讲座3、数学应用性问题的解题技巧

1、讲座讲座3 3、数学应用性问题的解题技巧、数学应用性问题的解题技巧 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是也是考生失分较多的一种题型考生失分较多的一种题型 高考中一般命制一道解答题和两高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题道选择填空题高考对数学应用和实践能力的考查具体要求是：高考对数学应用和实践能力的考查具体要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题，包括解能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈

2、述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明述、说明 解答数学应用性问题是分析问题和解决问题的能力的高解答数学应用性问题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力从层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力从20002000年新年新课程的试卷开始，突出新增加的向量、概率、导数等知识的课程的试卷

3、开始，突出新增加的向量、概率、导数等知识的应用性但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之应用性但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数、数列、三角、二次曲线等模型解决实际问题外，建立函数、数列、三角、二次曲线等模型解决实际问题也是复习的重点要想掌握好高考试题中应用问题的求解，也是复习的重点要想掌握好高考试题中应用问题的求解，重点在于提高整理分析实际问题中数据的能力，抽象概括出重点在于提高整理分析实际问题中数据的能力，抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力1 1、求解应用题的一般思路和步骤（四步法）：、求解应用题的一般思

4、路和步骤（四步法）：（1 1）读题：读题：读懂和深刻理解题意，译为数学符号和语言，找出读懂和深刻理解题意，译为数学符号和语言，找出主要关系；主要关系；（2 2）建模：建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3 3）求解：求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法计算和求解；化归为常规问题，选择合适的数学方法计算和求解；（4 4）评价：评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证结果应用于现实，作出解释或验证一、应用问题的解答基本步骤、关键环节和常见一、应用问题的解答

5、基本步骤、关键环节和常见问题问题2 2、解决一个应用题，重点过三关：、解决一个应用题，重点过三关： （1 1）阅读理解关：阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义（2 2）建模关：建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题学问题（3 3）数理关：数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型型3 3、中学数学中常见应用问题、中学数学中常见应用问题（1 1）最（极）值等优化问题：最（

6、极）值等优化问题：实际工农业生产、建设及实实际工农业生产、建设及实际生活中中的际生活中中的“优选优选”、“控制控制”等问题，常需建立等问题，常需建立“函函数方程不等式模型数方程不等式模型”转化为求函数的最值问题，或转化为求函数的最值问题，或“线性线性规划规划”问题加以解决问题加以解决（2 2）预测问题：预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型数列模型”来解决来解决（3 3）测量问题：测量问题：可设计成可设计成“图形模型图形模型”利用几何知识解利用几何知识解决决一、函数不等式模型：一、函数不等式模型： 函数是高中数学中最重要的一部分内容，现实生

7、活中普函数是高中数学中最重要的一部分内容，现实生活中普遍存在着的最优化问题，此类问题常常可归结为函数的最值遍存在着的最优化问题，此类问题常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决用函数知识和方法去解决 根据题意，熟练地建立函数模型；根据题意，熟练地建立函数模型； 运用函数性质、不等式、导数等知识处理所得的函数模运用函数性质、不等式、导数等知识处理所得的函数模型型理论阐释二、常见应用问题的数学模型分析二、常见应用问题的数学模型分析例例1 1（20102010年湖北卷）为了在夏季降温和冬季供暖

8、时减少能源损年湖北卷）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用使用2020年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 6万元。该建万元。该建筑物每年的能源消耗费用筑物每年的能源消耗费用C C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：万元）与隔热层厚度x x（单（单位：位：cmcm）满足关系：）满足关系：C C（x x）= .= .若不建隔热若不建隔热层，每年能源消耗费用为层，每年能源消耗费用为8 8万元。设万元。设f f（x x）为隔热层建造费用与）为隔热层建

9、造费用与2020年的能源消耗费用之和。年的能源消耗费用之和。（1 1）求）求k k的值及的值及f(xf(x) )的表达式。的表达式。（2 2）隔热层修建多厚时，总费用）隔热层修建多厚时，总费用f(xf(x) )达到最小，并求最小值。达到最小，并求最小值。k(0 x1 0 )3 x5典例导悟xcmkCxCkxC xxC xxfxC xC xxx1 11 1解解：（1 1）设设隔隔热热层层厚厚度度为为，由由题题设设，每每年年能能源源消消耗耗费费用用为为 （ ）, , 由由 （0 0） 8 8，可可得得4040，35354040因因此此 （ ）。3535而而建建造造费费用用为为 （ ） 6 6最最后

