三角函数和向量

1、三角函数和向量高考专题突破：高考中的三角函数与平面向量问题快速解答自查自纠n考点自测1.已知锐角处 且5a的终边上有一点P(sin(一50°), cos 130°),则“的值为(A. 8°B. 44°C. 26°D. 40°答案B解析 Vsin (-50°)<0, cos 130° =-cos 500< 0,，点 P(sin(-50°), cos 130。)在第三象限.又0°VaV90。，A0°<5a<450°.又丁点尸的坐标可化为(cos 220。，

2、sin 220°), A5(z=220°, Aa=44°,故选 B.2.已知向量加= (2,0),向量0r=(2,2),向量6 = (/2cos <z, 2sin a),则向量困与向量回的夹角的取值范围是（)答案D解析 由题意，得：O/t = OtJC/i=(2 +Vicos a9 2+yisin a),所以点力的 轨迹是圆(x-2)2+(y2 = 2,如图,当力位于使向量内与圆相切时，向量通与向量所的夹角分别达到最大、最小值，故选D.3.已知用力是单位向量，5=0.若向量。满足c-a-b = l9则|c|的最大值为（A.2 -1B.yjlC.2 + 1D啦

3、+ 2答案C 解析 建立平面直角坐标系，令向量小。的坐 标 =(1,0),。=(0,1),令向量 c=(x9 y),则有l)2+(y1)2 = 1, Icl的最大值为圆( I)?+ 0-1)2=1上的动点到原点的距离的最大值,即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即近+ L4 .已知函数/(x)=sinx+W -，在1°，川上有两个零点，则实数机的取值范围为(A.一小,2 B.小,2)C.(小，2 D.小，2答案B7T解析 如图，画出y=sin3在0,川上的图像, 当直线)=半与其有两个交点时, 所以相£小，2).5 .已知函数y=2sin3x+9)(0>“0V9V

4、九)为偶函数，其图像与直线y=2某两个交点的横坐标分别为XI, X2,若比2一不的最小值为兀，则该函数的一个递增区间可以是(a5,7T 7T4J/ 7T 7TB一4n 3nR题意知函数的最小正周期为7T,故o)=2,所以yC.o, 2答案A 解析由函数为偶函数知(p=+kn(kZ).又 因为0<0<兀，所以所以y=2cos cox.由题型分类=2cos2x,经验证知选项A满足条件.故选A.对接高考深度剖析题型一 三角函数的图像与性质 +字,xER.例1已知函数/(x) =cos x*sininx+- _c<3 Jos2 X求/(X)的最小正周期;求 於）在闭区间一会会上的最大

5、值和最小 值.一小。052%+*解（1）由已知，得COSX/（x）=cosxsinx+1 .近 2上也=2Sin xcosx 2 coszx +1 S=sin 2x(l+cos 2x)+ 4i .、勺3c=sm 2x_ 4 cos 2xgin 2T.7T3J27r所以/（X）的最小正周期T=n.7Tjr因为/（X）在区间一1一行上是减函数，在区 HrJL/上是增函数,47T一7T 7T1所以函数/(X)在闭区间一会会上的最大值为京最小值为一;.思维升华三角函数的图像与性质是高考考查 的重点y通常先将三角函数化为)=4§皿必*+9) +k的形式，然后将t=(°x+s视为一个整

6、体， 结合y=sin£的图像求解.7T7T跟踪训练1已知函数 f(x)=sin(ft>x+)+sin(ft>x")2cos2竿，x£R(其中 ”>().求函数/(x)的值域；若函数y=/(x)的图像与直线y=-1的两个相 邻交点间的距离均为$求函数y=/(x)的单调增 区间.解(1»(幻=甲加 x+|cos 甲sin cox- / / / /COS (OX(cos ft>x+l)17T(oxcos cox)1=2sin(>x) 1.由一lWsin(s:一7T得一32sin(ft)xW)1 Wl,所以函数/(x)的值域为-3用

7、.由题设条件及三角函数图像和性质可知，y= /(%)的周期为7T,27r所以W=兀，即侬=2.7T所以 /(X)=2sin(2x%)1,再由 24加一3<2x不(WZ), 乙。乙TTTT解得 knyzX Zen+-(k G Z). U07T所以函数y=/a)的单调增区间为而T%, k7i+71/ £Z).题型二三角函数和解三角形 例 2 (2015* 山东)设X)=sin xcos xcos2 x+4 .求f(x)的单调区间；在锐角ABC中，角A, B, C的对边分别为 a,"c.若曲=0, a = l,求A6C面积的最大解(1)由题意知/(x)：811岁一/ 、,_

