几类特殊矩阵的满秩分解及其应用doc

1、目 录0 引言.11 预备知识.12 几类特殊矩阵满秩分解.22.1 酉对称矩阵的满秩分解 .22.2 行（列）对称矩阵的满秩分解.32.3 行（列）反对称矩阵的满秩分解.42.4 全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解.42.5 广义延拓矩阵的满秩分解.53 矩阵的满秩分解的应用.63.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 .63.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A.63.1.2 利用矩阵A的满秩分解求 M-P 广义逆矩阵A.73.2 线性方程组的极小最小二乘问题 .8参考文献致谢 几类特殊矩阵的满秩分解及其应用赵爱霞（天水师范学院 数学与统计学院, 甘肃天水 741001）摘要

2、 介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用.关键词 酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解.Full Rank Decomposition and Application for some kinds of Special MatrixZHAO Aixia(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001)Ab

3、stract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition i

4、n finding generalized inverse of matrix, Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.数学与统计学院 2012 届毕业论文1 几类特殊矩阵的满秩分解及其应用0 引言 自 20

5、世纪 50 年代以来矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的发展,矩阵理论的应用日益广泛.矩阵已成为人们探索新理论的工具,矩阵分解的应用也越来越受到人们的重视,例如在文献中都有不同的研究.在数值线性代数中,我们常常需要将数域上的某个已知5, 4, 3, 2P矩阵写成若干满足一定条件的特殊类型的矩阵之和或矩阵之积的形式,并把这种矩阵表示成为矩阵分解.矩阵分解中有一类特殊的矩阵的分解,即矩阵的满秩分解,矩阵的满秩分解及其相关行满秩列满秩矩阵的定义和相关性质都有广泛的应用,本文给出几类特殊矩阵的满秩分解的公式和快速算法.1 预备知识定义定义( (满秩分解)设是秩为的矩阵,若存在列满秩矩阵和11.1A0

6、r(r）m nm rF行满秩矩阵,使得rnG (1)=A FG则称（1）式为矩阵的满秩分解.A定义定义(行酉对称矩阵)令为任意给定的负矩阵,为任意给定的正整数.定义21.2m nACk为,其中*12k 1R（A; G, G, G ）*12k 1011Tkm nkRC（A; G, G, G ）=(A , A, A)为酉变换矩阵,矩阵称为的次行酉0,iiiAA AGA G1,2,1.ik*12k 1R（A; G, G, G ）Ak对称矩阵.定义定义(列酉对称矩阵)令为任意给定的负矩阵,为任意给定的正整数.定义21.3m nACk为,其中*12k 1C（A; G, G, G ）*12k 1011m

7、knkCC（A; G, G, G ）=(A , A, A)为酉变换矩阵,矩阵称为的次列酉0,iiiAA AA G G1,2,1.ik*12k 1C（A; G, G, G ）Ak对称矩阵.定义定义设,矩阵的行转置与列转置矩阵分别为31.4=am nijA（）RA12(1)1(1)2(1)2212211112mmmnmmmnRnnaaaaaaAaaaaaa数学与统计学院 2012 届毕业论文2 11(1)121122(1)2221(1)(_1)(1)(1)2(1)1(1)21nnnnCmnmnmmm nmnmmaaaaaaaaAaaaaaaaa 若,则称为行（列）对称矩阵;()RCAA AAA若,

8、则称为行（列）反对称矩阵.()RCAA AA A定义定义设,若则称为全转置阵,记为;若,则称为41.5m nAR() ,TBAA0BA0AAA全对称矩阵.定义定义(广义行延拓矩阵)设,可逆矩阵为任意为给定的51.6m nAC121,m nkP PPCk正整数.定义为12k 1R（A; P, P, P ）,12k 1011Tkm nkRC（A; P, P, P ）=(A , A, A)其中矩阵称为的广义行延拓矩阵.0,iiAA AP A1,2,1.ik12k 1R（A; P, P, P ）A定义定义(广义列延拓矩阵)设,可逆矩阵为任意为给定的51.7m nAC121,m nkP PPCk正整数.

9、定义为12k 1C (A; P, P, P ）,12k 1011m knkCC (A; P, P, P ）=(A , A, A)其中矩阵称为的广义列延拓矩阵. 0,iiAA AA P1,2,1.ik12k 1C (A; P, P, P ）A2 几类特殊矩阵满秩分解2.1 酉对称矩阵的满秩分解酉对称矩阵有两种形式分别为行酉对称矩阵和列酉对称矩阵,下面对这两种矩阵的满值分解做出介绍.首先,给出行酉对称矩阵的满秩分解.定理定理 2.1.1 设,存在使令(0)m nrACr,m rr nrrFCGC.AFG则*121,( ;,) ,TkGG FF G F G FGF1分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;*,

