第3章3.3 角动量

1、（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） 刚体定轴转动刚体定轴转动陀螺仪陀螺仪CA B F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间： 1 刚体的运动刚体的运动一一. 刚体刚体（rigid body）的概念的概念t t + t 才才感受到力感受到力固体中弹性波的速度固体中弹性波的速度k v（k劲度）劲度）若若 v ，则，则 k ， 此时物体有无限的刚性，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为我们把这种不能变形的物体称为刚体

2、。刚体。刚体刚体是个理想化的模型是个理想化的模型的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二二 . 刚体的运动形式刚体的运动形式1.平动平动（translation）：）： 刚体做平动时，可用质心或其上任何一刚体做平动时，可用质心或其上任何一平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。 2.转动转动（rotation）：）： 转动也是刚体的基本运动形式之一，转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为它又可分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。连接刚体内任意两点连接刚体内任意两点点的运动来代表整体的运动。点的运动来代表整体的运动。 定轴转动

3、：定轴转动：且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动：定点转动：整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 3.平面运动：平面运动： 刚体上各点的运动都平行于某一刚体上各点的运动都平行于某一4.一般运动：一般运动： 刚体不受任何限制的的任意运动。刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动它可分解为以下两种刚体的基本运动： 随随基点基点O（可任选）的（可任选）的平动平动 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，运动中刚体上只

4、有一点固定不动，运动中刚体上只有一点固定不动，固定平面的运动。固定平面的运动。定轴转动定轴转动OOO O 转动与基点的选取无关。转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，两种分解，基点选取不同，例如：例如：平动可以不同，平动可以不同， 动力学中，常选动力学中，常选质心质心为基点。为基点。三三 . 刚体转动的描述（运动学问题）刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动定点转动（rotation about a fixed point）（1）角量的描述）角量的描述 为反映为反映瞬时轴瞬时轴的方向及刚体转动的快慢的方向及刚体转动的快慢转动却相同，转动却相同，或或。 和转向，引入和转向，引入角速度矢

5、量角速度矢量tdd 与转向成右螺旋关系。与转向成右螺旋关系。tdd（不一定沿着瞬时轴）（不一定沿着瞬时轴） 基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体 dv 的方向的方向沿瞬时轴，沿瞬时轴，为反映为反映 的变化情况，引入的变化情况，引入角加速度矢量角加速度矢量 。 转向转向 （2）线量和角量的关系）线量和角量的关系vrrP 基点基点O瞬时轴瞬时轴刚体刚体rr vtrrttadddddd vvr旋转加速度旋转加速度 向轴加速度向轴加速度 2.定轴转动定轴转动（rotation about a fixed axis）转轴固定，转轴固定，。 和和 和和退化为退化为代数量代数量 O刚体刚体vPrr定轴定轴参考方

6、向参考方向z , rv2 ranrtrtat dddvd三、匀变速转动三、匀变速转动当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。角加速度角加速度 const角速度角速度 角位移角位移 20 21 tt 角位置角位置 200 21 tt四、角量与线量的关系四、角量与线量的关系 rv 速度速度rat切向加速度切向加速度2 ran 法向加速度法向加速度oPvrt 0 质点的角动量质点的角动量（angular momentum of a particl

7、e）一一. 质点的角动量质点的角动量角动量是质点运动中的一个重要的物理量，角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。 LmO pr 质点质点m对惯性系中的固对惯性系中的固)(vmrprL 定点定点O的的角动量角动量定义为：定义为：， v sinsinrmrpL 单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：方向：）（，于于vpr 决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）LRv mO 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为方向方向 圆面圆面不变。不变。L = mvR，同

