上海市上海实验高二数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)

1、上海实验学校高二期末数学试卷2019.06 一. 填空题1. 若一个圆锥的母线长是底面半径的3 倍，则该圆锥的侧面积是底面积的倍2. 如图，在正三棱柱111abcab c中，已知它的底面边长为10，高为 20 ，若p、q分别是bc、1cc的中点，则异面直线pq与ac所成角的大小为（结果用反三角函数表示）3. 已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是3cm4. 某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为5. 设等差数列na的公差为d，若1234567,a a a a a a a的方差为1，则d6. 已知棱长为1 的正四面体pab

2、c，pc的中点为d，动点e在线段ad上，则直线be与平面abc所成角的取值范围为7. 一个总体分为a，b两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知b层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是8. 有一个体积为2 的长方体，它的长、宽、高依次为a、b、 1，现将它的长增加1，宽增加 2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为9. 设关于x、y的不等式组001xyykx表示的平面区域为，记区域上的点与点(0, 1)a距离的最小值为( )d k，若( )2d k，则k的取值范围是10. 将前 12 个正整数构成的集合1,2,12m中的元素分成1m，2

3、m，3m，4m四个三元子集， 使得每个三元子集中的三个数都满足：其中一数等于另外两数之和，则不同的分法种数为二. 选择题11. 对于两个平面、和两条直线m、n, 下列命题中真命题是（）a. 若m，mn，则nb. 若m，则mc. 若m，n，则mnd. 若m，n，则mn12. 学号分别为1，2，3， 4 的 4 位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为（）a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 13. 252(2)()xn xx的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中3x项的系数为（）a. 30 b. 80 c. 50d. 130 14. 已知正方体1111abcda b c d

4、的棱长为2，p是底面abcd上的动点，1papc，则满足条件的点p构成的图形的面积等于（）a. 12b. 4c. 44d. 72三. 解答题15. 袋中有红、黄、白色球各1 个，每次任取1 个，有放回地抽三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不相同；（2）三次颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或黄色. 16. 已知2log(1)xnx的展开式中有连续三项的系数之比为1: 2:3， 这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x的值 . 17. 如图，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形， 高为30cm，内有20cm

5、深的溶液现将此容器倾斜一定角度（图），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图、均为容器的纵截面）. （1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于33000cm的溶液，当60时，能实现要求吗？请说明理由. 18. 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为2 的菱形，pd平面abcd，60paddab，e为ab中点 . （1）证明：pecd；（ 2）求二面角apec的余弦值 . 四、附加题19. 在六条棱长分别为2、3、3、4、5、 5 的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论 . 20. 若21(52)rm（*,r mn，01） ，求证：()1m.

6、参考答案一. 填空题1. 3 2. 5arccos103. 122884. 435. 126. 140,arctan77. 40 8. 149. 1,)10. 8 二. 选择题11. d 12. a 13. d 14. a三. 解答题15. 每次取球都有3种方法，共有3327种不同结果，即27 个基本事件，（1）记事件a“ 三次颜色各不相同” ， 332()279ap a；（2）记事件b“ 三次颜色不全相同” ， 2738()279p b；（3）记事件c“ 三次取出的球无红色或无黄色” ， 3221155()27279p c. 16. 11!1 2 31 2 31 !1 !1 !1 !kkkn

7、nnnnncccnkknkknkk ，!11 2311 !1 ! !12nnknknkknkknk，!122 3253! !1 !1 !3nnknknkknkknk，联立：31142535nknnkk这三项是第5 ， 6 ， 7 项，展开式的倒数第二项为：222loglog131422c1128log3log3xxxxxx，则32x，或32x. 17. 60a b c d a b c d e f （1）如图，当倾斜至上液面经过点b时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大解法一：此时，梯形abed的面积等于400202（2cm） ，因为cbe，所以tan2030de，adabdesabed)(21，

8、即40020)tan2060(21，解得1tan，45，所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45. 解法二：此时，bec的面积等于图中没有液体部分的面积，即200becs（2cm） ，因为cbe，所以tan21212bccebcsbec，即200tan200，解得1tan，45，所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45. （2）如图，当60时，设上液面为bf，因为6023arctancbd，所以点f在线段ad上，此时30abf，31030tanabaf，abfs315021afab（2cm） ，剩余溶液的体积为33000203150（3cm） ，由题意，原来溶液的体积为

9、80003cm，因为3000330008000，所以倒出的溶液不满30003cm，所以，要倒出不少于30003cm的溶液，当60时，不能实现要求. 18.（1）连结de、bd，四边形 abcd 是菱形，且60dab，e为ab的中点，deab，pd平面 abcd ，pdab，又 depdd ，ab平面pde，abpe，/ /abcd ，pecd （2）设 ac 、bd交点为 o ，以 o 为原点， ob 为x轴， oc 为y轴，过 o 作平面 abcd的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则( 1p，0， 2 3) ，(0a，3， 0) ，13(,22e， 0) ，(0c，3 ， 0) ，

10、( 1ap，3 ， 2 3) ，13(,22ae， 0) ，(1, 3, 23)pc，13 3(,22ce， 0) ，设平面ape的法向量(nx ，y，) z ，则32 3013022n apxyzn aexy，取1z，得(3, 1,1)n，设平面 pce 的法向量(mx，y，)z ，则32 3013 3022m pcxyzm cexz，取1y，得(3 3m，1， 2) ，设二面角apec的平面角为，由图知为钝角，|1010cos| |4532n mnm二面角 apec 的余弦值为104.19. 三角形两边之和大于第三边，按题设的数据，一边为2 的三角形，其余两边只可能是：3，3；5，5；4，5；3， 4从而在该四面体中，以2 为公共边的两个面，其余两边只可能有下列三种情形：1与；2与 ；3与 ，下面就这三种情形分别讨论：（1）如图 a，由勾股定理，cdac，cdbc，所以，四面体的体积211118 24 2313323abcvcd s（2）如图 b、c，这样的四面体有两个，它们的体积21143abcvsv（3）如图 d、图 e，这样的四面体也有两个，体积22311155253( )113226vv故所求最大的体积为18 23v.20. 解：21212122101222121215252c5c52c52rrrrrrrr212212