新人教版八上数学培优讲义

1、第一讲 三角形考点·方法·破译1了解及三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3了解及三角形有关的角(内角、外角) .4掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和.5会用方程的思想解及三角形基本要素相关的问题.6会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是_，周长l的取值范围是_；当周长为奇数时，x_.【变式题组】1若ABC的三边分别为4，x，9

2、，且9为最长边，则x的取值范围是_，周长l的取值范围是_.2设ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且abc，a+b+c13，则以a，b，c为边的三角形，共有_个.3用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A1B2C3D4【例】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【变式题组】1已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A24cmB30cmC24cm或30cmD18cm2已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A13cmB6cmC5

3、cmD4cm3等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为_.【例】如图AD是ABC的中线，DE是ADC的中线，EF是DEC的中线，FG是EFC的中线，若SGFC1cm2，则SABC_.【变式题组】1如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，SABC4，则SEFC_.2如图，点D是等腰ABC底边BC上任意一点，DEAB于E，DFAC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF_.3如图，已知四边形ABCD是矩形(ADAB) ，点E在BC上，且AEAD，DFAE于F，则DF及AB的数量关系是_.【例】已知，如图，则A+B+C+D+E _.【变式题

4、组】1如图，则A+B+C+D+E _.2如图，则A+B+C+D+E +F_.3如图，则A+B+C+D+E +F _.【例】如图，已知A70°，BO、CO分别平分ABC、ACB则BOC _.【变式题组】1如图，A70°，B40°，C20°，则BOC_.3如图，O140°，P100°，BP、CP分别平分ABO、ACO，则A_.【例】如图，已知B35°，C47°，ADBC，AE平分BAC，则EAD_.【变式题组】1.（改）如图，已知B39°，C61°，BDAC，AE平分BAC，则BFE_.2如图，在A

5、BC中，ACB40°，AD平分BAC，ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合) ，过点F作EFBC交于点E，下列结论:P+DEF为定值，PDEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例】如图，在平面内将ABC绕点A逆时针旋转至ABC，使CCAB，若BAC70°，则旋转角_.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画AOB45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边及射线OA的直角_.2如图，在平面内将AOB绕点O顺时针旋转角度得到OAB，若点A在AB

6、上时，则旋转角_.(AOB90°，B30°)3如图，ABE和ACD是ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，若BAC130°，则_.演练巩固·反馈提高1如图，图中三角形的个数为()A5个B6个C7个D8个2如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定3有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A1个B2个C3个D4个4下列语句中，正确的是()A三角形的一个外角大于任何一个内角B三角形的一个外角等于这个三角形的两个

7、内角的和C三角形的外角中，至少有两个钝角D三角形的外角中，至少有一个钝角5若一个三角形的一个外角小于及它相邻的内角，则这个三角形是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D无法确定6若一个三角形的一个外角大于及它相邻的内角，则这个三角形是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D无法确定7如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是_.8三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是_.9如图，在ABC中，A42°，B及C的三等分线，分别交于点D、E，则BDC的度数是_.10如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜、

8、之间来回反射，已知55，75°，_.11如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且SEFC1，则SABC_.12如图，已知: 12，34，BAC63°，则DAC_.13如图，已知点D、E是BC上的点，且BEAB，CDCA，DAEBAC，求BAC的度数培优升级·奥赛检测1在ABC中，2A3B，且C30°A+B，则ABC是()A锐角三角形B钝角三角形C有一个角是30°的直角三角形D等腰直角三角形BC2已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且abc，如果b7，则这样的三角形共有()A21个B28个C49个D54个3在ABC中，A50

9、6;，高BE、CF交于O点，则BOC_.4在等腰ABC中，一腰上的高及另一腰的夹角为26°，则底角的度数为_.5如图，BP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，若A40°，C38°，则P _.6如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在AB上 ，且AEAB点F在OC上 ，且OFOC，点G在OA上，且使GEC的面积为16，试求的值.7如图，已知四边形ABCD中，A+DCB180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，P、Q的平分线交于M，求证PMQM.第二讲 全等三角形的性质及判定考点·方

10、法·破译1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不

11、全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例】如图，ABEFDC,ABC90°,ABCD，那么图中有全等三角形（ ）BACDEFA5对B4对C3对D2对【变式题组】1（武汉2019）下列判断中错误的是（ ）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D有一边对应相等的两个等边三角形全等AFCEDB2（黄冈）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这

12、个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3(上海)已知线段AC及BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.添加条件AD，OEFOFE，求证：ABDC；ABCDOFE分别将“AD”记为，“OEFOFE”记为，“ABDC”记为，添加、，以为结论构成命题1；添加条件、，以为结论构成命题2.命题1是_命题，命题2是_命题（选择“真”或“假”填入空格）.ACEFBD【例】已知ABDC，AEDF，CFFB. 求证：AFDE.【变式题组】1如图，AD、BE是锐角ABC的高，相交于点O，若BO