8、一质点的同一运动，其角动量却可以随固同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。定点的不同而改变。例如：例如：vmrLomO vlmLO 方向变化方向变化vmrLmoO sinvlmLO 方向竖直向上不变方向竖直向上不变Ol vO 锥摆锥摆m 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点点对对外外 OtLM )(2iiirm)(dd轴轴对对外外 ztLMzz iiiiiizzrmLLviiizrmI2令令转动惯量转动惯量（对（对z轴）轴）（rotational inertia）vi刚体刚体 O, , ri定轴定

9、轴zmiriFivi刚体刚体 O, ,ri定轴定轴zFiimirizzIL则则tItLMzzzdddd外zzIM外即即转动定律转动定律其中其中 iiiizrFM sin外外定轴情况下，可不写下标定轴情况下，可不写下标 z ，IM 与牛顿第二定律相比，有：与牛顿第二定律相比，有：M 相应相应F ，I 相应相应 m ， 相应相应 a 。记作：记作： 转动惯量转动惯量1、定义、定义 刚体的转动惯量等于刚体上刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。轴距离平方的乘积之和。2、转动惯量的计算、转动惯量的计算若质量连续分布若质量连续分布dmrI2iiir

10、mI2若质量离散分布若质量离散分布 y rix z yi xi mi 例例1 1、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，d dm= = d dx12/2222mLdxxILLC3/202mLdxxILA例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：解：222mRdmRdmRIdm例例3 3、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平均匀圆

11、盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为d dr的薄圆环的薄圆环, ,rdrdm 2 drrdmrdI322403212RdrrdIIR2Rm Rrdr221mRI 例例3 3、内半径为、内半径为R1 1 外半径为外半径为R2 2 质量为质量为m 的匀质中空圆柱绕其的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量对称轴的转动惯量oorrRRmmd2)(d2122 21d2)(22122RRrrrRRmI)(212122RRm R2R1Rr例例4 4、质量为、质量为m 半径为半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量 sinR

12、 d解解: :在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径 sinRr rRdRmdm 242 dmrI2 2032sin2 dmR232mR R例例5 5、质量为、质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量的匀质球体绕过球心轴的转动惯量MR解解: :把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 drrRmdm23434 drrRm233 232rdmdII RdrrRm0432252mR 二二. 计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律1.对同一轴对同一轴I具有可叠加性具有可叠加性iII 2.平行轴定理平行轴定理JCdmJC平行平行2mdIIC3.对薄平

13、板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 ri mi x z yi y xiO2iizrmI 22iiiiymxmyxzIII即即如图如图 例例 求求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知已知圆盘圆盘。 212mRIz yx z 圆盘圆盘 R C m 解：解：221 mRIIIzyx241 mRIIyx思考思考下图中的下图中的 Iz 如何求？如何求？zlDmCaazm4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1 ) 滑轮滑轮 m、R, 可看成质量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘, 轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为

14、Mf（设绳轻，且（设绳轻，且 不伸长不伸长,与滑轮无相对滑动）。与滑轮无相对滑动）。求求:物体的加速度及绳中张力。物体的加速度及绳中张力。解题思路解题思路（1）选物体）选物体（2）看运动）看运动（3）查受力（注意）查受力（注意:画隔离体受力图）画隔离体受力图）（4）列方程（注意）列方程（注意:架坐标）架坐标）例例1.m1m2mR因绳不伸长因绳不伸长,有有 a1= a2= a因绳轻因绳轻,有有2211,TTTT 对对m1有有?TT21 对对 m2有有以加速度方向为正，可列出两以加速度方向为正，可列出两式式设出各量如图所示。设出各量如图所示。【解】【解】分别对分别对m1, m2, m 看运动、分析

15、力，看运动、分析力， T1 - m1g = m1a -（1） m2g - T2= m2 a -（2）gm11T1agm22T2amg2T 1T fMNR 对滑轮对滑轮 m 由转动方程由转动方程-（3）三个方程三个方程,四个未知数四个未知数.再从再从运动学关系上有运动学关系上有Raat- （4）联立四式解得：联立四式解得：(以以“方向方向”为正为正)21221mRIMRTRTfgm2mggm12T 2T1T1T 1a2afMNR mmmRMgmmaf212112 mmmRMgmmaf212112 2222111211mmmRMmgmmmagmTf 2222122122mmmRMmgmmmagmT