8、. 7T1 + cos2x+sin 2x 1sin 2x2 2=sin2x-1.717T由-3+2A7rW2xW3+2A7r, kGZ,TT7T可得一工+左兀工工+左兀，kZ；7T37r由3+2A7rW2xW7+2A7r, kGZ,7T37r可得X+A7rWxW+A7r, kGZ.7T7T所以/（X）的单调递增区间是一z+E，4+kn心Z）；7TS7T单调递减区间是4+左孙+kn(kZ). , (2)由媚=sinAg=0,得 sinA=g,由题意知A为锐角，所以cosA =由余弦定理 a2=b2+c22bccos A,可得 1+小 bc=F+c222bc, 即加W2+小，当且仅当方=c时等号成

9、立.因 此;。csin A所以ZvlBC面积的最大值为胃普.思维升华 三角函数和三角形的结合，一般可以 利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角, 再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活 运用是解决此类问题的关键.<7兀、跟踪训练2已知函数/(x)=2cos2%sin 2x.求函数/（X）的最大值，并写出了（X）取最大值时X的取值集合；（2）EAABC中，角A,'C的对边分别为a, b,3若/=：,b+c=29求实数。的最小值.7a 解 (l)./(x)=2cos2xsin 2x.77r 一7市= (l+cos 2x)sin 2xcos 不一cos 2xsm .1Ix+2co

10、s 2x= l+sinl2x+L，函数/（x）的最大值为2.要使/（X）取最大值, 则 sin 2x4- =1,，21：+%=2左加+5（4£2）,解得工=左兀+不，左£Z.故/(X)取最大值时X的取值集合为7T¥%=%兀+%, kGZ r. 兀) 3(2)由题意知，/(A)=sin2A+l = -,( 7rl 1化简得 sin2A+j=-VAG(O, 7T), r.24+|e I，等，.24+3=1，.*.A=?. o oJ在足区。中，根据余弦定理，得7Ta2=ft2+c2-2ftccos =(b+c)23bc.由 b+c=29知bcW2=1即 a2l.，当方=

11、c = l时，实数的最小值为1题型三三角函数和平面向量 例 3 已知向量=(机，cos 2x), ft = (sin 2x, n函数加)=m且y=/(x)的图像过点目，,)和点(差，2).求相，n的值;将y=/(x)的图像向左平移9(0v9Vm个单位后 得到函数y=g(x)的图像，若丁=冢用图像上各最 高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x) 的单调递增区间.解(1)由题意知 f(x)=a9b=msm 2x+/zcos 2x.因为y=/a)的图像过点(方 小)和(7，2), JLNJd§=/sin +ncos4n .47r2=/nsin -y+wcos §解得m

12、=小, n = l.(2)由(1)知/(x)=,sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).由题意知 g(x)=/a+9)=2sin(2x+29+，设J=g(x)的图像上符合题意的最高点为(即),2),由题意知xd+l = l,所以xo=O,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入了=以为得sin(2+)=l, 因此 g(x)=2sin(2x+)=2cos 2x.因为0<9<兀，所以7T一,由 2k7t7t<2xW2k7t, kGZ,得左7T人7T, kGZ,所以函数产g(x)的单调递增区间为囱rM®,kGZ.思维升华(1)向量是一种解决问题的工

13、具,是一 个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合 正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对 变形过程的影响.跟踪训练3 已知向量 a=(cost, sin a), b=(cosx9 sin x), c=(sin x+2sin a, cos x+2cos a), 其中Q<a<x<n.7T(1)若求函数/(x)=6。的最小值及相应工的值；7T(2)若a与b的夹角为不且L,求tan 2a的值.解 (l)=(cosx, sin x), c = (sinx+2sin a9 cosx+2cos a),：,f(x)=b-c=cos xsi

14、n x+2cos xsin a+sin xcos x+2sin xcos =2sin xcos x+也(sin x+cos x).f、AI7r令 £=sin x+cos xl <x<7r I,贝！ 2sin xcos x=t2l,且一则函数/(X)关于t的关系式为7=产+近£-1 =此时 sinx+cosx= 即啦 sinx+7 =瓦 <X<7T,117T,7T 77rx+石，12 ，函数/(X)的最小值为一：，相应X的值为/JL/7T(2)丁与的夹角为示n abcos 3 = aVb =cos acosx+sin asm x=cos(xa).0&l

