第二章随机变量及其分布PPT课件

1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数2.2 离散型随机变量离散型随机变量2.3 连续型随机变量连续型随机变量2.4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布2.5 二维随机变量简介二维随机变量简介第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 2.1 随机变量随机变量 及其分布函数及其分布函数 2.1节需要弄清楚下述问题：节需要弄清楚下述问题：1、随机变量的定义，并举例说明？、随机变量的定义，并举例说明？2、随机变量的分类，及每一类的判断方法？、随机变量的分类，及每一类的判断方法？3、分布函数的定义，及其定义域与值域？、分布函数

2、的定义，及其定义域与值域？5、分布函数的性质？、分布函数的性质？4、随机变量落在某一区间内的概率怎样通过、随机变量落在某一区间内的概率怎样通过 分布函数求出来？分布函数求出来？一、随机变量一、随机变量 基本思想基本思想：将样本空间数量化，即用数值来表示将样本空间数量化，即用数值来表示 试验的结果试验的结果. 这样就可采用高等数学这样就可采用高等数学 的方法来描述、研究随机现象的方法来描述、研究随机现象.有些随机试验的结果可直接用数值表示有些随机试验的结果可直接用数值表示 如如：投骰子的试验中，样本空间：投骰子的试验中，样本空间 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1654321X“出现出现

3、1点点” “出现出现2点点” “出现出现3点点” “出现出现4点点” “出现出现5点点” “出现出现6点点” 于是可将变量于是可将变量X看作定义在样本空间看作定义在样本空间上的函数：上的函数： 有些随机试验的结果不可以直接用数值表示，但有些随机试验的结果不可以直接用数值表示，但 可数量化可数量化如如：掷硬币的试验中，样本空间为：掷硬币的试验中，样本空间为： “正面正面”，“反面反面”可规定：用可规定：用“1”表示表示“正面正面”，“0”表示表示“反面反面”，则定义变量则定义变量10X“反面反面“正面正面“上述例子中，变量上述例子中，变量X的取值都依赖于试验的结果，将结果数的取值都依赖于试验的结

4、果，将结果数量化，则可建立实数与试验结果之间的对应关系量化，则可建立实数与试验结果之间的对应关系.1、随机变量的定义、随机变量的定义设设是随机试验的样本空间，对是随机试验的样本空间，对中的每一个样中的每一个样本点本点，有且仅有一个实数，有且仅有一个实数 与之对应，则称与之对应，则称X为定义在为定义在上的上的随机变量随机变量.)(X注注：实质上：随机变量是定义在：实质上：随机变量是定义在上的一个单值上的一个单值 实函数，即：实函数，即： )(XX随机变量与普通变量的区别随机变量与普通变量的区别随机变量是定义在样本空间上，且样本空间随机变量是定义在样本空间上，且样本空间 中的元素不一定是实数；而普

5、通函数是定义中的元素不一定是实数；而普通函数是定义 在实数轴上的，肯定是实数在实数轴上的，肯定是实数.随机变量的取值由试验的结果决定，且试验随机变量的取值由试验的结果决定，且试验 的各个结果的发生具有一定的概率，于是随的各个结果的发生具有一定的概率，于是随 机变量取各个值有一定的概率机变量取各个值有一定的概率.例例1：设有：设有10件产品，其中正品件产品，其中正品6件，次品件，次品4件，现件，现 从中任取从中任取2件产品，试用件产品，试用X表示抽到表示抽到2件产品件产品 中不合格产品的件数中不合格产品的件数.例例2：考察一个医院每天的就诊人数：考察一个医院每天的就诊人数X.2 , 1 , 0X

6、 , 2 , 1 , 0X此例中此例中X的取值为可列无穷多个的取值为可列无穷多个. 一般地，能够与整一般地，能够与整数集一一对应的集合称为可列无穷集合，称其元素为数集一一对应的集合称为可列无穷集合，称其元素为可列的可列的.例例3：某公共汽车站每：某公共汽车站每 8 分钟就有一辆车通过，一位分钟就有一辆车通过，一位 乘客在任一时间到达车站都是等可能的，试写乘客在任一时间到达车站都是等可能的，试写 出该位乘客的候车时间出该位乘客的候车时间X. 8 , 0X3 XA例例4：掷一枚质地均匀的骰子，请用随机变量：掷一枚质地均匀的骰子，请用随机变量X表示表示 出下列事件出下列事件. 1、掷出点数小于、掷出

7、点数小于3的事件；的事件；2、掷出点数大于、掷出点数大于4的事件；的事件；3、掷出点数等于、掷出点数等于4的事件；的事件；4 XB4 XC从此题我们可以看出从此题我们可以看出：有了随机变量之后，不仅可：有了随机变量之后，不仅可以将样本空间数量化，而且可以用随机变量的取值以将样本空间数量化，而且可以用随机变量的取值情况来写随机事件。情况来写随机事件。2、随机变量的分类、随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量非离散型非离散型连续型连续型其它其它离散型离散型：所有取值为有限个或可列个：所有取值为有限个或可列个如：投掷一颗骰子，观察出现的点数；如：投掷一颗骰子，观察出现的点数； 某射手连续的向同一

8、目标射击，直到击中目某射手连续的向同一目标射击，直到击中目 标为止的射击次数标为止的射击次数.连续型连续型：取值范围是一个或若干个有限或无限区间：取值范围是一个或若干个有限或无限区间如：某地区的气温；如：某地区的气温； 灯泡使用灯泡使用1000小时以上寿命小时以上寿命.1、分布函数的定义、分布函数的定义 设设 是一个随机变量，是一个随机变量， 是任意实数，称函数是任意实数，称函数 为随机变量为随机变量 的的分布函数分布函数.XX( )F xP Xxx 二、分布函数二、分布函数注注：若将：若将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布看作数轴上随机点的坐标，那么分布 函数函数 的值就表示的值就表示X落在

9、区间落在区间 的的 概率概率)(xF,(xxxX 分布函数分布函数 的定义域的定义域 ，值域为，值域为)(xF),( 1 , 0引入分布函数后，事件的概率就可以用引入分布函数后，事件的概率就可以用 的的 函数值来表示函数值来表示)(xF( )( )P aXbP XbP XaF bF a)(11bFbXPbXP)0(bFbXP)0()(bFbFbXPbXPbXP2、分布函数的性质、分布函数的性质定理定理：设：设 为随机变量为随机变量X的分布函数，则：的分布函数，则：)(xF 是单调不降函数，即：当是单调不降函数，即：当 时，有：时，有：)(xFba )()(bFaF ，且，且1)(0 xF0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx 右连续，即右连续，即)()(lim)0(000 xFxFxFxx)(xF思考思考： 是不是某一随机变量的分布函数？是不是某一随机变量的分布函数？211)(xxF不是，因为：当不是，因为：当 时，有：时，有：bxa02211)(11)(bbFaaF不满足分布函数的性质不满足分布函数的性质1.例例4：设随机变量：设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：RxxBAxF arctan)(试求：系数试求：系数A，B； X落在区间落在区间 上的概率上