2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)

1、1 / 12 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆理科数学 数学试题卷(理工农医类)共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2b 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题

2、全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 重庆,理 1)已知集合a=1,2,3,b=2,3,则( ) a.a=b b.ab= c.ab d.ba 答案:d 解析:因为a=1,2,3,b=2,3,所以ba. 2.(2015 重庆,理 2)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=( ) a.-1 b.0 c.1 d.6 答案:b 解析:因为an是等差数列,所以 2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=22-4=0. 3.(2015 重庆,理 3)重庆市 2013 年各月

3、的平均气温()数据的茎叶图如下: 2 / 12 则这组数据的中位数是( ) a.19 b.20 c.21.5 d.23 答案:b 解析:由茎叶图可知,这组数据的中位数为20+202=20. 4.(2015 重庆,理 4)“x1”是“log12(x+2)0”的( ) a.充要条件 b.充分而不必要条件 c.必要而不充分条件 d.既不充分也不必要条件 答案:b 解析:由 log12(x+2)1,即x-1,而x|x1x|x-1,所以“x1”是“log12(x+2)0,b0)的右焦点为f,右顶点为a,过f作af的垂线与双曲线交于b,c两点,过b,c分别作ac,ab的垂线,两垂线交于点d.若d到直线bc

4、的距离小于a+2+ 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) a.(-1,0)(0,1) b.(-,-1)(1,+) c.(-2,0)(0,2) d.(-,-2)(2,+) 答案:a 解析:设双曲线半焦距为c,则f(c,0),a(a,0),不妨设点b在点f的上方,点c在点f的下方,则b(,2),c(,-2). 由于kac=0-(-2)-=2(-),且acbd,则kbd=-(-)2, 于是直线bd的方程为y-2=-(-)2(x-c), 由双曲线的对称性知ac的垂线bd与ab的垂线cd关于x轴对称,所以两垂线的交点d在x轴上,于是xd=(-2)-2(-)+c=42(-)+c, 从而d到直线bc

5、的距离为c-xd=-42(-), 由已知得-42(-)a+2+ 2, 即-42(-)a+c, 所以b4a2(c-a)(c+a),即b4a2b2,221, 从而 0 0,34 0,3454,所以=2,=,即交点的极坐标是(2,). 16.(2015 重庆,理 16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,则实数a= . 答案:-6 或 4 解析:当a-1 时, f(x)=|x+1|+2|x-a|=-3 + 2-1, -1, 所以f(x)在(-,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增, 则f(x)在x=a处取得最小值f(a)=-a-1, 由-a-1=5 得a=-6,符合a-1; 当

6、a-1 时, f(x)=|x+1|+2|x-a|=-3 + 2-1, . 所以f(x)在(-,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增, 7 / 12 则f(x)在x=a处取最小值f(a)=a+1, 由a+1=5,得a=4,符合a-1. 综上,实数a的值为-6 或 4. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分,(1)小问 5 分,(2)小问 8 分) (2015 重庆,理 17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取

7、 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设x表示取到的豆沙粽个数,求x的分布列与数学期望. 解:(1)令a表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有 p(a)=c21c31c51c103=14. (2)x的所有可能值为 0,1,2,且 p(x=0)=c83c103=715, p(x=1)=c21c82c103=715, p(x=2)=c22c81c103=115. 综上知,x的分布列为 x 0 1 2 p 715 715 115 故e(x)=0715+1715+2115=35(个). 18.(本小题满分 13 分,(1)小问 7 分,(2)小问 6 分)

8、 (2015 重庆,理 18)已知函数f(x)=sin(2-)sin x-3cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在6,23上的单调性. 解:(1)f(x)=sin(2-)sin x-3cos2x 8 / 12 =cos xsin x-32(1+cos 2x) =12sin 2x-32cos 2x-32=sin(2-3)-32, 因此f(x)的最小正周期为 ,最大值为2-32. (2)当x6,23时,02x-3,从而 当 02x-32,即6x512时,f(x)单调递增, 当22x-3,即512x23时,f(x)单调递减. 综上可知,f(x)在6,512上单调递

