2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(福建卷) (2)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)第卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015福建,理1)若集合a=i,i2,i3,i4(i是虚数单位),b=1,-1,则ab等于()a.-1b.1c.1,-1d.答案:c解析:a=i,-1,-i,1,b=1,-1,则ab=1,-1.2.(2015福建,理2)下列函数为奇函数的是()a.y=xb.y=|sin x|c.y=cos xd.y=ex-e-x答案:d解析:令y=f(x),选项a,定义域为0,+),不关于原点对称,所以为非奇

2、非偶函数;选项b,f(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=f(x),为偶函数;选项c,f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x),为偶函数;选项d,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),为奇函数.3.(2015福建,理3)若双曲线e:x29-y216=1的左、右焦点分别为f1,f2,点p在双曲线e上,且|pf1|=3,则|pf2|等于()a.11b.9c.5d.3答案:b解析:由双曲线的定义知,|pf1|-|pf2|=6.因为|pf1|=3,所以|pf2|=9.4.(2015福建,理4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到

3、如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=y-b x.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()a.11.4万元b.11.8万元c.12.0万元d.12.2万元答案:b解析:x=8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,y=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8,a=y-0.76x=8-0.76×10=0.4.y=0.76x+0.4.当x=15时,y=0.76×15+0.4=11.8.5.(2015福建,理5)若变量x,y满足

4、约束条件x+2y0,x-y0,x-2y+20,则z=2x-y的最小值等于()a.-52b.-2c.-32d.2答案:a解析:画出可行域,如图阴影部分所示.目标函数化为y=2x-z,平移后在点a处取得最小值,由x+2y=0,x-2y+2=0,得a-1,12,所以zmin=2×(-1)-12=-52.6.(2015福建,理6)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()a.2b.1c.0d.-1答案:c解析:第一次循环,s=cos2=0,i=2,不满足判断框条件,进入循环体;第二次循环,s=cos22=-1,i=3,不满足判断框条件,进入循环体;第三次循环,s=-1+cos

5、32=-1,i=4,不满足判断框条件,进入循环体;第四次循环,s=-1+cos42=0,i=5,不满足判断框条件,进入循环体;第五次循环,s=cos52=0,i=6,满足判断框条件,终止循环,输出s=0.7.(2015福建,理7)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面,则“lm”是“l”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:b解析:因为m,若lm,则l或l,即lml.若l,则lm,即llm.所以“lm”是“l”的必要而不充分条件.8.(2015福建,理8)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,

6、且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()a.6b.7c.8d.9答案:d解析:由题意得a+b=p>0,ab=q>0,则a>0,b>0.不妨设a<b,则-2,a,b成等差数列,a,-2,b成等比数列,即-2+b=2a,ab=4,解得a=1,b=4,p=5,q=4.p+q=9.9.(2015福建,理9)已知abac,|ab|=1t,|ac|=t.若点p是abc所在平面内的一点,且ap=ab|ab|+4ac|ac|,则pb·pc的最大值等于()a.13b.15c.19d.21答案:a解析:以点a为原点,ab,

7、ac所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.则a(0,0),b1t,0,c(0,t),ab|ab|=(1,0),ac|ac|=(0,1),ap=ab|ab|+4ac|ac|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),点p的坐标为(1,4),pb=1t-1,-4,pc=(-1,t-4),pb·pc=1-1t-4t+16=-1t+4t+17-4+17=13.当且仅当1t=4t,即t=12时取“=”,pb·pc的最大值为13.10.(2015福建,理10)若定义在r上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下

8、列结论中一定错误的是()a.f1k<1kb.f1k>1k-1c.f1k-1<1k-1d.f1k-1>kk-1答案:c解析:构造函数f(x)=f(x)-kx,则f'(x)=f'(x)-k>0,函数f(x)在r上为单调递增函数.1k-1>0,f1k-1>f(0).f(0)=f(0)=-1,f1k-1-kk-1>-1,即f1k-1>kk-1-1=1k-1,f1k-1>1k-1,故c错误.第卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2015福建,理11)(x+

9、2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答) 答案:80解析:通项公式为tr+1=c5rx5-r2r,令5-r=2,得r=3.则x2的系数为c53·23=80.12.(2015福建,理12)若锐角abc的面积为103,且ab=5,ac=8,则bc等于. 答案:7解析:由sabc=12|ab|·|ac|·sin a=12×5×8·sin a=103,得sin a=32.abc为锐角三角形,a=60°.由余弦定理,得bc2=ab2+ac2-2·ab·ac·cos 60