16、f 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时: gmmmma1212 gmmmmTT2121212 （与质点动力学作过的一致！）（与质点动力学作过的一致！）m = 0, Mf = 0 ，有有讨论讨论定轴定轴 ORthmv0= 0 绳绳（不可伸长）（不可伸长）已知：已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m，滑动，滑动， 下落时间下落时间 t =3s。求：求：轮对轮对 O 轴轴 I =？ 解：解： 动力学关系：动力学关系：对轮：对轮：IRTT = TmgmaRGTN对对m：maTmg 运动学关系：运动学关系：Ra(3)221ath (4)(1)(2)绳轮间无相

17、对绳轮间无相对(1)(4)联立解得：联立解得：22) 12(mRhgtI分析结果：分析结果： 量纲对；量纲对； h、m 一定，一定，I t， 若若I = 0，得，得 ，221gth 代入数据：代入数据：2mkg14. 1 正确。正确。合理；合理；222 . 01) 15 . 1238 . 9(I此为一种用实验测转动惯量的方法。此为一种用实验测转动惯量的方法。 5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一一. 力矩的功力矩的功 力矩的空间积累效应：力矩的空间积累效应：)d(cosd rFW d)cos( rF dM 力矩的功：力矩的功： 21 dMW d zx 轴轴rF 二二. 定轴转动动能定

18、理定轴转动动能定理 21d MW21dddtI21dI21222121II221IEk 令令转动动能：转动动能：）（可证：22v2121iimI刚体定轴转刚体定轴转动动能定理：动动能定理：12kkEEW ）（ kE （飞轮储能）（飞轮储能）三三. 刚体的重力势能刚体的重力势能 iipghmEmhmmgii Cmgh 四四. 应用举例应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能ChChiEp= 0mi守恒定律仍成立。守恒定律仍成立。例例已知：已知：如图示，如图示，4/ lAO 。轴轴OCABl , ml /4求：求： 杆下摆到杆下摆到 角时，角时，解：解：（

19、杆（杆+地球）系统，地球）系统，0sin4212lmgIO (1)222487)4(121mllmmlIO (2)(1)、(2)解得：解得：lg7sin62 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。? 角速度角速度? N轴对杆作用力轴对杆作用力均匀直杆质量为均匀直杆质量为m，长为长为l，初始水平静止。，初始水平静止。 轴光滑，轴光滑， 应用质心运动应用质心运动CamgmN CllmaNmgl sin ： (3)CttmaNmgt cos ： (4)24 laCl sin76g (5)OlCtJmglla cos444 7cos3 g (6)BCOAl , mNlNtNmgaCtaCllt 定

20、理求轴力：定理求轴力： 由由(3)(4)(5)(6)解得：解得：,sin713 mgNl cos74mgNt tlemgemgN cos74sin71316sin15372 mgN)ctg134(tg|tg11 ltNNCOABl , mNlNtNlt质点的角动量定理，力矩质点的角动量定理，力矩prL 由由有：有：)(ddddprttL 定义力定义力对定点对定点 O 的的力矩力矩 (moment of force) 为：为：FrM FM rOm FrrFM0sin sin0rr 称称力臂力臂r0tprptrdddd Frm vvFr 角动量定理角动量定理tLMdd 于是有于是有 质点角动量定理

21、质点角动量定理tMLdd 或或12d21LLtMtt 积分积分质点角动量定理质点角动量定理 21dtttM称称冲量矩冲量矩力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）常常矢矢量量，则则若若 LM 0 质点角动量质点角动量 心心恒恒星星的的万万有有引引力力）中中点点：中中心心力力（如如行行星星受受过过， OFFM00 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 （law of conservation of angular momentum） OmvFL （中心力）（中心力）r常常矢矢量量 )(vmrL（1） mv r sin = const.，（2）轨道在