9、增;在512,23上单调递减. 19.(本小题满分 13 分,(1)小问 4 分,(2)小问 9 分) (2015 重庆,理 19)如图,三棱锥p-abc中,pc平面abc,pc=3,acb=2.d,e分别为线段ab,bc上的点,且cd=de=2,ce=2eb=2. (1)证明:de平面pcd; (2)求二面角a-pd-c的余弦值. (1)证明:由pc平面abc,de平面abc,故pcde. 由ce=2,cd=de=2得cde为等腰直角三角形,故cdde. 由pccd=c,de垂直于平面pcd内两条相交直线,故de平面pcd. (2)解:由(1)知,cde为等腰直角三角形,dce=4. 如图,

10、过d作df垂直ce于f,易知df=fc=fe=1, 又已知eb=1,故fb=2. 9 / 12 由acb=2得dfac,=23,故ac=32df=32. 以c为坐标原点,分别以 , , 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则c(0,0,0),p(0,0,3),a(32,0,0),e(0,2,0),d(1,1,0), =(1,-1,0), =(-1,-1,3), =(12,-1,0). 设平面pad的法向量为n1=(x1,y1,z1), 由n1 =0,n1 =0,得-1-1+ 31= 0,121-1= 0,故可取n1=(2,1,1). 由(1)可知de平面pcd,故平面pcd的法

11、向量n2可取为 ,即n2=(1,-1,0). 从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为 cos=12|1|2|=36, 故所求二面角a-pd-c的余弦值为36. 20.(本小题满分 12 分,(1)小问 7 分,(2)小问 5 分) (2015 重庆,理 20)设函数f(x)=32+e(ar). (1)若f(x)在x=0 处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)若f(x)在3,+)上为减函数,求a的取值范围. 解:(1)对f(x)求导得f(x)=(6+)e-(32+)e(e)2=-32+(6-)+e. 因为f(x)在x=0 处取得极值,所以f(0)=

12、0,即a=0. 当a=0 时,f(x)=32e,f(x)=-32+6e, 故f(1)=3e,f(1)=3e, 从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得 3x-ey=0. (2)由(1)知f(x)=-32+(6-)+e. 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a, 由g(x)=0 解得x1=6-2+366,x2=6-+2+366. 当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数; 当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数; 当xx2时,g(x)0,即f(x)b0)的左、右焦点分别为f1,f2,过f2的直线交椭圆于p,q两点,且pqpf1. (1)若

13、|pf1|=2+2,|pf2|=2-2,求椭圆的标准方程; (2)若|pf1|=|pq|,求椭圆的离心率e. 解:(1)由椭圆的定义,2a=|pf1|+|pf2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知pf1pf2, 因此 2c=|f1f2|=|1|2+ |2|2=(2 + 2)2+ (2-2)2=23, 即c=3,从而b=2-2=1. 故所求椭圆的标准方程为24+y2=1. (2)解法一:如图,设点p(x0,y0)在椭圆上,且pf1pf2,则 022+022=1,02+02=c2, 求得x0=2-22,y0=2. 由|pf1|=|pq|pf2|得x00, 从而|p

14、f1|2=(2-22+ )2+42 =2(a2-b2)+2a2-22=(a+2-22)2. 由椭圆的定义, |pf1|+|pf2|=2a,|qf1|+|qf2|=2a. 11 / 12 从而由|pf1|=|pq|=|pf2|+|qf2|, 有|qf1|=4a-2|pf1|. 又由pf1pf2,|pf1|=|pq|,知|qf1|=2|pf1|, 因此(2+2)|pf1|=4a, 即(2+2)(a+2-22)=4a, 于是(2+2)(1+22-1)=4, 解得e=121 + (42+2-1)2=6-3. 解法二:如解法一中的图,由椭圆的定义,|pf1|+|pf2|=2a,|qf1|+|qf2|=2

15、a. 从而由|pf1|=|pq|=|pf2|+|qf2|,有|qf1|=4a-2|pf1|. 又由pf1pq,|pf1|=|pq|,知|qf1|=2|pf1|, 因此,4a-2|pf1|=2|pf1|,得 |pf1|=2(2-2)a, 从而|pf2|=2a-|pf1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a. 由pf1pf2,知|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2=(2c)2, 因此e=|1|2+|2|22 =(2-2)2+ (2-1)2=9-62=6-3. 22.(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分) (2015 重庆,理 22)在数列an中,a1=3,an+1an+an+1+2=0(nn+). (1)若=0,=-2,求数列an的通项公式; (2)若=10(k0n+,k02),=-1,证明:2+130+10+10,归纳可得 3=a1a2anan+10. 因为an+1=2+10=2-102+102+10=an-10+10