圆的方程知识点总结和典型例题

1、圆的方程知识点总结和经典例题1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）标准方程(x a)2+ (y b)2= r2(r>。)圆心：四,b）,半径：rx2+y2+Dx+ Ey+ F=。( D2+ E2- 4F圆心：D占22，方程。）半径：1pjD2+E2-4F江忠点（1）求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.（2）对于方程x2+y2+Dx+ Ey+ F= 0表示圆时易忽视 D2+E2-4F>0这一条件.2 .点与圆的位置关系点 M（x0, y0）与圆（xa）2+ （y-b）2= r2 的位置关系：若 Mx0, y。）

2、在圆外，则（x。一a）2+（y。-b）2二r2.（2）若 Mx。，y。）在圆上,则（x。a）2+（y。b）2二r2.（3）若 Mx。, y。）在圆内,则（x。a）2+（y。b）2口2.3 .直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系的判断方法设直线 l : Ax+ By+ C= 0（A2+ E2w 0）,圆：（xa）2+（y b）2= r2（ r >。），d为圆心（a, b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d<r3。相切dm r三。相离d>rA<01.几何法：由圆心到直线的距离 d与圆的半径r的大小关系

3、判断.2 .代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.3 .直线系法：若直线包过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.(2)过一点的圆的切线方程的求法1 .当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率， 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.2 .若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出 的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.(3)求弦长常用的三种方法1 .利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 22 解题.2 .利用交点坐标若直线与圆的

4、交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计 算弦长.3 .利用弦长公式设直线l ： y = kx+b,与圆的两交点(xi, yi) , (X2, y2),将直线方程代入圆 的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l = 4l + k21 xi X2| = 弋1+ k2_X1 + X22 4x1X2.4 .圆与圆的位置关系(1)圆与圆位置关系的判断方法设圆 O： (x日)2+(yb1)2= r2( 口>0),222, 一、圆 Q： (xa2) +(yb2) =2(2>0).方法位置关系几何法：圆心距 d与1,2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r

5、1+2无解外切d= r 1+2一组实数解相交| r 1 一2|< d<r 1+2两组不同的实数解内切d = | r 1 r 2|(w一组实数解内含0w d<| r 1 r2|( r 1 r 2)无解易误点：两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形.1 .判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d;(3)通过d, 一+2, |r1一闫的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合.2 .应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的， 要理清

6、圆心距与两圆半径的关系.(2)两圆相交有关问题1 .圆系方程一殳地过圆 G: x + y + Dx + Ey + Fi = 0 与圆 G: x + y + D2x+ E2y + F2= 0 交点的圆的方程可设为： x2 + y2+Dx+Ey + Fi+入(x2+y2+Dx + Ey + F2)= 0(入w 1),然后再由其他条件求出 入，即可得圆的方程.2 .两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆 G： x +y + Dx+ Ey + F1 = 0与圆 G： x + y + Dx + E2y + F2=0 相父，则 两圆公共弦所在直线的方程为(D D2) x + ( E E) y + F1 F2

7、 = 0.3 .公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.5 .对称问题(1)点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式点 P (x, V)关于 Q (a, b)的对称点为 P' (2a x, 2b y)(2)点关于直线成轴对称(3)曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称6 .与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. x- a(2)形如t = ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最

8、值问题.(3)形如(xa)2+(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值7.典型例题1.()A.相交C.相离问题.直线3x + 4y5=0与圆x2 + y2= 1的位置关系是B.相切D.无法判断【解析】 圆心(0,0)到直线3x+4y 5=0的距离d = 4=2=£L2=1,又圆x2+y2=1的3 +4半径r=1,，d= r,故直线与圆相切.2. 直线 3x+4y+12 = 0 与圆(x1)2 + (y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】 圆心(1 , 1)到直线 3x + 4y + 12 = 0的距离 d =|3X1

9、+ 4 勺二 1“32 +42+ 12|11=<r.5【答案】3.求过点(1, 7)且与圆x2+y2 = 25相切的直线方程.【解析】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为 k,则切线方程为y + 7= k(x 1),I -k-71.43即kx y k 7= 0.-2= 5,解得k = 或k= 一彳.所求切线方程为部2+13443一一，、y+7=a(x1)或 y+7= 7(x1)，即 4x 3y25= 0 或 3x+4y + 25 = 0. 344. 过点 A(4, 3)作圆 C： (x-3)2+ (y-1)2=1的切线，求此切线的方程.【解析】 因为(43)2+(31)2= 17>

10、1,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k,则切线方程为y+3= k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1,所以 13 kdk不；4" =1,即 |k+4|二行，所以 k2+8k+16=k2+1,解得 k= 15.8 15一所以切线万程为 y + 3=-z-(x-4),即 15x+8y 36 = 0.8(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x = 4的距离也为1,这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x = 4.综上，所求切线方程为15x + 8y 36= 0或x = 4.5. 求直线 l : 3x + y 6=0 被圆 C： x

11、2+y22y4=0截得的弦长.【解析】圆 C： x2+y2 2y 4 = 0可化为 x2+ (y1)2 = 5,其圆心坐标为(0,1),半径r=M5.点(0,1)到直线l的距离为d =|3 X0+ 1-6|10二2，l =2"2d2=诟，所以截得的弦长为V10.6.直线 x + 2y5+，5= 0 被圆 x2+y2 2x一4y=0截得的弦长为()B. 2A. 1C. 4D. 4 '6【解析】圆的方程可化为 C： (x1)2+ (y 2)2=5,其圆心为C(1,2),半径 r = 5.如图所示，取弦AB的中点P,连接CP则CP!AB,圆心C到直线AB的距离d二|Cp1 +52*