22、同一平面内。）轨道在同一平面内。守恒定律守恒定律 0 常常量量，则则若若 zzLM 质点对轴的角质点对轴的角 动量守恒定律动量守恒定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。而且在高速低速范围均适用。例例3.1 试利用角动量守恒定律证明关于行星运动的开普勒第二定律：在太阳系中任一行星对太阳的位矢在相等的时间间隔内扫过的面积相等，即掠面速度不变. 设行星任一时刻t在椭圆轨道上的位矢为r,速度为v,在dt时间内走过的路程ds=vdt,则它的位矢r在该时间

23、间隔内扫过的面积mLmLvrrvdtdS2|2|21sin210dtrvdsrdSsin2121 例例3.2 1970年我国发射的第一颗人造地球卫星的数据如下： 重量为173kg,周期T=114min,近地点(距地心)r16817km,远地点r2=8762km，椭圆轨道长半轴a=7790km,短半轴b=7720km. 试计算卫星的近地点速度和远地点速度.图3.5r+drr2v1v2r1r地心地心 星云具有盘形结构：星云具有盘形结构： pc 秒差距，秒差距，1pc = 3.086 1016m旋旋转转的的星星云云 星球所需向心力：星球所需向心力：星球具有原始角动量星球具有原始角动量kmr00vvr

24、0 zM.const zLvvrmmr 00rrr1oo vv 321rrmF v向向引力不能再使引力不能再使 r 减小减小 。，向向引引 FF 可以可以在引力作用下不断收缩。在引力作用下不断收缩。粗略的粗略的解释：解释：r0v0zm引力使引力使r 到一定程度到一定程度 r 就不变了，就不变了，但在但在z 轴方向轴方向却无此限制，却无此限制，可近似认为引力：可近似认为引力：21rF 引引gm 例例 锥摆的角动量锥摆的角动量0 Trom）（mglgmrom sin Trgmrmomo 0 ）（gmrTrmomo对对O点：点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O 点：点：合力

25、矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）（合力不为零，动量改变！）Ol vO 锥摆锥摆mT 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1、刚体定轴转动的角动量、刚体定轴转动的角动量刚体上的一个质元刚体上的一个质元, ,绕固定轴做圆周运动角动量为绕固定轴做圆周运动角动量为： 2iiirmL 所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为： )(2 iiiiirmLL刚体对固定转动轴的角动量刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯等于它对该轴的转动惯量和角速度的乘积。量和角速度的乘积。IL mi

26、ooLrividtLddtIddtdIIMdtMLddtM11221221IILLdtMtt.const 0zzIM，则外 正、负不变正、负不变大小不变大小不变刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，对刚体系， M外外z = 0 时，时， ，.constiizI 此时角动量可在系统内部各刚体间传此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。不变。 角动量守恒定律角动量守恒定律dtLdMzz时当：0zM恒矢量zL1122II恒矢量iiiivmrI克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾

27、浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互抵消量而相互抵消滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A） 猫的下落（猫的下落（B）m (黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘（水平）（水平）R例例 如图示，如图示，求：求：碰撞后的瞬刻盘碰撞后的瞬刻盘？ 0 P 转到转到 x 轴时盘轴时盘 ?，解：解： m下落：下落：221vmmgh gh2 v(1) mPhv对对（m +盘），盘），碰撞中重力对碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，轴力矩可忽略，0cosvIRm(2) 已知：

28、已知：h，R，M=2m， =60 系统角动量守恒：系统角动量守恒：222221mRmRMRI (3) 对对（m + M +地球）系统，地球）系统，mmgOMR , 令令P、x 重合时重合时 EP = 0，则：，则：2202121sinIImgR (5)(3)(4)(5)得：得：由由(1)(2)(3)得：得： cos220Rgh (4) sincos222RgRgh RgmRmgRIM222)34(2.21RhgR )60( 只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。（m +盘）盘）质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴的水平光滑固定轴 0 转动