10、G F2.*12k 1=RG（A; G, G, G ）F对于列酉对称矩阵,其满秩分解同行酉对称矩阵的满秩分解很是相似.定理定理 2.1.2 设,存在使令(0)m nrACr,m rr nrrFCGC.AFG则*121,( ;,) ,TkFF GG GG GGGG数学与统计学院 2012 届毕业论文3 1分别是行满秩矩阵和列满秩矩阵;*,G F2.*12k 1=CG（A; G, G, G ）F2.2 行（列）对称矩阵的满秩分解 本小节主要介绍行列对称矩阵的满秩分解,首先介绍行对称矩阵的满秩分解.定理定理 2.2.1 设的满秩分解为则行对称矩阵nmrRB，nrrrmr,RGRFFGB的满秩分解为n

11、mRBJBA2rm.GFJFAm这是偶数行的对称矩阵的满秩分解.下面介绍奇数行的对称矩阵的满秩分解.定理定理 2.2.2 设的满秩分解为nmrRB,nrrrmrGRGRFFGB，则行对称矩阵的满秩分解为n11,RRrnmrmRBJBA)12(.mGFJFA上面已经对行对称矩阵给出了满秩分解,接下来将介绍列对称矩阵的满秩分解,类似的有,偶数列对称矩阵和奇数列对称矩阵的满秩分解.定理定理 2.2.3（偶数列对称矩阵的满秩分解） 设的满秩分解为nmrRB则列对称矩阵的满秩分解为，nrrrmr,RGRFFGBnmnRBJBA2r. )(nGJGFA 定理定理 2.2.4（奇数列对称矩阵的满秩分解） 设

12、的满秩分解为nmrRB则列对称矩阵，nrrrmr,RGRFFGB11r,mRRF，的满秩分解为)12(rnnmRBJBA.)(nGJGFA前面已经给出了行列对称矩阵的满秩分解,现在我们仿照它来研究各种形式的行列反对称矩阵的满秩分解.2.3 行（列）反对称矩阵的满秩分解定理定理 2.3.1 (偶数行反对称矩阵) 设的满秩分解为则nmrRB，nrrrmr,RGRFFGB数学与统计学院 2012 届毕业论文4 行反对称矩阵的满秩分解为nmRBJBA2rm-.-GFJFAm定理定理 2.3.2 (奇数行反对称矩阵)设的满秩分解为则行nmrRB，nrr,RGRFFGBrmr反对称矩阵的满秩分解为nmrm

13、RBJBA)12(-0.-0mGFJFA定理定理 2.3.3（偶数列反对称矩阵） 设的满秩分解为nmrRB则列对称矩阵的满秩分解为，nrrrmr,RGRFFGBnmnRBJBA2r. )(nGJGFA定理定理 2.3.4（奇数列反对称矩阵） 设的满秩分解为nmrRB则列对称矩阵的满秩分解为,FGB ，nrrrmrRGRF)12(r0nmnRBJBA. )0(nGJGFA下面我们来介绍另一类特殊矩阵全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解,同样地,有比较多的形式.2.4 全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解定理定理 2.4.1 (偶数行偶数列全对称矩阵) 设的满秩分解为nmrRB,FGB 则

14、矩阵的满秩分解为，nrrrmrRGRFnmnmRBJJBJBJBA22rmn.(n）GJGFJFAm定理定理 2.4.2 (偶数行奇数列全对称矩阵) 设的满秩分解为nmrRB则矩阵，1rnrrrmr,RFRGRFFGB的满秩分解为)12(2nmrnmmmnRBJJJBJBJBA数学与统计学院 2012 届毕业论文5 .nmGJGFJFA定理定理 2.4.2 (奇数行偶数列全对称矩阵) 设的满秩分解为nmrRB，rmr,RFFGB则矩阵的满秩分解为，nrrRG，1r,RGnmrRJBJBA2)12(nmmnnBJJBJ.nmGJGFJFA定理定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设的满秩分

15、解为nmrRB，rmr,RFFGB则矩阵，nrrRG，n1r1,RRG的满秩分解为nmn000BJJBJJBJBAmn)12(12nmrR）（.0nmGJGFJFA定理定理 2.4.2 (奇数行奇数列全对称矩阵)设的满秩分解为nmrRB，rmr,RFFGB,则矩阵，nrrRG1m1rRRF，的满秩分解为nmmn000BJJJBJBJBAm)12(12nmrR）（.0nmGJGFJFA2.5 广义延拓矩阵的满秩分解定理定理 2.5.1 (广义行延拓矩阵) 设的满秩分解为则广nmrRB，rmr,RFFGB，nrrRG义行延拓矩阵的满秩分解为nkmr1k21),;(RPPPBRA，.),;(1k21

16、GPPPFRA，定理定理 2.5.2 (广义列延拓矩阵) 设的满秩分解为则广nmrRB，rmr,RFFGB，nrrRG义列矩阵的满秩分解为nmr1k21),;(kRPPPBCA，).,;(1k21PPPGFCA，数学与统计学院 2012 届毕业论文6 3 矩阵的满秩分解的应用3.1 利用矩阵的满秩分解求广义逆矩阵A广义逆矩阵概念早在 1920 年就被提出,但是没有受到人们的关注.至到 1955 年R.Penrose 通过线性方程组的研究来定义广义逆矩阵,这才受到关注.3.1.1 利用矩阵的满秩分解求广义逆矩阵A-A在这里首先介绍最一般的广义逆矩阵的概念,并利用矩阵的满秩分解来求解一个矩阵的广义

