保险精算学生命表基本函数学习教案

1、会计学1保险保险(boxin)精算学生命表基本函数精算学生命表基本函数第一页，共21页。第1页/共20页第二页，共21页。第2页/共20页第三页，共21页。第3页/共20页第四页，共21页。 001211001210101. :012.:0,1,1100000,1000000,1203.:(1)(2):xxxxxxxxxx ttnxxxlxxllllldxxlldldddddlddxxn 年龄，在生命表中的范围，岁。 取整数值。存活到确切整数年龄 岁的人数。岁的存活人在 岁这一整年内的死亡人数。表示在 岁到岁之间死亡xxxnndll的人数，用公式表示即为：第4页/共20页第五页，共21页。 1

2、1111114.:(1),0,1,121:1.5.:1,1xxxxnxxx nnxxnxxxxxxxxxxqxdqxldllqllqxxxnlldqllnqqpxxlplpq死亡率，表示 岁的人在一年内死亡的概率。表示 岁的存活人在 岁到岁之间死亡的概率，用公式表示即为：当时，生存率，表示 岁的人在一年内存活的概率，即到岁时仍然存活的概率。1:,nxnxx nxnnxxpqpxnlpl表示 岁的存活人再活 年的概率，用公式表示即为：第5页/共20页第六页，共21页。1006.:10.:7.:xnx nx nx nx nx nxnxx nnxxxx nxxmxnmx nx nx m mxnxm

3、nxnxmx nn mxxxqxnnlldldqp qllllnqqqxxnxnmdllqpppqllex 表示 岁的存活人，活过 年，并在第年死亡的概率。当时，表示 岁的人在岁之间死亡的概率，完全平均余寿或生命期望值，即表示 岁的存活人在00e以后可望生存的平均年数。表示确定基数的一个群体的平均寿命。第6页/共20页第七页，共21页。1012101001210001111221111:22xxxxx ttxxttellltdllellltdll 定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为:平均寿命为第7页/共20页第八页，共21页。111010011121000:1221

4、1111.221xxxxxxxxxx ttxxxx ttxxxx tx txxtxxxxx ttxxLxllLldTxTLTeLllldlllllTeLll 证明 记 表示 岁的人在一年内存活的总人年数. 记 表示 岁的在未来存活的总人年数. 另,11110011122xxxx tx tx tttxxlltdll 第8页/共20页第九页，共21页。第9页/共20页第十页，共21页。第10页/共20页第十一页，共21页。 生命表描述了人口在整数年龄(ninlng)上存活和死亡的规律，但实际上年龄(ninlng)是人出生后存活时间的度量，它是一个连续随机变量。00( )(),0.( )1( )()

5、,0., ( ).()()( )xxXF xP Xx xxqs xF xP Xx xxp s xxxtP xXxtF xtF x 假设新生儿未来存活时间或者新生儿的死亡年龄为 ，它是一个连续的随机变量，其分布函数为： 注释：表示新生儿在 岁前死亡的概率，对应生命表中设注释：表示新生儿活过 岁的概率，对应生命表中称为生存函数新生儿在岁间死亡的概率为：生命表函数中，0( ).xll s x第11页/共20页第十二页，共21页。 ( )( ( )0.1( )( ( )0.txtxxxxT xxT xxT xTG tP T xttqxtT xG tP T xttpx对一个 岁的人，称 岁生命，用（ ）

6、表示。用表示他的剩余寿命，则表示此人死亡时的年龄。显然，对一确定 岁的某人其剩余寿命是一个连续的随机变量，下面我们简记为 。分布函数：表示某 岁的人在 年内死亡的概率。的存活函数为：当 00,txxtTXqF xtF xs xs xtqP xXtx XxF xs x 时，正是新生儿未来余寿的随机变量。这时，实际上是一个条件概率：第12页/共20页第十三页，共21页。 ( )()( )( ),1,0,1,.1 .xt uxt ut uxtxtxu txtxux txxtxtuqqP tT xutG utG tqqpppqT xK xK xkkT xkkxP K xkP kTkS xx 在的死亡率

7、在寿险精算中，年龄变量通常取整数，实际上它是上述的整数部分，我们用表示之 即称之为的整值余寿,其概率分布函数为:设为在死亡年所活过的分数年龄,它是 0.( )( )( )T xK xS x,1 上的连续分布第13页/共20页第十四页，共21页。问题的提出：生命表中描述死亡水平的指标是死亡率 ，这里的x是整数，如果x不光是整数，而是连续变动(bindng)的，怎么描述在某确切年龄点上的瞬时死亡水平呢？解决的方案：死亡力度的提出。xq第14页/共20页第十五页，共21页。 000lim.,.lim.lim,lnlnxhhxhx nx nynxxxxns xs xhhs xs xs xhxxhs x

8、s xs xhxxhhs xs xhs xxhs xs xhsxhs xs xxxnxnsydydys ypxs ype 死亡力是描述瞬间死亡水平的指标,定义:表示在间的死亡概率表示在间死亡概率密度而正是生存函数s的导数两边从 到积分 得00,x nntyx sx sxdydsdsnxepe第15页/共20页第十六页，共21页。 00,1,1.txtxx ttxx tnnxtxx tmxtxx tnn mT xg xg xGxs xts xtdddg xqdtdts xdts xsxts xtsxtps xs xs xtpdtqpdtqpdt 设的概率密度函数为则所以第16页/共20页第十七页

9、，共21页。 002220022200022200022xtxx ttxx ttxtxtxtxtxtxtxeE T xt pdtdE T xtpdttqdtdtdtpdtp tp dtdtt p dtVar T xE T xE T xt p dtp dt 而且第17页/共20页第十八页，共21页。 001221000,1,( ).,()()()1,()21,.2xxkxx kxkkkxxttxxttxkxkkkxxxxK xeeE K xk p qk qpqpqk qpT xK xS xE T xE K xE S xE S xee岁的整值平均是指余寿 岁未来平均存活的整数年数 不包括不满年的余

10、数寿命 是整值余寿随机变量的数学期望,用 表示而故由于故在假均匀分布下所以第18页/共20页第十九页，共21页。 200363636,50%,.1( )( )2:0.5,( ).3.220250.001,.1003.30100 ,36 .10 xT xxm xP T xm xP T xm xs xm xs xm xegxqxegs xxqemx2215中值余寿是的余寿的中值在这一年之前死亡和之后死亡的概率相等 都是以表示之则即根据生存函数 容易计算出若当时,计算已知试求第19页/共20页第二十页，共21页。NoImage内容(nirng)总结会计学。生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡(swng)的全部过程的一种统计表。编制方法：1 选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的封闭人口数，这个数称为确定基数。2