29、，如果一质量为转动，如果一质量为 m的小球以速度的小球以速度 竖直落到棒的一端，竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。u例例1.lm uvmo【解解】求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。 杆的角速度杆的角速度 肯定如图，肯定如图， 假设小球碰后瞬时的速假设小球碰后瞬时的速 度度 向上，如图所示。向上，如图所示。v系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：M外外=0 角动量守恒角动量守恒 （轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的 内力矩相比可以忽略）内力矩相比可以忽略）)1(212122lvmmllum 因

30、为弹性碰撞因为弹性碰撞, 动能守恒动能守恒)2(2112121212222vmmlum 联立联立(1)(2)解得解得 ;33mmummv lmmum)3(6 讨论讨论1. 量纲量纲 对对2. 0 对对3. 当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上） 当当 m =3m 时时, v = 0（瞬时静止）（瞬时静止） 当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下） 质点系的角动量质点系的角动量 iiLL 质点系的角动量质点系的角动量iiiiiFrMM 外外外外0)( ijijiiiifrMM内内内内 iiLttL）（ddddtLMdd 外外 质点系角动量定理质点系角动量定理于是有：于是有： ）（内内外

31、外iiiMM iitLdd内内外外MM 常常矢矢量量，则则若若外外 LM 0 质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律 例例 一长为一长为l 的轻质杆端部固结一小球的轻质杆端部固结一小球m1 ，碰撞时重力和轴力都通过碰撞时重力和轴力都通过O，2222102lmlllmml vlmmm021242v 解：解： 选选m1（含杆）（含杆）+ m2为系统为系统另一小球另一小球m2以水平速度以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：求：碰撞后杆的角速度碰撞后杆的角速度对对O 力矩为零，故角动量守恒。力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：思考思考 （m1m2 ）的水平动量是

32、否守恒？）的水平动量是否守恒？有有小结：动量与角动量的比较小结：动量与角动量的比较角动量角动量 iiiprL矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力矩无关与内力矩无关守恒条件守恒条件0 iiiFr动量动量 iiimpv矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件0 iiF与固定点无关与固定点无关例例3.4 体重相等的甲乙两人，各抓住跨过滑轮的绳的两端，如图3.8所示.当他们从同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，问谁先到达顶点?假定绳和滑轮的质量以及各种摩擦都忽略.图3.8滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A） 猫的下落（猫的下落（B）例例2 A、B两圆盘绕各自的中

33、心轴转动，角速度分别两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：为：wA=50rad.s-1, wB=200rad.s-1。已知。已知A 圆盘半径圆盘半径RA=0.2m, 质量质量mA=2kg, B 圆盘的半径圆盘的半径RB=0.1m, 质量质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度试求两圆盘对心衔接后的角速度w . ABAB解：以两圆盘为系统，系统角动量解：以两圆盘为系统，系统角动量守恒，守恒，2,2)(22BBBAAABABBAARmIRmIIIII2222BBAABBBAAARmRmRmRm 1srad100定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律讨论讨论力矩对时间的积

34、累效应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点对点，外外 tLMdd 1221dLLtMtt 外外对轴对轴zttzzLLtM1221d 外外刚体刚体zzIL 1221dzzttzIItM外 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理质点直线运动质点直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动位置矢量位置矢量角位置角位置位移位移角位移角位移速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩牛顿运动定律牛顿运动定律转动定律转动定律动量动量角动量角动量冲量冲量冲量矩冲量矩动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律质点直线运

