2020-2021学年陕西省高考数学二模试卷(理科)及答案解析

1、西省 高考 数学 二模 试 卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|1 <x<3，B=x|y=，则A（ ?RB）=（）Ax|1<x<3Bx|1x<3Cx|1< x 1Dx|1<x<1+( cosi 是纯虚数，则tan 的值为（2若复数z=sin D3一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A 2BCD4已知双曲线=1（ a> 0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（A y=±

2、; 2x B y=±x C y=±xD y=±x5甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n 种，则（n展开式的常数项为（ABC55 D 556某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6 组： 40， 50） ， 50， 60） ， 60， 70） ， 70， 80） ， 80， 90） ， 90， 100）加600 名，若成绩不少于80 分）7设Sn是数列an（nN+）的前n 项和，n2 时点（an1，2an）在直线y=2x+1 上，且an的首项 a1 是二次函数y=x2 2x+3 的最小

3、值，则S9的值为（）A 6B 7C 36D 328算法程序框图如图所示，若，则输出的结果是（B aC bD cA9已知实数a，b，c 成等比数列，函数y=（x2）ex的极小值为b，则ac等于（A1 Be C e2D 2 10给出下列五个结论： 回归直线y=bx+a 一定过样本中心点（，） ；? x0 R，使得x02 3x0 2 0”； 命题 “ ? x R，均有x2 3x 2> 0”的否定是： 将函数 y=sinx+ cosx 的图象向右平移后，所得到的图象关于y 轴对称； ?mR，使f（x）=（m1）?x是幂函数，且在（0，+）上递增； 函数f（ x） =恰好有三个零点；其中正确的结论

4、为（）A B C D 11 如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4， 0） ，B（4，2），C（0，2），曲线经过点 B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）12定义在R 上的函数f（x），f（x）是其导数，且满足f（x）+f（x）>2，ef（1）=2e+4，则不等式exf（ x）>4+2ex（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A （1，+ ）B（ ，0） （1，+）C（，0） （0，+）D （ ，1）4 小题，每小题5 分，共 20 分，请把答案写在答题卷上）13已知函数f（ x）f 已知两点A（ 0， 2） 、 B（ 3，1 ） ，设

5、向量，=（ 1， m） ，若 ，那么实数m=15已知实数x， y 满足约束条件z=ax+by（ a> 0， b> 0）的最大值为1，则16如图，正方形ABCD中，坐标原点O为 AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D 为抛物线y2=2ax（ 0< a< b）的焦点，且此抛物线经过C， F 两点，则=6 题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17若向量=（sin x，sin x），=（cos x，sin x）其中>0，记函数f（x）=f（ x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是 ）求f（ x）的表达式及f（ x）的单调递增区间； ）设 ABC三

6、内角A、 B、 C的对应边分别为a、b、 c，若a+b=3， c= ， f（ C） =1 ，求ABC18 某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720 名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A， B， C 三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号ABC答卷份数160240320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9 份进行分析（ ）若从选出的9份答卷中抽出3 份，求这3 份中至少有1 份选择 A题作答的概率；（ ） 若从选出的9 份答卷中抽出3 份， 记其中选择C题作答的份数

7、为X， 求 X的分布列及其数学期望E（ X） 19已知四棱锥ABCDE，其中AC=BC=2，ACBC，CDBE 且CD=2BE，CD平面ABC，F 为AD 的中点（ ）求证：EF平面ABC；（ ）设 M 是 AB的中点，若DM 与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值20已知椭圆C：+=1（ a> b> 0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x y=0 截得的弦长为2 ）求椭圆C 的标准方程；（ ）已知点A、 B 为动直线y=k（ x 1） ， k 0 与椭圆 C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点 M，使得? 为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值

