平均样本平均- 的无偏估计的无偏估计总体期望：无限次测量（不可能实现）总体期望：无限次测量（不可能实现） - 有限次测量代替有限次测量代替估计（估计（Estimation ) - 有限次样本推测总体参数有限次样本推测总体参数 - 估计值（估计值（）同一被测量同一被测量 n 次测量次测量 xi（i =1，2，n）- 样本样本真值真值x - 可靠可靠 - 多次测量提高精密度多次测量提高精密度4、误差综合、误差综合1 1）系统误差的合成）系统误差的合成 已定系统误差已定系统误差 - 大小和正负已知大小和正负已知2 2）随机误差的合成）

26、随机误差的合成 间接测量随机误差的合成间接测量随机误差的合成 未定系统误差未定系统误差 - 难以知道或不能确切掌握大小和正负难以知道或不能确切掌握大小和正负- 极限范围极限范围 e- 代数和代数和 - 校正消除校正消除- 不确定度代数相加法、方和根法、广义方和根法不确定度代数相加法、方和根法、广义方和根法 间接测量平均值的计算间接测量平均值的计算xi（i =1,2,=1,2,m）- 直接测量量直接测量量y - 间接测量量间接测量量y = f（x1，x2，xm）- xi 的单值函数的单值函数y = f（x1，x2，xm）212ixmiiyxy- 各直各直接测量量互不相关接测量量互不相关 不等精密

27、度测量不等精密度测量“权权”- 比重的大小（信赖度高比重的大小（信赖度高 - 比重大）比重大）加权算术平均值加权算术平均值miimiiiWxWx11miiixxWWi1).)(1(.212222211mmmxWWWmPWPWPW加权算术平均值的均方根误差加权算术平均值的均方根误差2211xxPxxPxxPmm，均方根误差均方根误差 剩余误差剩余误差5、测量结果的表示方法、测量结果的表示方法 多次测量结果的表示多次测量结果的表示测量结果测量结果 = 样本平均值样本平均值 不确定度不确定度 单次测量结果的表示单次测量结果的表示- - 消除系统误差、剔除粗大误差消除系统误差、剔除粗大误差随机误差数据

28、处理随机误差数据处理 - 被测量真值的取值范围（概率）被测量真值的取值范围（概率）不确定度（不确定度（Uncertainty）测量可以置信的限度测量可以置信的限度 - K K -置信系数（置信系数（K=1, 2, 3等）等）直接测量直接测量nsxxxx概率概率 - 置信概率置信概率正态分布正态分布），nsxnsx(68.27%68.27%），nsxnsx22(95.45%95.45%），nsxnsx33(99.73%99.73%事前误差分析、以往的同等条件、详尽条件下多次测量的统计结果、事前误差分析、以往的同等条件、详尽条件下多次测量的统计结果、检测器具说明书中给出的误差限检测器具说明书中给出

29、的误差限 - 标准偏差的估计值标准偏差的估计值-KK6、数据的有效数字及舍入规则、数据的有效数字及舍入规则1 1）数据有效数字）数据有效数字 - - 位数：位数：不确定度不确定度 - 一位到二位一位到二位2 2）数字的舍入规则）数字的舍入规则 如：测量结果如：测量结果 l =4.2958mm，极限误差，极限误差 lim=0.015mm一般数据一般数据 - 按有效数字取舍数据的位数按有效数字取舍数据的位数l =4.296mm- “- “四舍六入五凑双四舍六入五凑双”加减运算加减运算 - - 小数点后位数最少的数据小数点后位数最少的数据一般数据一般数据精度数据（标准差、极限误差）精度数据（标准差、

30、极限误差）数据：最末一位取与不确定度末位同一量级数据：最末一位取与不确定度末位同一量级按书写数字按书写数字 - 数据误差（半个单位以内）数据误差（半个单位以内） 如：如：2.38（ 0.005），），0.082（ 0.0005 ）- “- “只入不舍只入不舍” 如：极限误差如：极限误差0.220.3（一位有效数字）（一位有效数字）3 3）数字运算规则）数字运算规则乘除运算乘除运算 - - 有效数字位数最少的数据有效数字位数最少的数据4.286 + 1.32 - 0.4563 = 5.14974.286 + 1.32 - 0.4563 = 5.14975.155.15462.8462.80.64

31、 0.64 1.22 = 242.78033 1.22 = 242.780332.42.41027、最小二乘原理及其应用、最小二乘原理及其应用1 1）最小二乘法原理）最小二乘法原理2 2）回归分析）回归分析 - 数理统计方法数理统计方法 - 目标变量与自变量目标变量与自变量 - 函数关系函数关系相关关系相关关系 - 不能由自变量的数值精确的求得目标变量不能由自变量的数值精确的求得目标变量数据处理数据处理 数学表达式数学表达式n 次重复测量（次重复测量（ x1, x2, , xn ）最佳估计最佳估计OPTxOPTxxvii残差残差 平方和最小平方和最小 min22)(SxxvSOPTOPTiixx- 残差平方和最小残差平方和最小ixnxOPT1应用：实验数据的处理、经验公式的求得、应用：实验数据的处理、经验公式的求得、因素分析、产品质量控制、系统模型建立因素分析、产品质量控制、系统模型建立(x1, ,y1), (x2, ,y2),(),(xn , ,yn) )*数学模型：直线、抛物线、双曲线、数学模型：直线、抛物线、双曲线、幂函数幂函数实验数据：实验数据：y = = f ( (x) )最小二乘法最小二乘法 最佳函数关系式最佳函数关系式*xy),.,2 , 1(.)(2210mjxaxaxaxaaxfyjjmm拟和曲线拟和曲线残差残差)