10、6;=25+64-2×5×8×12=49,|bc|=7.13.(2015福建,理13)如图,点a的坐标为(1,0),点c的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形abcd内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于. 答案:512解析:s阴影=12 (4-x2)dx=53,s矩形abcd=4,p=s阴影s矩形abcd=512.14.(2015福建,理14)若函数f(x)=-x+6,x2,3+logax,x>2(a>0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是. 答案:(1,2解析:当x2时,f(x)4,+),当x>2

11、时,3+logax的值域为4,+)的子集.a>1,3+loga24,解得1<a2.15.(2015福建,理15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nn*),其中xk(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组:x4x5x6x7=0,x2x3x6x7=0,x1x3x5x7=0,其中运算􀱇定义为:0􀱇0=0,0􀱇1=1,1􀱇0=1,1􀱇1=0.现已知一个

12、这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于. 答案:5解析:若1k3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4􀱇x5􀱇x6􀱇x7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x1􀱇x3􀱇x5􀱇x7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)(2015福建,理16)某银行规定,一张银行

13、卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为x,求x的分布列和数学期望.解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a,则p(a)=56×45×34=12.(2)依题意得,x所有可能的取值是1,2,3.又p(x=1)=16,p(x=2)=56×15=16,p(x=3)=56&

14、#215;45×1=23,所以x的分布列为x123p161623所以e(x)=1×16+2×16+3×23=52.17.(本小题满分13分)(2015福建,理17)如图,在几何体abcde中,四边形abcd是矩形,ab平面bec,beec,ab=be=ec=2,g,f分别是线段be,dc的中点.(1)求证:gf平面ade;(2)求平面aef与平面bec所成锐二面角的余弦值.(1)证法一:如图,取ae的中点h,连接hg,hd,又g是be的中点,所以ghab,且gh=12ab.又f是cd的中点,所以df=12cd.由四边形abcd是矩形,得abcd,ab=c

15、d,所以ghdf,且gh=df,从而四边形hgfd是平行四边形,所以gfdh.又dh平面ade,gf平面ade,所以gf平面ade.证法二:如图,取ab中点m,连接mg,mf.又g是be的中点,可知gmae.又ae平面ade,gm平面ade,所以gm平面ade.在矩形abcd中,由m,f分别是ab,cd的中点,得mfad.又ad平面ade,mf平面ade,所以mf平面ade.又因为gmmf=m,gm平面gmf,mf平面gmf,所以平面gmf平面ade.因为gf平面gmf.所以gf平面ade.(2)解:如图,在平面bec内,过b点作bqec.因为bece,所以bqbe.又因为ab平面bec,所以

16、abbe,abbq.以b为原点,分别以be,bq,ba的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则a(0,0,2),b(0,0,0),e(2,0,0),f(2,2,1).因为ab平面bec,所以ba=(0,0,2)为平面bec的法向量.设n=(x,y,z)为平面aef的法向量.又ae=(2,0,-2),af=(2,2,-1),由n·ae=0,n·af=0,得2x-2z=0,2x+2y-z=0,取z=2,得n=(2,-1,2).从而cos<n,ba>=n·ba|n|·|ba|=43×2=23.所以平面aef与平面bec所成锐

17、二面角的余弦值为23.18.(本小题满分13分)(2015福建,理18)已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,2),且离心率e=22.(1)求椭圆e的方程;(2)设直线l:x=my-1(mr)交椭圆e于a,b两点,判断点g-94,0与以线段ab为直径的圆的位置关系,并说明理由.(1)解:由已知,得b=2,ca=22,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,c=2.所以椭圆e的方程为x24+y22=1.(2)解法一:设点a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中点为h(x0,y0).由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y

18、2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而y0=mm2+2.所以|gh|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.|ab|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y24=(1+m2)(y02-y1y2),故|gh|2-|ab|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,所以|gh|>|ab|2.故点g-94,0在以ab为直径的圆外.解法二:设点a(x1,y1),b

19、(x2,y2),则ga=x1+94,y1,gb=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而ga·gb=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,所以cos<ga,gb>>0.又ga,gb不共线,所以agb为锐角.故点g-94,0在以ab为直径的圆外.19.(本小题满分13分)(2015福建,理

20、19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解,.求实数m的取值范围;证明:cos(-)=2m25-1.(1)解:将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移2个单位长度后得到y=2cosx-2的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2s