8、；若不存在，请说明理由21 已知函数f（ x） =， g（ x） = 1 （ ）求函数f（ x）的单调区间；（ ）对一切x（0， +） ， 2f（ x）g（ x）恒成立，求实数m 的取值范围；成立 ）证明：对一切x（0， + ） ，都有lnx<请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时写清题号，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1 ：几何证明选讲22如图所示，AB为圆O的直径，BC， CD为圆 O的切线，B， D 为切点（ ）求证：AD OC；（ ）若AD?OC=8，求圆O的面积 选修4-4 ：坐标系与参数方程23已知在

9、直角坐标系xOy中，圆 C的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为（ ）求圆 C的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（ ）设 M 是直线l 上任意一点，过M 做圆 C切线，切点为A、 B，求四边形AMBC面积的最小值 选修4-5 ：不等式选讲24设函数（ ）证明：f（ x）2；（ ）若当 m=2 时，关于实数x的不等式f（ x）t2t 恒成立，求实数t的取值范围参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|1 <x<3，

10、B=x|y=，则A（?RB）=（）Ax|1<x<3Bx|1x<3Cx|1<x1Dx|1<x<1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据集合A、 B，求出 ? RB，再求A（ ? RB）即可【解答】解：集合A=x| 1 < x< 3，B=x|y=x|1 x 0=x|x 1， ? RB=x|x> 1， A（ ? RB）=x|1< x< 3故选：A2若复数z=sin +( cos ） i 是纯虚数，则tan 的值为（ABCD复数z=sin+（cos ) i 是纯虚数，可得 sin =0， cos 0， 可得 cos ，即可得出z=s

11、in +( cos ） i 是纯虚数，sin =0， cos 0，cos =则 tan =故选： B3一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（）A 2BCD算公式、勾股定理即可得出的正方形，高为h利用体积计的正方形，高为h则× h=2，解得h=3PC=故选：C4已知双曲线=1（ a> 0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（A y=± 2x B y=±xa， b， c 的关系，可得b= a，由双曲线的渐近线方程即可得到所求方程【解答】解：双曲线=1（ a> 0）的离心率为可得e=，即有c=a，由c

12、2=a2+b2，可得b=a，即有渐近线方程为y=± x，即为y=±x故选： B5甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有种，则（） n展开式的常数项为（ABC55 D 55n 的值，再根据通项公式求出k 的值，问题得以解决3个2 人，有A22=2 种不同的顺序，排好后，形成空位，在 3 个空位中，选2个安排甲乙，有A32=6种选法，则甲乙不相邻的排法有2× 6=12 种，即n=12；（）n=（）12的通项公式C12k（）kxk=（）kC12k，4=0 时，即 k=3 时，故选：A6某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分

13、学生，将他们的数学测试成绩分为6 组：40，50）， 50，60），60，70） ， 70，80），80，90）， 90， 100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高二年级共有学生600 名，若成绩不少于80 分的为优秀，据此估计，高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（）【考点】频率分布直方图【分析】 根据频率分布直方图计算成绩不低于80 分的频率，然后根据频数=频率×总数可得所求【解答】解：根据频率分布直方图，得；成绩不少于80 分的频率为（0.015+0.010）× 10=0.025，所以估计成绩优秀的学生人数为600× 0.25=150故选

14、：D7设Sn是数列an（nN+）的前n 项和，n2 时点（an1，2an）在直线y=2x+1 上，且an的首项 a1 是二次函数y=x2 2x+3 的最小值，则S9的值为（）A 6B 7C 36D 32【考点】二次函数的性质【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到an是以为2 首项，以为公差的等差数列，再根据前n 项公式求出即可【解答】解点（an 1， 2an）在直线y=2x+1 上，2an=2an 1+1，anan 1= ，y=x2 2x+3=（ x 1） 2+2，a1=2，an是以为2 首项，以为公差的等差数列，n=1 时，a1= n+ =2 成立， an= n+ an

