瑕积分的收敛判别法.PPT

1、18.4 瑕积分的收敛与计算20+ ( )lim( ),bbaaf x dxf x dx 的的右右上上有有定定义义，而而在在点点在在区区间间设设abaxf,()(上上在在但但对对邻邻域域内内无无界界)(),0(,baxfa,b .)( badxxf为为记记一、一、无界函数的广义积分无界函数的广义积分 定义定义4.14.1可积，若可积，若0+lim( ),baf x dx 存存在在, .当当上上述述的的极极限限不不存存在在时时瑕瑕积积分分发发散散称称在在则则称称此此极极限限为为)(xf(a,b 上上的的广广义义积积瑕瑕分分（也也称称积积分分），,. a瑕瑕积积分分收收敛敛这这也也称称称称为为瑕瑕

2、点点时时即：即：3可以定义可以定义类似地，类似地，0+ ( )lim( ),bbaaf x dxf x dx 为为瑕瑕点点，上上瑕瑕积积分分，在在区区间间bbaxf),)()1()()(),()2(a,bxfcxfa,bc在在点无界，则点无界，则在在且且若若 上的积分为上的积分为b0+0+ ( )( )( )lim( )lim( )bcbaaccacf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积

3、分发散. .4例例1 1解解: : .)(讨论瑕积分10的收敛性01 pdxxp是是瑕瑕点点，且且由由于于0 x1,11(1),1,11(01)ln ,1.ppppdxxp 且且瑕瑕积积分分收收敛敛时时故故当当，p10 ;111lim11010 pdxxdxxpp1,.p 当时 瑕积分发散于5解：解：例例2 2所所以以为瑕点，为瑕点，由于由于1 x 计算广义积分计算广义积分.)1(3032 xdx 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21

4、(33 6例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.7注意注意（1） 瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区瑕积分与定积分表达方式相同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。 （2） 瑕积分瑕积分N-L公式，换元积分公式、分部积分公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。公式仍然成立，代入上、下限时对应的是极限值。

5、8则则作代换作代换 , 1yax abdyyyaf121)1(无无穷穷积积分分瑕瑕积积分分 ,)(, )( , :baRxgxfa 是是瑕瑕点点积积分分下下限限约约定定 ,)(的的瑕瑕点点是是设设xfa1120011lim( )lim()bb aaf x dxf adyyy 问题：问题：?性性如如何何判判断断瑕瑕积积分分的的敛敛散散9二二. . 瑕积分的性质瑕积分的性质性质性质性质性质瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 . . 为为任任意意常常数数，的的瑕瑕点点同同为为若若2111,)(),(,kkaxxfxf 都都收收敛敛时时，与与则则当当瑕瑕积积分分dxx

6、fdxxfbaba )()(21也也收收敛敛，且且瑕瑕积积分分dxxfkxfkba)()(2211 .)()()()(22112211dxxfkdxxfkdxxfkxfkbababa 为为任任意意常常数数，且且的的瑕瑕点点为为若若)(,)(a,bcaxxf ( )( )bcaaf x dxf x dx 则则瑕瑕积积分分与与同同敛敛散散，且且.)()()(dxxfdxxfdxxfbccaba 10三、瑕积分收敛的判别法三、瑕积分收敛的判别法. .定理定理4.1(4.1(柯西准则柯西准则) )在在上上有有定定义义，且且在在若若)(, 0,)()(limxfxfa,bxfax 收收敛敛的的充充要要条

7、条件件是是为为瑕瑕点点上上可可积积，则则 baadxxf,ba)()( 120,0,auua 只只要要当当有有.)(21 uudxxf( ),|( )|( ).bbbaaaf x dxf x dxf x dx 则则收收敛敛绝对收敛绝对收敛.收收敛敛收收敛敛.绝对收敛绝对收敛 2. 2. 定理定理4.24.2( )(,( )dbaf xa,baf xx 若若在在上上有有定定义义, , 为为瑕瑕点点 且且收收敛敛，11;d)(d)( 1收收敛敛收收敛敛若若 babaoxxfxxg.d)(d)( 2发散发散发散发散若若 babaoxxgxxf1(0) ()1bpapdxaxap 当当时时收收敛敛；当