21、in x图象的对称轴方程为x=k+2(kz).(2)解:f(x)+g(x)=2sin x+cos x=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依题意,sin(x+)=m5在0,2)内有两个不同的解,当且仅当m5<1,故m的取值范围是(-5,5).证法一:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5 .当1m<5时,+=22-,即-=-2(+);当-5<m<1时,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos 2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25

22、-1.证法二:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5 .当1m<5时,+=22-,即+=-(+);当-5<m<1时,+=232-,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-1-m52+m52=2m25-1.20.(本小题满分14分)(2015福建,理20)已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx(kr).(1)证明:当x>0时,f(x)<x;(2)

23、证明:当k<1时,存在x0>0,使得对任意的x(0,x0),恒有f(x)>g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t>0,对任意的x(0,t),恒有|f(x)-g(x)|<x2.(1)证明:令f(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x0,+),则有f'(x)=11+x-1=-xx+1.当x(0,+)时,f'(x)<0.所以f(x)在0,+)上单调递减,故当x>0时,f(x)<f(0)=0,即当x>0时,f(x)<x.(2)证明:令g(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,x0,+),则有g'

24、(x)=1x+1-k=-kx+(1-k)x+1.当k0时,g'(x)>0,故g(x)在0,+)单调递增,g(x)>g(0)=0,故任意正实数x0均满足题意.当0<k<1时,令g'(x)=0,得x=1-kk=1k-1>0,取x0=1k-1,对任意x(0,x0),有g'(x)>0,从而g(x)在0,x0)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,即f(x)>g(x).综上,当k<1时,总存在x0>0,使得对任意x(0,x0),恒有f(x)>g(x).(3)解法一:当k>1时,由(1)知,对于x(0,+),g

25、(x)>x>f(x),故g(x)>f(x),|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x).令m(x)=kx-ln(1+x)-x2,x0,+),则有m '(x)=k-11+x-2x=-2x2+(k-2)x+k-1x+1,故当x0,k-2+(k-2)2+8(k-1)4时,m'(x)>0,m(x)在0,k-2+(k-2)2+8(k-1)4上单调递增,故m(x)>m(0)=0,即|f(x)-g(x)|>x2.所以满足题意的t不存在.当k<1时,由(2)知,存在x0>0,使得当x(0,x0)时,f(x)>g(x).

26、此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx.令n(x)=ln(1+x)-kx-x2,x0,+),则有n'(x)=1x+1-k-2x=-2x2-(k+2)x+1-kx+1,当x0,-(k+2)+(k+2)2+8(1-k)4时,n'(x)>0,n(x)在0,-(k+2)+(k+2)2+8(1-k)4上单调递增,故n(x)>n(0)=0,即f(x)-g(x)>x2.记x0与-(k+2)+(k+2)2+8(1-k)4中的较小者为x1,则当x(0,x1)时,恒有|f(x)-g(x)|>x2.故满足题意的t不存在.当k=1时,由(1)知,当

27、x>0时,|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x).令h(x)=x-ln(1+x)-x2,x0,+),则有h'(x)=1-11+x-2x=-2x2-xx+1.当x>0时,h'(x)<0,所以h(x)在0,+)上单调递减,故h(x)<h(0)=0.故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|<x2.此时,任意正实数t均满足题意.综上,k=1.解法二:当k>1时,由(1)知,对于x(0,+),g(x)>x>f(x),故|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)>kx-x=(k-1)x

28、.令(k-1)x>x2,解得0<x<k-1.从而得到,当k>1时,对于x(0,k-1),恒有|f(x)-g(x)|>x2,故满足题意的t不存在.当k<1时,取k1=k+12,从而k<k1<1.由(2)知,存在x0>0,使得x(0,x0),f(x)>k1x>kx=g(x),此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)>(k1-k)x=1-k2x.令1-k2x>x2,解得0<x<1-k2,此时f(x)-g(x)>x2.记x0与1-k2的较小者为x1,当x(0,x1)时,恒有|f(x)-g(x)|>x2.故满足题意的t不存在.当k=1时,由(1)知,x>0,|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=x-ln(1+x).令m(x)=x-ln(1+x)-x2,x0,+),则有m'(x)=1-11+x-2x=-2x2-xx+1.当x>0时,m'(x)<0,所以m(x)在0,+)上单调递减,故m(x)<m(0)=0.故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|<x2,此时,任意正实数t均满足题意.综上,k=1.21.(2015福建,理21)本题设有(1