12、' =1.在 RQACP中，| Ap =7产d2 =2,故直线被圆截得的弦长| AB| =4.7. 两圆 x2+y2= 9 和 x2+ y2 8x + 6y + 9 = 0的位置关系是()A.外离B.相交【解析】 两圆x2+y2=9和x2+yC.内切D.外切2 8x+6y + 9=0的圆心分别为(0,0)和(4,3),半径分别为3和4.所以两圆白圆心距d =寸42 + 32 = 5.又4 3<5<3+ 4,故两圆相交.8.=0的位置关系为()A.外离C.外切【解析】圆O的圆心坐标为(1,0)圆 O： x2+y2 2x = 0和圆 O： x2 + y2 4yB.相交D.内切半

13、径长r1=1;圆O的圆心坐标为(0,2),半径长2= 2; 1 =21< | OQ| =加<1+2=3,即两圆相交.9. 求两圆 x2+ y2 2x+10y 24= 0 和 x2 +y2 + 2x+ 2y 8 = 0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.x2+y2-2x+ 10y 24=0,【解析】联立两圆的方程得方程组 x2+y2+2x+2y 80两式相减得x 2y + 4 = 0,此为两圆公共弦所在直线的方程.法一：设两圆相交于点A , B ,则A , B两点满足方程组x 2y + 4=0, x2+ y2 + 2x + 2y 8 = 0,解得x= 4,x = 0, y=2.所以|A

14、B=1 4 0 2+ 0-2 2=2g 即公共弦长为245.法二：由 x2+y2 2x+10y 24 = 0,彳#(x-1)2+ (y + 5)2=50,其圆心坐标为(1 , 5),半径长 = 542,圆心到直线 x 2y + 4=0的距离为 d =|1 -2X -5 4_ = 哪.设公共弦长为21,由勾股定理得r2=d2+l2,即 3+ -2750=(375)2+l2,解得l =乖,故公共弦长21=2>/5.10. 求圆 G: x2+ y2=l 与圆 C2： x2 + y2 2x252y+ 1 = 0的公共弦所在直线被圆Q： (x-1)2+ (y1)2="4所截得的弦长.一，

15、e事 作差 ,口 、l,、【精彩点拨】联立圆G、G的方程 得公共弦所在的直线圆心C3到公共弦的距离d一圆的半径r 弦长=2jr2 d2【解析】设两圆的交点坐标分别为A(xi,yi),B(x2,y2),则A,B的坐标是方程组的解，两式相减得x + y1 = 0.x2+y2= 1,x2+y2 2x-2y+ 1 = 0因为A, B两点的坐标满足x+y1 = 0,所以AB所在直线方程为x + y-1=0,即C, G的公共弦所在直线方程为x+y1 = 0,125 1圆G的圆心为(1,1),其到直线AB的距离d = 12,由条件知r2- d2=-23,所以直线AB被圆Q截得弦长为 2X殍的11.已知圆C与

16、圆(x 1)2+ y2=1关于直线y=x对称，则圆C的方程为()A. (x+l)2 + y2= 1B. x2+y2= 1C. x2 + (y+1)2= 1D. x2+(y1)2= 1【解析】 由已知圆(x1)2 + y2= 1得圆心G(1,0),半径长5=1.设圆心C(1,0关于直线y= x对称的点为(a, b),ba1.-1 = -1,a 0则a 彳解得:一: 所以圆C的方程为x2+(ya+1 bb= 1.二2，+ 1)2=1.12. 当动点P在圆x2+ y2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为.【解析】 设qx, y), P(a, b),由中点坐标公式得a+3b+ 1

17、y=H所以a=2x 3, b=2y 1.点 P(2x 3,2y1)满足圆 x2 + y2= 2 的方程，所以(2x-3)2+ (2y1)2=2,3 c1 c 1化简得x2 2+ y12=2,即为点Q的轨迹方程.13. (1) ABC勺顶点坐标分别是 A (5, 1) , B (7, - 3) , C (2, - 8),求 它的外接圆的方程；(2) 4ABC的顶点坐标分别是 A (0, 0) , B (5, 0) , C (0, 12),求它 的内切圆的方程.【解答】解：(1)设所求圆的方程为(x-a) 2+ (y-b) 2=r2,因为 A (5, 1) , B (7, -3) , C (2,

18、- 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，飞-己)4(1 - b )，匚*于是，- a) 4( - 3 - b)丁2,可解得 a=2, b=- 3, r=25,(2 _ a)+(-3b) 2=r 2所以 ABC的外接圆的方程是(x-2) 2+ (y+3) 2=25.(2):ABC三个顶点坐标分别为 A (0, 0) , B (5, 0) , C (0, 12),.-.AB± AC AB=5 AC=12 BC=13.ABC内切圆白半径二色空二竺=2,圆心(2, 2), 2.ABC内切圆的方程为(x-2) 2+ (y-2) 2=4.14.已知圆 C： x2+ (y+1) 2=5,直线 l : mx- y+1=0 (mC R)(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A、B两点，若直线l的倾斜角为120° ,求弦AB 的长.【解答】解：(1)由于直线l的方程是mx-y+1=0,即y T=mx经过定点H (0, 1),而点H到圆心C (0, - 1)的距离为2,小于半径时，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，故直线和圆包有两个交点.(2)直线l的倾斜