15、= n+ S9=9a1+=9×2+=36故选： C8算法程序框图如图所示，若，则输出的结果是（）AB aC bD c【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得程序算法的功能是求a， b， c 三个数中的最大数，比较a、 b、 c 三数的大小，可得答案【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求a， b， c 三个数中的最大数， a3=> 3=b3> 0，a> b；又 c=（） n3=e=e =>=a输出的结果为c故选：D9已知实数a，b，c 成等比数列，函数y=（x2）ex的极小值为b，则ac等于（）A1 Be C e2D 2【考点】利用导数研究函数的极值；等比数

16、列的通项公式【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出b 的值，结合等比数列的性质求出ac的值即可【解答】解：实数a， b， c 成等比数列，b2=ac，函数 y=（ x 2） ex， y =（ x 1 ） ex，令 y> 0，解得：x> 1 ，令 y< 0，解得：x< 1，函数 y=（ x 2） ex在（ ， 1）递减，在（1， + ）递增， y 极小值=y|x=1= e， b= e， b2=e2，2则 ac=e ，故选：C10给出下列五个结论： 回归直线y=bx+a 一定过样本中心点（，） ；命题 “?xR，均有x23x2>0”的否

17、定是：“?x0R，使得x023x020”； 将函数 y=sinx+ cosx 的图象向右平移后，所得到的图象关于y 轴对称；m R，使f（ x） =（m1） ?x是幂函数，且在（0， + ）上递增； 函数f（ x） =恰好有三个零点；其中正确的结论为（）A B C D 【考点】命题的真假判断与应用【分析】 根据回归直线的性质进行判断 根据含有量词的命题的否定进行判断 根据三角函数的图象和性质进行判断 根据幂函数的性质进行判断 根据函数的零点的定义进行判断【解答】解： 回归直线y=bx+a一定过样本中心点（，） ；故 正确， 命题 “? x R，均有x23x2>0”的否定是：“?x0R，使

18、得x023x020”；故 正确， 函数 y=sinx+cosx=2cos（ x） ， 将函数的图象向右平移后， 得到y=2cos（ x）=2cos（ x） ，此时所得到的图象关于y 轴不对称；故 错误， 由 m 1=1 得 m=2，此时 f（ x） =x0是幂函数，在（0， +）上函数不递增；故 错误， 若 x 0 则由（x） =0 得 x+1=0，得x= 1，若x> 0，则由（x） =0 得2x|log2x| 1=0，即 |log2x|=（） x，作出y=|log2x|和y=（） x的图象，由图象知此时有两个交点，恰好有三个零点；故 正确，故选： B11 如图，长方形的四个顶点为O（

19、0， 0） ，A（ 4， 0） ， B（ 4， 2） ， C（ 0， 2） ，曲线经过点 B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（CABD本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解S 长方形=4× 2=8，S 阴影 = 04（） dx=故质点落在图中阴影区域的概率P=故选A12定义在R 上的函数f（ x） ， f（ x）是其导数，且满足f（ x）+f（ x）2，ef（1）=2e+4，则不等式exf（ x）4+2ex（其中e 为自然对数的底数）的解集为（A （1，+） B （ ，

20、0） （1，+ ）C （，0） 0， + ）D （ ， 1）g（x）=exf（x）2ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解x） =exf（ x）2ex， （ x R） ，则 g（ x） =exf（ x）+exf（ x）2ex=exf（ x） +f（ x）2，f（x）+f（x）2，f（x）+f（x）2> 0，g （ x）>0， y=g（ x）在定义域上单调递增， exf（ x）>2ex+4， g（ x）>4，又g（ 1 ） =ef（ 1 ）2e=4， g（ x）>g（ 1） ， x> 1 ，故选：A4 小题，每小题5 分，共

21、20 分，请把答案写在答题卷上）13已知函数f（ x）f=，4f=f（1） =f（4） =2 4故答案为：14已知两点A（0，2）、B（3， 1）， 设向量，=（1，m）， 若 ， 那么实数m= 1 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，由=0，求得实数m的值【解答】解：两点A（0，2） 、B（3，1 ） ，设向量=（3，3），=（1 ，m），若 ，则=3+m（3） =0，求得实数m=1，故答案为：115已知实数x， y 满足约束条件，若z=ax+by（ a> 0， b> 0）的最大值为1，则的最小值为4 2a+3b=1，然后结合