8、当时时发发散散常用的比较对象：常用的比较对象：3. 3. 定理定理4.34.3（比较判别法）（比较判别法）且且对对上上有有定定义义，瑕瑕点点同同为为在在，设设,()()(axa,bxgxf 的的上上可可积积，对对充充分分靠靠近近在在a,baxgxf)(),(, 0 (),0( )( ),f xg xxxa 如如果果有有则则12，则则且且设设lxgxfxgxfax )()(lim , 0)(),(同同敛敛散散；与与时时当当 babaxxgxxfld)(d)(,0 1收敛；收敛；收敛收敛时，时，当当 babaxxfxxgld)(d)( 0 2.d)(d)( , 3发发散散发发散散时时当当 baba

9、xxfxxgl4. 4. 定理定理4.44.4（比较判别法极限形式）（比较判别法极限形式）13，有有使使得得对对abM 0 0, 1, 0)(lim,( 2 xgbagax且且上上单单调调在在,)()(),(axxfa,bxgxf 有有唯唯一一瑕瑕点点上上有有定定义义，且且在在设设.)d()(收敛收敛则则xxgxfba ;|d )(|Mxxfba 5. 5. 定理定理4.5(Dirichlet4.5(Dirichlet判别法判别法) )满满足足上上可可积积，如如果果在在)(),()(),(, 0 xgxf,baxgxf 下列条件：下列条件：14;d )( 1收收敛敛xxfba .,()( 2中

10、中单单调调有有界界在在baxg.)d()(收敛收敛则则xxgxfba .,有类似的结果有类似的结果间值时间值时瑕点为积分上限或者中瑕点为积分上限或者中6. 6. 定理定理4.5(Abel4.5(Abel判别法判别法) ),)()(),(axxfa,bxgxf 有唯一瑕点有唯一瑕点上有定义，且上有定义，且在在设设满满足足上上可可积积，如如果果在在)(),()(),(, 0 xgxf,baxgxf 下下列列条条件件：15例例4 410lnln(1)(1)xxdxxx 1411000014414ln ln(1)ln1(1)limlimlnlim4lim01xxxxxxxxxxxxxxx 收敛收敛解解

11、16.ln31的的收收敛敛性性判判别别广广义义积积分分 xdx解解的左邻域内无界的左邻域内无界被积函数在点被积函数在点1 x由洛必达法则知：由洛必达法则知：xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根据判别法极限形式根据判别法极限形式,所给广义积分发散所给广义积分发散.例例5 517例例6 6 1011)1(dxxxqp研究研究.的敛散性的敛散性解：解：.1 ,1 ;0 ,1是是瑕瑕点点时时当当是是瑕瑕点点时时当当 xqxp: , )1 , 0(把积分拆成两部分把积分拆成两部分故取故取 a aqpqpdxxxdxxx0111011)1()1( 111)1(aqpdxxx,0时时

12、当当 x,)1(111 pqpxxx ; ,0第第一一个个积积分分收收敛敛时时故故当当 p18Beta函数函数.0, 0时时收收敛敛综综上上，原原积积分分在在 qp).,(qpB函函数数故故积积分分定定义义了了一一个个二二元元例例7 7.)0()(01的的敛敛散散性性研研究究积积分分 sdxxessxs)(s o,1时时当当 x,)1()1(111 qqpxxx ; ,0第第二二个个积积分分收收敛敛时时故故当当 q解：解：,0 ,1是是瑕瑕点点时时当当 xs.但它又是无穷积分但它又是无穷积分:部部分分来来讨讨论论下下面面我我们们把把它它拆拆成成两两个个19 函函数数,0时时当当 x,11 ss

13、xxxe 1110101dxxedxxedxxesxsxsx.0时时收收敛敛所所以以第第一一个个积积分分当当 s,时时当当x, 012 sxxex.为为何何值值都都收收敛敛所所以以第第二二个个积积分分不不论论s.0时时收收敛敛因因此此原原积积分分当当 s).(ss 为为变变量量的的函函数数该该积积分分定定义义了了一一个个以以20 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：).0()()1( ssss递推公式递推公式.)(0 ss时时，当当).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代换换在在 2120sinm

