初二数学解题技巧

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的 中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的 和、差、倍、分 等类的题目3) 遇到等腰三角形 ，可作 底边上的高 ，利用“ 三线合一 ”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识

2、点常常是角平分线的性质定理或逆定理5) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是 全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等A例 1.已知：如图 3 所示， AD 为 ABC 的中线，D求证： AB+AC>2AD。BC分析：要证 AB+AC>2AD ，由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有： AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，E图3但它的左边比要证结论多BD+CD ，故不能

3、直接证出此题，而由2AD 想到要构造 2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD ，连接 BE， CE。ABDEC3图例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC的中点，求证： AD平分 BAE.因为 BD=DC=AC ，所以 AC=1/2BC因为 E 是 DC 中点，所以 EC=1/2DC=1/2AC ACE= BCA ，所以 BCA ACE所以 ABC= CAE因为 DC=AC ，所以 ADC= DAC ADC= ABC+ BAD所以 ABC+ BAD= DAE+ CAE所以 BAD= DAE即 AD 平分 BAE应

4、用：二、截长补短例 1.已知：如图1 所示，AD 为 ABC 的中线，且 1= 2, 3= 4。求证： BE+CF>EF 。分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知 1= 2， 3= 4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 EN ， FN ，EF 移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。ANEF12 34BDC延长 FD 到 G , 使 DG=FD,再连结 EG,BG图 11、如图，ABC 中， AB=2AC， AD平分BAC ，且 AD=BD，求证： CD AC证

5、明：取 AB 中点 E，连接 DE AD=BD DE AB ，即 AED=90o 【等腰三角形三线合一】 AB=2AC AE=AC又 EAD= CAD 【AD 平分 BAC 】AD=AD AED ACD （SAS ） C=AED=90oCD ACACBD2、如图， AC BD， EA,EB 分别平分 CAB, DBA， CD过点 E，求证 ;AB AC+BD在 AB 上取点 N , 使得 AN=AC CAE= EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN所以 ANE= ACE又AC平行BDAD所以 ACE+ BDE=180而 ANE+ ENB=180所以 ENB= BDE

6、E NBE= EBNBE 为公共边 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BDBCABC 内， BAC040 03、如图，已知在60， C，P，Q分别在 BC，CA上，并且 AP，BQ分别是BAC ， ABC 的角平分线。求证：ABQ+AQ=AB+BP证明：做辅助线 PMBQ，与 QC 相交与 M。（首先算清各角的度数）BQ APB=180° BAP ABP=180° 30° 80°=70°P且 APM=180° APB MPC=180° 70°QBC （同 位角相

7、等） =180°70° 40°=70° APB= APM又 AP 是 BAC 的角平分线， C BAP= MAPAP 是公共边 ABP AMP( 角边角） AB=AM ，BP=MP在 MPC 中， MCP= MPC=40° MP=MC AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在 QBC 中 QBC=QCB=40° BQ=QC BQ+AQ=AQ+QC=AC BQ+AQ=AB+BPA4、角平分线 如图，在四边形ABCD中，BC BA,AD CD，BD平分ABC ，D求证：AC1800延长 BA, 作 DF BA 的延长线，作 DE BCB

8、C 1=2 DE=DF （角分线上的点到角的两边距离相等）在 Rt DFA 与 Rt DEC 中 AD=DC,DF=DE RtDFA Rt DEC （HL) 3=C因为 4+3=180° 4+ C=180°即 A+C=180°?5、如图在 ABC中， AB AC， 1 2， P 为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PCA延长 AC 至 E，使 AE=AB ，连结 PE 。然后证明一下 ABP AEP 得到 PB=PE 备用（角边角证很容易吧12） PCE 中， EC>PE-PC EC=AE-AC ， AE=AB EC=AB-AC又 PB=PE PE-

9、PC=PB-PC AB-AC>PB-PCPBCD应用：三、平移变换例 1 AD 为 ABC的角平分线，直线 MN AD于 A.E 为 MN上一点， ABC周长记为 PA ，EBC周长记为 PB . 求证 PB PA .例 2 如图，在 ABC的边上取两点 D、 E，且 BD=CE，求证： AB+AC>AD+AE.ABDEC四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60°， ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证： OE=OD在 AC 上取点 F，使 AF=AEA AD 是角 A 的平分线EO角 EAO 角 FAE/BCD AO=AO三角形 AEO 与 AF

10、O 全等（两边夹角相等） EO=FO ，角 AOE 角 AOF CE 是角 C 的平分线角 DCO 角 FCO角 B60°角 A+ 角 C18060120°角 COD= 角 CAO 角 OCA 角 A/2 角 C/2 60 度角 OCF 180 角 AOF- 角 COD 180 60 60 60°角 OCF 角 COD OC=OC三角形 OCD 与 CFO 全等 （两边夹角相等） CF=CD AC=AF+CF AE+CD即： AE+CD=AC2、如图， ABC中， AD平分 BAC， DG BC且平分 BC， DE AB于 E， DF AC于 F.（1）说明 BE

11、=CF的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的长 .证明：连接 BD,CDDGBC 于 G 且平分 BC所以 GD 为 BC 垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,AD 平分 BAC，DEAB 于 E，DFAC 的延长于 F所以 DE=DF在 RT BED,RT CFD 中线AEDE=DFBD=CDRT BED RT CFD(HL)GBCFDBE=CF应用：五、旋转例 1 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 .将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转

12、90 度，至三角形 ABGA则 GE=GB+BE=DF+BE=EFD又 AE=AE ， AF=AG ，F所以三角形 AEF 全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF又 EAF+ BAE+ DAF=90BEC所以 EAF=45 度例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点， DMDN,DM,DN分别交 BC,CA 于点 E,F 。（1）当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF的面积。B做 DPBC，垂足为 P，做 DQAC，垂足为 Q D 为中点，且 ABC 为等腰 RT ABCAE DP=DQ=?BC=?ACCMAF又 FDQ= PDE( 旋转） DQF= DPE=90° DQF DPE SDQF=S DPE又 S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DPE S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DQF=?BC*?AC=?