22、基本不等式求得方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得作出可行域如图，联立B（ 2， 3） ，化目标函数z=ax+by为，B 时，直线在y 轴上的截距最大，等于故答案为：42a+3b=1，16如图，正方形ABCD中，坐标原点O为 AD的中点，正方形DEFG的边长为b，若D 为抛物线y2=2ax（ 0< a< b）的焦点，且此抛物线经过C， F 两点，则= 1+F 点坐标，代入抛物线方程即可得出a， b 的关系得到关于的方程，从而解出D 是抛物线y2=2ax的焦点，D（， 0） DEFG的边长为b，F（， b） F 在抛物线上，b2=2a（） ，即b2 2ab a2=0，

23、（） 2 1=0，解得=1+ 或 1 0< a< b，=1+ 故答案为：三、解答题（本大题共6 题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17若向量=（sin x，sin x），=（cos x，sin x）其中>0，记函数f（x）=，且函数f（ x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是（ ）求f（ x）的表达式及f（ x）的单调递增区间；（ ）设ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若a+b=3，c= ，f（C）=1，求 ABC的面积【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算（ ）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（ x） =sin（ 2x

24、） ， ，利用周期公式可求，即可得解函数解析式，由2k 2x2k +， k Z，即可解得f（ x）的单调递增区间（ ）由f（C）=1，得，结合范围0<C< ，可得<2C<，解得 C= ，结合已知由余弦定理得ab 的值，由面积公式即可计算得解（本小题满分12 分）解： （ ）=（sin x，sin x） ，=（ cosx， sinx） ，由题意可知其周期为 ，故 =1，则f（ x） =sin（ 2x） ，由2k 2x 2k +， k Z，得k x k +， f（ x）的单调递增区间为：k ， k +， k Z， ）由f（ C） =1，得，0< C< ，<

25、 2C<2C= ，解得 C= 又a+b=3，由余弦定理得c2=a2+b2 2abcos ，2a+b） 3ab=3，即ab=2，18 某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720 名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A， B， C 三题（三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如表：题号ABC答卷份数160240320该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9 份进行分析（ ）若从选出的9份答卷中抽出3 份，求这3 份中至少有1 份选择 A题作答的概率；（ ） 若从选出的9 份答卷中抽出3

26、 份， 记其中选择C题作答的份数为X， 求 X的分布列及其数学期望E（ X） 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】 （ ）由题意求出分别从A， B， C题的答卷中抽出2 份、 3 份、 4 份 利用对立事件概率计算公式能求出从选出的9 份答卷中选出3 份，这 3 份中至少有1 份选择 A 题作答的概率（ ）由题意可知，选出的9 份答卷中C题共有 4份，则随机变量X可能的取值为0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和E（ X） 【解答】 （本小题满分12 分）解： （ ）由题意可得：题号ABC答卷数160240320抽出的答卷数2

27、34应分别从A， B， C题的答卷中抽出2份、 3 份、 4 份设事件 D表示 “从选出的9份答卷中选出3份，至少有1 份选择 A题作答 ”，则：P（ D） =1 p（） =1=1=，从选出的9 份答卷中选出3 份，这 3 份中至少有1 份选择 A 题作答的概率 （ ）由题意可知，选出的9 份答卷中C题共有 4份，则随机变量X 可能的取值为0， 1 ， 2， 3P（ X=0） =P（ X=1） =P（ X=2） =， P（ X=3） =E（X） =X 的分布列为：19已知四棱锥ABCDE，其中AC=BC=2，ACBC，CDBE 且CD=2BE，CD平面ABC，F 为AD 的中点 ）求证：EF平