17、逆矩阵A.A定义定义 （广义逆矩阵）设,若存在,使得61 . 1 . 1 . 3-AnmCAmnCGAAGA则称是的广义逆矩阵,并记为GA. AG 有了矩阵的满秩分解和广义逆矩阵的定义,现在给出对矩阵利用矩阵的满秩分解求-AA广义逆矩阵的算法A定理定理 3.1.1.13.1.1.1 设,且存在可逆矩阵使得nCAmrnm,minrrankAnnmCQCP,m,有满秩分解, 则有000rIPAQAFGA .000,rPIQAFGA或例例 3.1.1.1 试利用矩阵的满秩分解求如下矩阵的一个广义逆矩阵.A-A.111100011200A解解 显然，先求的满秩分解:2rankAA.0000001000

18、11111100011200A取,从而.100011GFGAF，得11100120数学与统计学院 2012 届毕业论文7 再求:,GF.12145162111110210106112)(11HHFFFF 100210212002100101)(11-HHGGGG于是 .242-851-62-51-62-2211214516211110021021FGA3.1.2 利用矩阵的满秩分解求 M-P 广义逆矩阵AA接下来将介绍由 Moore 和 Penrose 研究出的 M-P 广义逆,并研究利用矩阵满秩分解来求解一个矩阵的 M-P 广义逆矩阵A.A定义定义（广义逆矩阵）设,若存在,使得61 . 2

19、. 1 . 3AnmCAmnCG;AA AG;GGAG ;)(AGAGH;)(GAGAH则称是的广义逆矩阵,并记为GAPM . AG定理定理 3.1.2.2 设,且是的满秩分解,则有nCAmrFGA A,)()(11HHHHBBBDDDG就是的一个广义逆矩阵并且是惟一的.APM ，AA特别地, 对于行满秩和列满值秩矩阵,我们有 设是一个行满秩矩阵,则有nmCF;)(1HHFFFF 设是一个列满秩矩阵,则有nmCG.)(1HHGGGG例例 3.1.2.1 设矩阵为A,55444411A数学与统计学院 2012 届毕业论文8 求的广义逆矩阵APM .A 解解 取则的满秩分解,由引理可得,5441,

20、11GFAFGA是) 11 ()1111(11HHFFFF）（ ,2121 ,544158154415441544111）（HHGGGG于是FGA1165291291116111652912911161212154415813.2 线性方程组的极小最小二乘问题在高等代数中,对于给定的矩阵,向量,存在矩阵使得是线nnCAnCbnnCGGbx 性方程组有解的充要条件是.同样的，对于相容线性方程组bAx1 AG的解与广义逆矩阵也有类似结果:）)(b( , bARAx-A对于给定的矩阵,对任何,存在矩阵使得是线性方程组nmCA)(ARbmnCGbGx 相容的充要条件是进而, 线性方程组相容的充要条件是

21、bAx. AGbAx. bbAA事实上,由上面得到的结论是的解,于是另外,令bAxbAx. bbAA,这说明方程组有解即，故线性方程组相容.bbAAAbAx00 x,则bAx)(ARbbAx 现在利用线性方程组的系数矩阵的广义逆矩阵可以给出相容线性方程组bAxA-A的通解.由于是相容线性方程组的一个特解,并根据非其次线性方程组的bAxb-Ax bAx解的结构可以得到,的通解是由它的特解和齐次线性方程组的通解bAx0Ax组成.)( ,n为任意向量）（yyAAIx数学与统计学院 2012 届毕业论文9 定理定理 3.2.1 设矩阵,则相容线性方程组的通解为nmCAbAx. )( ,bn为任意向量）

22、（yyAAIAx例例 3.2.1 求线性方程组103233x3212131xxxxxx的通解.解解 因对 103b,111032301A有，方程组相容.先求得：2),(rankrankbAAA000101001A于是所给方程组的通解为33213123023y1002003-0002-3byyyyAAIAx）（现在,假设线性方程组是不相容的,即它是矛盾方程组.虽然它在一般意义下无解,但bAx是在实际问题中所遇到的线性方程组都是不相容的.在这种情况下,实际应用要求我们找到一个近似解使得它的误差范数最小,即n0Cx nCxAA,b-xminb-x0并将这样的近似解称为不相容线性方程组的最小二乘解.然

23、而,对于一般的不相容线性方程组的最小二乘解并不唯一,通常将其中范数最小二乘解称为极小最小二乘解,并且它是唯一的.定理定理 3.2.2 对于给定的矩阵,对任何,存在矩阵使得是线nmCA)(ARbmnCGbGx 性方程组相容的充要条件是且极小最小二乘解为.bAx， AGb Ax例例 3.2.2 求线性方程组数学与统计学院 2012 届毕业论文10 3642x122x0 x332x3213131321xxxxxx的极小最小二乘解.解解 因对 3101b,642202101321A有,所以所给方程组不相容.先求得：3),(rank2rankbAA，而A,221148-4-22-1051-301A故方程组的极小最小二乘解为.3211013101221148-4-22-1051-3010bAx数学与统计学院 2012 届毕业论文参