35、动质点直线运动刚体定轴转动刚体定轴转动位置矢量位置矢量x角位置角位置位移位移x=x2-x1角位移角位移=2-1速度速度v=dx/dt角速度角速度=d/dt加速度加速度a=dv/dt角加速度角加速度 =d/dt质量质量m转动惯量转动惯量I=miri2力力F力矩力矩M=rF F牛顿运动定律牛顿运动定律 F=ma转动定律转动定律M=I 动量动量P=mv角动量角动量L=I冲量冲量I=Fdt冲量矩冲量矩Mdt动量定理动量定理I=P2-P1角动量定理角动量定理Mdt =L2-L1动量守恒定律动量守恒定律 F=0,P=C角动量守恒定律角动量守恒定律 M=0,L=C例：质点例：质点m m沿直线运动，速度为沿直

36、线运动，速度为v v，它对直线上任一点角动量为，它对直线上任一点角动量为对直线外垂直距离为对直线外垂直距离为d d的任一点角动量大小为的任一点角动量大小为0mvdvmArdOL例：一质点运动方程为例：一质点运动方程为则此质点对原点的动量矩为则此质点对原点的动量矩为jtbi tar sincos kmabLjtbi tadtrdv cossin kabktabktabjtbi tajtbi tavr 22)()(sincoscossinsincos例、例、一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R 的定滑轮的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质

37、量为上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。解：解：2121 MRIIRTMM：对MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：定轴定轴ORthmv0=0绳绳RamaTmgm :1对例题一半径为例题一半径为R R，质量为，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以，令圆盘最初以角速度角速度 0 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问

38、它经过绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？多少时间才停止转动？rRdr d e解解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量的质量dm= rd dre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg 。此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获

39、得负的角加速度角加速度.设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停止转动，则有停止转动，则有000213dRdtget由此求得由此求得023geRt mgRedrRrmgeMR3022dtdmRImgRe2213例：例：在加速运动的车上分析单摆与竖直方向的夹角。在加速运动的车上分析单摆与竖直方向的夹角。（1）确定研究对象：物体）确定研究对象：物体m（2）选参照系）选参照系车（非惯性系）车（非惯性系）（3）在参照系上建立直角坐标系如图；）在参照系上建立直角坐标系如图；（4）隔离物体分析力）隔离物体分析力:T拉力拉力:mg重力重力:Fi惯性力惯性力:解：解：iFTmg0YX0YX 0aiFTmg0YX0

40、YX 0aX方向：方向：Y方向：方向：iFTsinmgTcos0 xma0yma)/arctan(0ga0maFi（5）运用牛顿第二定律列方程：）运用牛顿第二定律列方程：例例 如图如图 m与与M保持接触保持接触 各接触面处处光滑各接触面处处光滑求：求：m下滑过程中，相对下滑过程中，相对M的加速度的加速度 amM解：画隔离体受力图解：画隔离体受力图M相对地面加速运动相对地面加速运动,运动加速度设为运动加速度设为0aMmNyxMm0maMmmg0a以以M为参考系画为参考系画m 的受力图的受力图xy0aMMgMN地MmN以地面为参考系画以地面为参考系画M的受力图的受力图以地面为参考系对以地面为参考系

41、对M列方程列方程) 1 (sin0MaNmM以以M为参考系（非惯性系）对为参考系（非惯性系）对m 列方程列方程)2(sincos0mMmamgma) 3(0cossin0mgmaNmMgmMmMamM2sinsin)(xy0aMMgMN地MmN0aMmNyx0maMmmg结果为：结果为：#Fxox0例例 柔软的绳盘在桌面上，总质量为柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0，总长度，总长度l , 质质量均匀分布，均匀地以速度量均匀分布，均匀地以速度v0 提绳。提绳。求求：绳子被拉：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力上任一段后，绳端的拉力F F。解解：(法一法一) 取取整个绳子整个绳子为研究对象为研究对象t0000 xlmPttd00)(xxlmPdF受力图受力图gm0N 1)()(00000 xlmxxlmtgmNFdd 2)(0gxllmNxglmlmF0200#gxl