10、后隔隔热热层层建建造造费费用用与与2020年年的的能能源源消消耗耗费费用用之之和和为为800800（ ） 2020 （ ） （ ）6060 （010010）3535fxxfxxxxfxxfxxfxfcm 2 224002400(2)(2) （ ） 6 6，（3535）2323令令 （ ） 0 0得得5 5，（舍舍去去）5 5当当0505时时， （ ） 0,0, 当当510510时时， （ ） 0 0故故5 5是是 （ ）的的最最小小值值点点，对对应应的的最最小小值值为为800800（5 5） 6 5706 57015 515 5答答：当当隔隔热热层层修修5 5厚厚时时，总总费费用用达达到到最最

11、小小值值7070万万元元。OO例例2 2（20102010年年福福建建卷卷）某某港港口口 要要将将一一件件重重要要物物品品用用小小艇艇送送到到一一艘艘正正在在航航行行的的轮轮船船上上。在在小小艇艇出出发发时时，轮轮船船位位于于港港口口 北北偏偏西西3030 且且与与该该港港口口相相距距2020海海里里的的A A处处，并并以以3030海海里里/ /小小时时的的航航行行速速度度沿沿正正东东方方向向行行驶驶。假假设设该该小小船船沿沿直直线线方方向向以以v v海海里里/ /小小时时的的航航行行速速度度匀匀速速行行驶驶，经经过过t t小小时时与与轮轮船船相相遇遇。（1 1）若若希希望望相相遇遇时时小小船

12、船航航行行距距离离最最小小，则则小小艇艇航航行行速速度度的的大大小小应应为为多多少少？（2 2）假假设设小小艇艇的的最最高高航航行行速速度度只只能能达达到到3030海海里里/ /小小时时，试试设设计计航航行行方方案案（即即确确定定航航行行方方向向与与航航行行速速度度的的大大小小），使使得得小小艇艇能能以以最最短短的的时时间间与与轮轮船船相相遇遇，并并说说明明理理由由。minSttcosttttSv 2 22222解解析析：（1 1）设设相相遇遇时时小小艇艇航航行行的的距距离离为为S S海海里里，则则900400 2 30 20(9030 )900400 2 30 20(9030 )1 1900

13、600400900()300 .900600400900()300 .3 31 1故故当当时时,10 3,10 3；3 310 310 3此此时时30 3(30 3(海海里里/ /小小时时) )1 13 32B2 22v t400900t2 20 30t cos(9030 )6004002v900.2tt6004000v30 ,900900 ,2tt23220 ,t.tv30 .2t33t2v30t.3OABOAOBAB2030（ ）设设小小艇艇与与轮轮船船在在 处处相相遇遇。则则故故即即解解得得又又时时 ，故故时时， 取取最最小小值值，且且最最小小值值为为此此时时，在在中中，有有，故故可可设

14、设计计航航行行方方案案如如下下：航航行行方方向向为为北北偏偏东东，航航行行的的速速度度为为海海里里小小时时，小小艇艇能能以以最最短短的的时时间间与与轮轮船船相相遇遇。例例4.4.（20102010年广东卷）年广东卷） 某营养师要为某个儿童预定午某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含餐和晚餐。已知一个单位的午餐含1212个单位的碳水化合个单位的碳水化合物物6 6个单位蛋白质和个单位蛋白质和6 6个单位的维生素个单位的维生素C C；一个单位的晚；一个单位的晚餐含餐含8 8个单位的碳水化合物，个单位的碳水化合物，6 6个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和1010个单个单位的维生素位的维

15、生素C.C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含6464个单位的碳水化合物，个单位的碳水化合物，4242个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和5454个单位个单位的维生素的维生素C.C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.52.5元和元和4 4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？minxyzzxyxyxyxyxyxyxyxxxxNyyyyNxyz 解解：设设该该儿儿分分别别预预定定 ， 个个单单位位的的午午餐餐和和晚晚，共共需需 元元，则则2.542.54 。1286432161286432166642766427可可行行域域为为即即6105435276105435270 0，N0,N0,0 0，N0,N0,作作出出可可行行域域如如图图所所以以，当当4 4，3 3时时，花花费费最最少少，为为