13、AC，BC7，CD2，则AO的长为（ ）A2B3C4D5AE第1题图ABCDEBCDO第2题图2.如图，在ABC中，ABAC，BAC90°，AE是过A点的一条直线，AECE于E，BDAE于D，DE4cm，CE2cm，则BD_.3（孝感2019）已知：如图，在ABC中， ACB90°，CDAB于点D，点E在AC上，CEBC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：ABFC.AFECBD【例】如图，ABCDEF，将ABC和DEF的顶点B和顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC及DF相交于点O.当DEF旋转至如图位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，AFD

14、及DCA的数量关系是_;当DEF继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由_.B（E）OCF图FABCDEFAB(E)CDDA图图【变式题组】1（绍兴2019）如图，D、E分别为ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若CDE48°，则APD等于（ ）A42°B48°C52°D58°2如图，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是（ ）AABCDEFBDEF90°C ACDF DECCFEFBABPDEC第1题图ACDG第2题图3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到

15、两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.求证：ABED；若PBBC，找出图中及此条件有关的一对全等三角形，并证明.BFACENMPDDACBFE【例】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BPAC，点Q在CE上，CQAB. 求证：APAQ；APAQ21ABCPQEFD【变式题组】ABCDFE1如图，已知ABAE，BE，BAED，点F是CD的中点，求证：AFCD.2（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75

16、76;，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）ABCbmDamAECBA75°C45°BNM第2题图第3题图D3 如图，已知五边形ABCDE中， ABCAED90°，ABCDAEBCDE2，则五边形ABCDE的面积为_演练巩固·反馈提高1（海南2019）已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ）A72°B60°C58°D50°第3题图第1题图CAODBP第2题图ACA/BB/acca50°b72°58

17、76;2如图，ACBA/C/B/，BCB/30°，则ACA/的度数是（ ）A20°B30°C35°D40°3尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCPODP的根据是（ ）ASASBASACAASDSSS4（武汉2019）如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC的是（ ）A. CBCDB.BACDACC. BCADCAD.BD90°E21NABDC第5题图ABCDEABCD第4题图第6题

18、图M5有两块不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A. ABECBDB. ABECBDC. ABCEBD45°D. ACBE6如图，ABC和共顶点A，ABAE，12，BE. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有ABCAED.”小明说：“ABMAEN.”那么（ ）A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对C. 小华对、小明不对D.小华不对、小明对7如图，已知ACEC, BCCD,ABED,如果BCA119°，ACD98°,那么ECA

19、的度数是_.8如图，ABCADE，BC延长线交DE于F，B25°,ACB105°，DAC10°，则DFB的度数为_.9如图，在RtABC中，C90°, DEAB于D, BCBD. AC3，那么AEDE_第10题图ABCDE第9题图EABCDABCDEFOCAEBD第7题图第8题图10如图，BAAC, CDAB. BCDE，且BCDE，若AB2, CD6，则AE_.11如图, ABCD, ABCD. BC12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，APBQDC.DA

20、C.QP.BDBACEF12如图, ABC中，BCA90°，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D.求证：AECD；若AC12cm, 求BD的长.AEBFDC13（吉林）如图，ABAC，ADBC于点D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.BDEClA找出图中的全等三角形，并加以证明；若DEa，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）15如图，ACBC, ADBD,

21、 ADBC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F.求证：CEDF.AEFBDC培优升级·奥赛检测1如图，在ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且AEAF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）A4对B5对C6对D7对F第6题图21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1题图B第2题图第3题图2如图，在ABC中，ABAC，OCOD，下列结论中：AB DECE，连接DE, 则OE平分AOB，正确的是（ ）ABCD3如图，A在DE上，F在AB上，且ACCE , 1=2=3, 则DE的长等于（）ADCB. BCC. ABD.