14、xdxx 220sinlim1,21,3mmxxxmmx 2sin1cos21,2mmxxmxx 2221001sinsinsinmmmxxxdxdxdxxxx2sin11mmxmxx由于，由于，收敛收敛收敛收敛发散发散1m3,收敛收敛例例8 8解：解：22例例9 9.sin , 0101的的敛敛散散性性讨讨论论积积分分设设dxxppx 解：解： , 0 是是瑕瑕点点易易见见 x得得作变换作变换 ,1tx ,sinsin12101dtttdxxppx . ,2 .1积分发散积分发散时时当当 po 02)1(222sin)2(|sin|tdtktdttpkkp, 2)2(22 pk 时时，则则当

15、当这这是是因因为为若若取取 kkAkA,)12(,2 23,C收收敛敛原原理理所所以以由由auchy. ,2 积分发散积分发散时时当当 p. ,10 .2积积分分绝绝对对收收敛敛时时当当 po,1|sin| 22ppttt . 由由比比较较判判别别法法可可知知. ,21 .3积积分分条条件件收收敛敛时时当当 po 0, ,21 2单单调调地地趋趋于于时时当当 ptp. ,Dirichlet 积积分分收收敛敛判判别别法法由由所所以以是是发发散散的的而而此此时时 ,t|sint| ,1p-2dt 24例例1010.1ln102的的敛敛散散性性判判断断积积分分dxxx 由于解：解：,1ln1ln1l

16、n12122102102dxxxdxxxdxxx 又因为,211ln21lim xxx所以，.1ln11212存存在在不不是是瑕瑕点点，因因此此dxxxx 而而，由由于于对对充充分分小小的的对对于于|,ln|2|1ln| ,1ln22102xxxxdxxx 存在，存在，2102100210lnlnlnlimlimxxxdxxdxx .故故所所给给积积分分收收敛敛25例例1111解：解： , 0 是是瑕瑕点点易易见见 x: ,把积分分成两部分把积分分成两部分为此为此dxxxdxxxI 1101sin11sin1 21II : 1的的收收敛敛性性现现讨讨论论 I.1)sin1(, 00的的收收敛敛

17、性性讨讨论论积积分分设设dxxx 的收敛性和的收敛性和显然显然 1I.sin1101的的收收敛敛性性相相同同dxxxI ,0时时因为当因为当x351sin( ),3!x xxOx 26, 所所以以 ,0时时因而当因而当x.61sin12 xxx. ,211收敛收敛时时故当故当I . , 1sin1绝绝对对收收敛敛故故由由于于Ixx ).(1(61)(! 31sin12242xOxxOxxx 27: 2的的收收敛敛性性再再讨讨论论 I, , 1|sin| 由二项式展开得由二项式展开得 xx).1(sin1sin12xOxxxx ,所以所以).1(sin1sin12xOxxxx 因为积分因为积分

18、1 ,sin条件收敛条件收敛dxxx 12 , )1(绝绝对对收收敛敛dxxO. 2条条件件收收敛敛所所以以I.210 时条件收敛时条件收敛当当故故 I28.arctan0的的收收敛敛性性讨讨论论积积分分 dxxxp 原积分原积分110arctanarctandxxxdxxxpp,)0(1arctan1可可知知由由 xxxxpp时时第第一一项项积积分分收收敛敛；当当2 p可可知知，由由)(2arctan xxxxpp .1时时第第二二项项积积分分收收敛敛当当 p.21发散发散时积分收敛，其他情况时积分收敛，其他情况所以当所以当 p例例1 12 2解：解：29.cos 0sin的敛散性的敛散性讨论积分讨论积分 dxxxepx 原原积积分分1sin10sincoscosdxxxedxxxepxpx可可知知，由由)0(1cossin xxxxeppx时第一项积分收敛；