多元复合函数求导法则的解题思路及方法PPT学习教案

1、会计学1多元复合函数求导法则的解题思路及方多元复合函数求导法则的解题思路及方法法定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其导数可用下列公式计算 ( ),( )zftt t则复合函数在对应点可导，),(vufz ),(vu函数在对应点具有连续偏导数，可导， ( )ut )(tv t如果函数及都在点一元复合函数( ),( )yf uux 求导法则ddddddyyuxuxuvtz第1页/共19页( ),zzzuvouv( )zzuzvotutvttdudtd vd t证()( ),uttt 则则);()(tttv tt 设设 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu dtvdt 2

2、2()() )uv () o 22()() uvtt 0t0 时,取“”号0t 当当时时， 由于函数),(vufz 在点故可微，即),(vu有连续偏导数，第2页/共19页例1 设 而2,xyze ( )yt sin ,xt 其中 可导，求( ) t .dzdtxytzdzz dxz dydtx dty dt 解z dxz dyx dty dt 22cos( 2)( )xyxyetet 2cos2( )xyett 第3页/共19页1.上定理的结论可推广到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数 称为dtdz推广)(),(),(tttfz 中间变量多于两个的情况:第

3、4页/共19页,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz ),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算: ( , )ux y ),(yxv ),(yx如果及都在点),(vufz 具有对x和y 的偏导数，且函数 ( , ),( , )zfx yx y 则复合函数在对应点),(vu在对应点具有连续偏导数， 2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：第5页/共19页uvxzy复合结构如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ( , ),( , )zfx yx y 链式法则的规律：“连线相乘，分线相加”第6页/共19页解 xz uzxu vzxv 1cos

4、sin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy第7页/共19页zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ),(yx在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算链式法则的规律： “连线相乘，分线相加”( , ),vx y ( , ),ux y ( , )wx y 设),(yx都在点具有偏导数，( , ,)zf u v w 在则复合函数对应点(

5、, ,)u v w具有连续偏导数，第8页/共19页),(yxufz ( , )ux y 即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中两者的区别yyxzxu区别类似3.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况：第9页/共19页解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt第10页/共19页解令, zyxu ;xyzv 记,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu第11页/共19页 zxw2)(21f

6、yzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 第12页/共19页 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的.第13页/

7、共19页dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 第14页/共19页例5 设 而cos ,uzev ,uxy vxy,.zzxy求解(cos )udzd ev cos( sin )uuevduev dv (),du d xyydxxdy (),dvd xydx dy (cossin )(cossin )uuuudzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos() sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy比较第15页/共19页1、链式法则（连线相乘，分线相加）2、全微分形式不变性（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）zzdzdudvuv第16页/共19页思考题),(xvufz ( ),ux )(xv 设，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 试问与是否相同？为什么？uzvxx第17页/共19页 xxvuxdxduufdxd