22、AEAC4下面有四个命题，其中真命题是（ ）A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5在ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BHAC，则ABC_.6如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，EF90°，BC, AEAF. 给出下列结论：12；BECF; ACNABM; CDDB，其中正确的结论有_.（填序号）7如图，AD为在ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BFAC，FDCD.求证：BEAC；A

23、EFCDB若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.8 如图，D为在ABC的边BC上一点，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中线. 求证：AC2AE.ABEDC9如图，在凸四边形ABCD中，E为ACD内一点，满足ACAD，ABAE, BAEBCE90°, BACEAD.求证：CED90°. AEBDCADEGCHB10如图，ABAD，ACAE，BADCAE180°. AHAH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GDGE. 第三讲 角平分线的性质及判定考点·方法·破译1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角

24、两边的距离相等.2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例】如图，已知OD平分AOB，在OA、OB边上截取OAOB，PMBD，PNAD.求证：PMPN【变式题组】1如图，CP、BP分别平分ABC的外角BCM、CBN.求证：点P在BAC的平分线上.2如图，BD平分ABC，ABBC，点P是BD延长线上的一点，PMAD，PNCD.求证：PMPN【例】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，且AE(ABAD)，如果D120°，求B的度数【变式

25、题组】1如图，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3.求2(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知ABa，ADb.且BCDC，对角线AC平分BAD，问a及b的大小符合什么条件时，有BD180°，请画图并证明你的结论.【例】如图，在ABC中，BAC90°,ABAC，BE平分ABC，CEBE.求证：CEBD【变式题组】1如图，已知ACBD，EA、EB分别平分CAB、DBA，CD过点E，求证：ABACBD.2如图，在ABC中，B60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；求证：AECDAC.演练巩固

26、·反馈提高1如图，在RtABC中，C90°，BD平分ABC交AC于D，若CDn，ABm，则ABD的面积是（ ）AmnBmnC mnD2 mn2如图，已知ABAC，BECE，下面四个结论：BPCP；ADBC；AE平分BAC；PBCPCB.其中正确的结论个数有（ ）个A1B2C3D43如图，在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R、S.若AQPQ，PRPS，下列结论：ASAR；PQAR；BRPCSP.其中正确的是（ ）ABCD4如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：AD上任意一点到B

27、、C的距离相等；AD上任意一点到AB、AC的距离相等；ADBC且BDCD；BDECDF.其中正确的是（ ）ABCD5如图，在RtABC中，ACB90°，CAB30°，ACB的平分线及ABC的外角平分线交于E点，则AEB的度数为（ ）A50°B45°C40°D35°6如图，P是ABC内一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，给出下列结论：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；点P是ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）ABCD7如图，点P是ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）

28、A点P到ABC三边的距离相等B点P在ABC的平分线上CP及B的关系是：PB90°DP及B的关系是：BP8如图，BD平分ABC，CD平分ACE，BD及CD相交于D.给出下列结论：点D到AB、AC的距离相等；BAC2BDC；DADC；DB平分ADC.其中正确的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个9如图，ABC中，C90°AD是ABC的角平分线，DEAB于E，下列结论中：AD平分CDE；BACBDE；DE平分ADB；ABACBE.其中正确的个数有（ ）A3个B2个C1个D4个10如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线

29、QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_11如图，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC.求证：BECF12如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB于点E，DFAC于点F.求证：ADEF.培优升级·奥赛检测1如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A一处B二处C三处D四处 2已知RtABC中，C90°，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BD:CD9:7，则D到AB边的距离为（ ）A18B16C14D12 3如图，ABC中，C90&

30、#176;，AD是ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是_4如图，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为E、F、G，且PFPGPE，则BPD_5如图，已知ABCD，O为CAB、ACD的平分线的交点，OEAC，且OE2，则两平行线AB、CD间的距离等于_6如图，AD平分BAC，EFAD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：G(ACBB)7如图,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:ABACDBDC8如图，在ABC中，BAC60°，ACB40

31、°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线上.求证：BQAQABBP第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够及另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了及线段的两种关系：位置关系垂直；数量关系平分.性质定理：线

32、段垂直平分线上的点及这条线段两个端点的距离相等.判定定理：及一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）【变式题组】1将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）2（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完

33、后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC向右平移两个单位长度得到ABC，则及点B关于x轴对称的点的坐标是（ ）A（0，1） B（1，1） C（2，1） D（1，1）【变式题组】1若点P（2，3）及点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）A2，3 B2，3 C2，3 D2，32在直角坐标系中，已知点P（3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是_.3（荆州）已知点P（a1，2a1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为_.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC

34、（ACB90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若ACB170°，则ACD（ ）A30°B20°C15°D10°【变式题组】1（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D、C的位置.若EFB65°，则AED等于（ ）A70°B65°C50°D25°2如图，ABC中，A30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时CDB82°，则原三角形中B_.【例4】如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，EF是AD

35、的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：BCAF【变式题组】1如图，点D在ABC的BC边上，且BCBDAD，则点D在_的垂直平分线上2如图，ABC中，ABC90°，C15°，DEAC于E，且AEEC，若AB3cm，则DC_cm3如图，ABC中，BAC126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则EAG_4.ABC中，ABAC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB12cm，BCF的周长为20cm，则ABC的周长是_cm【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备