28、面ABC； ）设 M 是 AB的中点，若DM 与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹（ ）取 AC中点G，连结FG、 BG，推导出四边形BEFG是平行四边形，从而EF BG，EF面ABC ） ）由CD平面ABC，是CMD 为 DM 与平面ABC所成角，以C为坐标原点，CB为 x轴，CA为 y 轴， CD为 z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面ACD与平面ADE夹角的余弦值【解答】 （本小题满分12 分）证明： （ ）取AC中点G，连结FG、 BG， F、 G 分别是AD、 AC 的中点， FG CD，且又CD BE，且CD=2BE，BEFG是平行四边形，EF BG，

29、EF? 面 ABC且 BG? 面 ABC，EF面ABC ） ）CD平面ABCCMD 为 DM 与平面 ABC所成角，M 为 AB 的中点，且AC=BC=2， AC BC，得DM 与平面 ABC所成角的正切值为，CD=2， BE=1， C 为坐标原点，则B（ 2， 0， 0） ，CB为 x轴，CA为 y轴，CD为 z轴建立空间直角坐标系，A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1 ） ，=（ 0，2，2），=（2，1 ， 0），设平面 ADE的法向量为=（x，y，z），由，取 x=1，得=（ 1， 2， 2） ，而平面 ACD的法向量为=（ 2， 0， 0） ，cos<> =

30、得平面 ACD与平面 ADE夹角的余弦值为20已知椭圆a> b> 0）的离心率为C：x2+y2=a2被直线x y=0 截得的弦长为2 ）求椭圆C 的标准方程； ）已知点A、 B 为动直线y=k（ x 1） ， k 0 与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点 M，使得? 为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由=0 的距离d，利用2=2，解得a2，又a2=b2+c2，联立解出即可得出（ I ）求出圆x2+y2=a2的圆心（0， 0）到直线x yII）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得? 为定值设A（x1，y1） ， B（x2，y2），直线方程与椭圆方程

31、联立化为：（ 1+2k2） x2 4k2x+2k2 2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得? =2m24m+1=2（ m2 2） ，解得 m 即可得出=1，（ I）圆x2+y2=a2的圆心（0， 0）到直线x y=0的距离 d=2=2，解得a2=2，又a2=b2+c2，联立解得：a2=2， c=1=bC 的标准方程为：+y2=1II）假设在x轴上存在定点M（m，0） ，使得? 为定值设A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，联立（ 1+2k2） x2 4k2x+2k2 2=0，则 x1+x2=x1?x2=? =（2x1m，y1）?（x2m，y2）=（x1m）（x2m）+y1

32、y2=（x1m）（x2m）+k （x11 ）x2 1）=（ 1+k2） x1?x2（m+k2） （ x1+x2） +m2+k22=（ 1+k ）2 m+k ）+m2+k2令 2m2 4m+1=2（ m2 2） ，解得m= x 轴上存在定点M （， 0） ，使得? 为定值21 已知函数f（ x） =， g（ x） = 1 （）求函数f（x）的单调区间；（）对一切x（0， +）， 2f（x）g（ x）恒成立，求实数m 的取值范围；（ ）证明：对一切x（0， + ） ，都有lnx< 成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导数的不

33、等式，求出函数的单调区间即可；（ ）问题可化为对一切x（0， + ）恒成立，令，根据函数的单调性求出h（ x）的最小值，从而求出m 的范围即可；调性证明即可 ）问题等价于，令（ ），得f' （x）0，得0xef（x）的递增区间是（0，e） ，递减区间是（e，+ ） ）对一切x（0，+ ） ，2f（x）g（x）恒成立，可化为对一切x（0， + ）恒成立 令，当x（0， 1 ）时 h'（x）0，即h（x）在（0，1）递减x（1， + ）时h'（ x）0，即 h（ x）在（1， +）递增h（ x） min=h（ 1 ） =4，m 4，即实数m 的取值范围是（ ， 4 ）证明：等价于，即证 ）知， （当x=e时取等号）易知 （ x）在（0， 1 ）递减，在（1， +）递增（当 x=1 时取等号） f（x）（x）对一切x（0，+ ）都成立则对一切x（0，+ ） ，都有成立请考生在第22、 23、 24 三题中任选