15、t;a<x<7r,0<xa<n,:xan3eVa±c,cos a(sinx+2sin a)+sin a(cosx+2cos a)=0,/ sin(x+a)+2sin 2a=0,即兀.sin 2口+ +2sin 2a=0.5a/3Tsin 2“+cos 2a=0, /. tan 2a=练出高分（时间:70分钟）1.已知函数/(%)=Asin(x+；), xSR,且/(含求A的值;(2)若/(0)+/(0)=5,夕£(0,分，求/(3一。)解(1) V/(|)=Asin(|+)=Asiii y1.a=B(2)由(1)知 /(x)=*sin(x+?,故/)

16、+/(一。)=5 sin(0+$+由 sin(一夕+$=|，.,.小，(sin 0+cos。)+乎(cos。-sin )=|,r 3#Vio4 'A/6cos 夕=5，cos 0= 彳.又夕 £(0, j), /. sin =aJ1cos2=0)=/3sin(7r)=/3sin 0=.2, (2015江苏)在44笈。中，已知 AB=29 AC =3, A=60°.(1)求bC的长；求sin 2C的值.解 由余弦定理知，bc2=ab2+ac2 -2AbACcos A=4+9-2X2X3X；=7,所以 BC (2)由正弦定理知，器=热，所以sin C= sin4=期节，

17、=率.因为A5V6C,所以。为锐角，贝！ cos C=a/1sin2C = '/l|=因此sin 2C = 2sin Geos C = 2X*X =4a/37 3, 已知向量机= (2sin cos2 xsin2(ox)f n = ($cos(ox9l)9 其中 co>0, x£R.若函数/(x) =m-n的最小正周期为n.求切的值;在八4区。中，若f(B)=-2, BC=木,sin B=/3sin A,求BA阮的值.解 (1点用=机=2*sin coxcos cox+cos2 cox / sin2 cox=l3sin 2ft>x+cos 2x=2sin 2cox

18、+./(X)的最小正周期为7T,口>0, 27r.T=n.，”=L设AIKC中角A, C所对的边分别是a,b,oi兀,:f(B) = -2, A2sin 2B+t=-2,7T即 sin 2B+t = 1,解得笈=T/e(o,兀) ,:BC=0, sinB=/3smA, 即b=a,:.b=3.由正弦定理，有需.2n9 sm -J解得sinA=g.nnVO<A<-, ：.A=. 3o27r3.BA-BtJ=cacos B=, X * X cos-= J /X4.函数/(x)=cos(nx+9)0V9Vm的部分图像如图所示.求9及图中X。的值;设g(x)=/(x)+/x+1 ,求函

19、数g(x)在区间1 15' 3上的最大值和最小值.解(1)由题图得/(0)=所以cos9=pjr7T因为OV9V5，故9=z6-由于/(x)的最小正周期等于2, 所以由题图可知1VxoV2,ll 77T 7T 13 7T故石 Vnxo+%V7,由大xo)=COS 7lXo +7T7Tcos nxcos sin nxsin sin nx所以 70；0 + *=拶，Xo y(1)(1 7r(2)因为/%+§ =cos 7rx+§ +% =cos 7tx+? = sin tix97T17T6J所以 g(x)=/fx)+/|x+ =cosnx+ sin 7tx=32sinC

20、OS 7tx X小cos 7tx2sin 7txsin 7rx=TtX1 1 t当xe y 3时,7T .71.2nmW工17r所以一Wsi也一衣31,故当，-7TX=3,即x=一；时,g(x)取得最大值小; UNJ当"一皿=一奈,即岩时,g(x)取得最小值一兴5. (2015福建)已知函数/(X)的图像是由函数g(x) =cos X的图像经如下变换得到：先将g(x)图上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不 变)，再将所得到的图像向右平移3个单位长度.求函数/(X)的解析式，并求其图像的对称轴方 程;已知关于“的方程/(x)+g(x)=根在0,2兀)内有 两个不同的解”，/?.2证明：cos(«1 0方法一(1)解 将g(x) = cos X的图像上所有点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到J=2cosx的图像，再将y=2cos x的图像向右平 f(