36、用图中画出所有这样的DEF【变式题组】1如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找出格点图中所有及ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有_个2如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；涂黑部分成轴对称图形。如图乙是一种涂法，请在图13中分别设计另外三种涂法（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙及图丙）【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？【变式题组】1（山西）设

37、直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）2若点A、B是锐角MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点演练巩固·反馈提高1（黄冈）如图，ABC及ABC关于直线l对称，且A78°，C48°，则B的度数是（ ）A48°B54°C74°D78°2（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中

38、点O为顶点把平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形3图1是四边形纸片ABCD，其中B120°，D50°，若将其右下角向内折出PCR，恰使CPAB，RCAD，如图2所示，则C（ ）A80°B85°C95°D110°4如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）AM（1，3），N（1，3） BM（1，

39、3），N（1，3） CM（1，3），N（1，3） DM（1，3），N（1，3）5点P关于x轴对称的对称点P的坐标是（3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（ ）A（3，5） B（5，3） C（3，5） D（5，3）06已知M（1a，2a2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（ ）A1a1 B1a1 Ca1 Da17如图，镜子中号码的实际号码是_8如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为_cm2.9已知点A（2a3b，2）和B（8，3a2b）关于x轴对称，则ab_.10如图，在ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且ABO20°，ABC45

40、76;，求BAC和ACB的度数11如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法12如图，P为ABC的平分线及AC的垂直平分线的交点，PMBC于M，PNBA的延长线于N求证：ANMC13（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个 ，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图（画出的两个图案不能全等）培优升级·奥赛检测1（浙江竞赛试题）如图，直线l1及直线l2相交，60°，点

41、P在内（不在l1l2上）小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，如此继续，得到一系列P1、P2、P3Pn及P重合，则n的最小值是（ ）A5 B6 C7 D82（宜昌）已知：如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，点D及点A关于点E对称，PB分别及线段CF、AF相交于P、M求证：ABCD；若BAC2MPC，请你判断F及MCD的数量关系，并说明理由3在ABC中，BAC90°，点A关于BC边的对称点为A，点B关于AC边的对

42、称点为B，点C关于AB边的对称点为C，若SABC1，求SABC4小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、及直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以l为对称轴跳至P1点；画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）棋子按上述程序跳跃2019次后停下，假设a8，b6，c3，计算这时它

43、及A的距离是多少？5.（孝感）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p_时，PAB的周长最短；若C（a，0），D（a3，0）是x轴上的两个动点，则当a_时 ，四边形ABCD的周长最短；设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m_，n_（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由第五讲 等腰三角形考点·方法·破译1等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：等腰三角形的两个

44、底角相等（即等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边3构造等腰三角形的常用方法角平分线平行线等腰三角形 角平分线垂线（或高）等腰三角形线段中垂线构造等腰三角形 将2倍角转化为相等角构造等腰三角形经典·考题·赏析【例】 等腰三角形一腰上的高及另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为_.【变式题组】1（黄冈）在等腰ABC中，ABAC，一边上的中线

45、BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A.7 B.11 C.7或11 D7或102.（黄冈）在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线及AC所在的直线相交所得到锐角为500，则B_度3.（襄樊）在ABC中，ABAC12cm，BC6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BAC的方向运动设运动时间为t，那么当t_秒时，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍【例】 如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，ADBDBC，求A的度数【变式题组】1如图，在ABC中，ABAC，BDBC,ADDEEB，求A的度数2如

46、图，在ABC中，ABAC，BCBD EDEA，求A的大小【例】 已知坐标原点O和点A（2，2），B是坐标轴上的一点若AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（ ）个A4 B5 C6 D8【变式题组】1(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，3），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P共有（ ）A2个B3个C4个D5个2如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，），点C在坐标平面内若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_个ABCDPE第4题图第3题图第2题图3.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB

47、的中点，点G是BC上一点，BEG600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则及BEG相等的角的个数为（ ）ACBMDE(例4题图)A4 B3 C2 D14如图所示，矩形ABCD中，AB4，BC，点E是折线段ADC上的一个动点（点E及点A不重合），点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）A2个B3个C4个D5个【例】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由【变式题组】1如图，在

48、等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别及边AB、AC交于点E、F，当EPF绕顶点P旋转时(点E不及A、B重合)，PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由2如图，在等腰三角形ABC中，ACB900，D是BC的中点，DEAB垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G求证：ADCF;连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由3如图，ABC中，ACB900，ACBC,CO为中线现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H试写出图中除ACBC,OAOBOC外其他所有相等的线段；请选一组你写出的相等线段给予证明【例】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个及相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论【变式题组】1如图，在ABC中，B2C，AD为BAC的平分线求证：ACABBD