第1讲_共轭复数

1、2 1.1.复数的概念复数的概念. , 为复数为复数或或我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数iyxzyixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 . 0,0, 0 zyx 时时当当3, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数1) 两复数的和两复数的和).()(212121yyixxzz 2) 两复数的积两复数的积).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3)两复数的商两复

2、数的商.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 2. 复数的代数运算复数的代数运算44)共轭复数共轭复数 共轭的定义是以某轴为对称。共轭的定义是以某轴为对称。 例如，复平面上的两点以实数轴为对称，则称这两点共轭。例如，复平面上的两点以实数轴为对称，则称这两点共轭。 再例如，复平面上的再例如，复平面上的A点有共轭点点有共轭点A,B点有共轭点点有共轭点B 向量向量AB与向量与向量AB称共轭向量。称共轭向量。 轭来自车轭，牛轭。牛马毛驴驮的东西以垂直轴为对称，轭来自车轭，牛轭。牛马毛驴驮的东西以垂直轴为对称，驮的一东一西的东西就是共轭的东西呀。驮的一东一西的东西就是共轭的

3、东西呀。54)共轭复数共轭复数 共轭复数是什么共轭复数是什么? ?当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数个复数叫做互为共轭复数. .互为共轭复数的两个复数在复平面上的对应点关互为共轭复数的两个复数在复平面上的对应点关于实轴对称。于实轴对称。64)共轭复数共轭复数 , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与. , iyxziyxz 则则若若 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. .共轭复数的性质共轭复数的性质;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;

4、2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 7 3. 3.复数的其它表示法复数的其它表示法. . , , , . ),( 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz （1

5、1）几何表示法）几何表示法8（2 2）向量表示法）向量表示法., ,来表示来表示也可用向量也可用向量复数复数因此因此平面向量成一一对应平面向量成一一对应的的指向点指向点与从原点与从原点复数复数在复平面上在复平面上OPziyxzz ),(yxP xyxyoiyxz rz 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z. 22yxrz 记为记为9 模的性质模的性质, zx , zy ,yxz .22zzzz ;) 1 (2121zzzz .)2(2121zzzz 三角不等式三角不等式复数的辐角复数的辐角 ., 0,0而辐角不确定而辐角不确定时时当

6、当 zz.0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 的全部辐角为的全部辐角为那么那么z).( 2Arg1为任意整数为任意整数kkz . Arg , , , 0 zzOPzz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在10.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 . 0, 0, 0, 0,arctan, 0, 0,2, 0,arctanargyxyxxyyxxxyz辐角的主

7、值辐角的主值0 z)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值11 （3）三角表示法）三角表示法利用欧拉公式利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式.（4）指数表示法）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 12 4.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1) 乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等

8、于它们的辐角的和.,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz )sin()cos(21212121 irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz 则有则有13 几何意义几何意义复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , ,21zz , 21 旋转一个角旋转一个角按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z14 两个复数的商的模等于

9、它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,1212zzzz .ArgArgArg1212zzzz 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz则则,222 ierz ,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz 则有则有15 2) 幂与根幂与根(a) n次幂次幂:, , nznzzn记作记作次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数. 个个nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn

10、 有有对于任何正整数对于任何正整数.1 , nnzzn 有有为负整数时为负整数时.ArgArg,znzzznnn 因而有因而有16.sincos)sin(cos ninin . , (c)为已知复数为已知复数其中其中的根的根计算方程计算方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式.,个顶点个顶点边形的边形的的圆的内接正的圆的内接正为半径为半径个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的在几何上在几何上nnrnznn17 5.复球面与扩充复平面复球面与扩充复平面南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的球面的球面点

11、点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SNxyPNOS(1) 复球面复球面18虚数单位的特性虚数单位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 19例例复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43(2

12、mm.)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是imm)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y则则如如果果复复数数是是实实数数. 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且则则如果复数是纯虚数如果复数是纯虚数. 140432 mmmm或或知知由由.10应舍去应舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有20例例3 3 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1

13、(22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 21例例4 4解解.112 iiii计算计算iiiiiiiii )1)(1()1)(2(112iiiii 12222ii 231)2)(2()2)(31(iiii 222)2(362iiii .1i 22例例5 解解,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与与求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 23例例6 解解,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii

14、 ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 24共轭复数的性质共轭复数的性质;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 25例例7 证证, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数).Re(2 212121zzzzzz 证明证明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx

15、 ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或26思考题答案思考题答案 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复数的定义可知由复数的定义可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 则则 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 则则 . , 01 矛盾矛盾同样有同样有 由此可见由此可见, 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.27. . , , , . ),( 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平

16、面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 28辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,29例例8 8 将下列复数化为

17、三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz30指数表示式为指数表示式为.465iez 5cos5sin)2( iz, 1 zr显然显然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 31xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz

18、2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致. .32例例9 9求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解.2 2 )1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程(1)2;(2)22 ;ziziz3322)2( ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i. 22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 34 复数和差的模的性质复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(