高二数学椭圆1

1、高二数学椭圆本周课题：椭圆 本周重点：椭圆的定义、标准方程、性质 本周难点：定义和性质的应用 本周内容： 1. 椭圆定义 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。2. 椭圆的标准方程： 形式一：说明：此方程表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2形式二：说明：此方程表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)，F2(0，c)，其中c2=a2-b2.两种形式中，总有a>b>0；两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；a，b，c始终满足c2=a2-b

2、2；遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同号，且AB就是椭圆方程，推导：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合。设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是(-c，0)，(c，0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=M|MF1|+|MF2|=2a因为所以得：整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由椭圆的定义可知：2a>2c，即a>c，故a2-c2>0令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式整理得：3. 椭圆的性质 由椭圆方

3、程研究椭圆的性质 (1)范围： 从标准方程得出，即有-axa,-byb，可知椭圆落在x=±a，y=±b组成的矩形中 (2)对称性： 把方程中的x换成-x方程不变，图象关于y轴对称，y换成-y方程不变，图象关于x轴对称。把x，y同时换成-x，-y方程也不变，图象关于原点对称。如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称和截距。(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。 在椭圆的方程里，令y=0得x=±a，因此椭圆和x轴有

4、两个交点A1(-a，0)，A2(a，0)，它们是椭圆的顶点。 令x=0得y=±b，因此椭圆和y轴有两个交B1(0，-b)，B2(0，b)，它们也是椭圆的顶点。因此椭圆共有四个顶点：A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)加两焦点F1(-c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为2a，2ba，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。(4)离心率：发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同。这种扁平性质由什么来决定呢？定义式：，范围：0<e<1，考察椭圆形状与e的关系。e0，c0

5、，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例。e1，ca，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为椭圆在e=1时的特例。4. 椭圆的第二定义 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的准线方程： 对于，相对于左焦点F1(-c,0)对应着左准线l1：；相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2：，相对于下焦点F1(0，-c)对应着下准线：l1：；相对于上焦点F2(0,c)对应着上准线l2：.准线的位置关系：焦点到准线的距离其上任意点P(x，y)到准线

6、的距离；(分情况讨论)点评：(1)从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式。(2)椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称。5. 焦半径公式 设M(x0，y0)是椭圆的一点r1和r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a-ex0，其中e是离心率。推导：同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：6. 参数方程 问题：如图，以原点O为圆心，分别以a，b(a>b>0)为半径作两个图，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作NAOX垂足为N，过点B作B

7、MAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。解答：设A的坐标为(x，y)，NOA=，取为参数，那么也就是，这就是所求点A的轨迹的参数方程，将发现它可化为，说明A的轨迹是椭圆。椭圆的参数方程，注意：角不是角NOM本周例题： 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0,2)，并且椭圆经过点解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2a=10,2c=8a=5,c=4,b2=a2-c2=52-42=9所以所求椭圆的标准方程为(2)因为椭圆的焦

8、点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知：又c=2，b2=a2-c2=6所以所求椭圆方程为例2 已知B、C是两个定点，|BC|=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单。在右图中，由ABC的周长等于16，|BC|=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即|AB|+|AC|=16-6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合。由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有|AB|+|

9、AC|=10，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6，2a=16-6=10，c=3,a=5,b2=52-32=16但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是说明：求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，就在所得方程后注明限制条件；例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹。解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x=x0，因为P(x0，y0)在圆x2+y2=4上，所以 将x0=x，y0=2y代入方程得x2+4y2

10、=4即所以点M的轨迹是一个椭圆。(如图)说明：本题在求点M(x，y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x，y之间关系的方程，而是先寻找x，y与中间变量x0，y0之间的关系，利用已知关于x0，y0之间关系的方程，得到关于x，y之间关系的方程。这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法。如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆。由本题结论可以看到，将圆按照某个方程均匀地压缩(拉长)，可以得到椭圆。例4 已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程。解：把已知椭圆方程变为a2=25,b2=1

11、6从而焦点F的坐标为(0,3)，设点P坐标为(x,y)，Q点的坐标为(x1，y1)则由P分所成比为2，得x1=3x，y1=3y-6代入得：225x2+144y2-576y+176=0例5 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标解：把已知方程化成标准方程因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=10，2b=8，离心率，两个焦点分别为F1(-3,0)，F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(-5,0)，A2(5,0)，B1(0，-4)，B2(0，4)例6 椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离。解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义

12、得，点P到椭圆的左焦点距离为10e=8再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20-8=12例7 椭圆，其上一点P(3，y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。解：由椭圆的焦半径公式，得所求椭圆方程为例8 已知椭圆上的点P(x，y)，求的取值范围。解：例9 已知椭圆与x轴的正半轴交于A，0是原点，若椭圆上存在一点M，使MAMO，求椭圆离心率的取值范围。解：A(a,0)，设M点的坐标为，由MAMO得化简得 所以本周练习题： 1. 已知椭圆的一个焦点将长轴分为两段，求其离心率。解：由题意，2. 求下列椭圆的焦点坐标与准线方程(1) (2)2x2+y2=8答案：(1)焦点坐标F

13、1(-8,0)，F2(8,0)；准线方程(2)焦点坐标F1(0，-2)，F2(0,2)；准线方程3. 已知椭圆的两条准线方程为y=±9，离心率为，求此椭圆的标准方程。答案：4. 椭圆，上不同三点A(x1，y1)，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证：x1+x2=8证明：由题意，得5. 求椭圆的内接矩形面积的最大值。答案：高二数学周末练习 1. 已知椭圆，P为椭圆上一点，且，则点P的坐标为( )A. (2,3) B. C. D. 2. k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6相交( )A. B. C. D. 3. 若直线y=x+t与椭圆相交于A，B两点，

14、当t变化时，|AB|的最大值为( )A. 2 B C. D. 4. F(c，0)为椭圆的右焦点，F与椭圆上的点的距离最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点距离等于的点是( )A. B. C. (0，±b) D. 不存在5. P为椭圆上的动点，作PDx轴，D是垂足，则PD中点轨迹方程是( )A. B. C. D. 6. 被椭圆内一点P(2,1)平分的弦的斜率为_7. 若直线4x-3y+12=0过椭圆的一个焦点，离心率为，则椭圆方程为_8. F1，F2是椭圆上的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则|PF1|·|PF2|的最大值为_，|PF1|-|PF2|的最大值为_9. M是椭圆上

15、一点，F1，F2，是椭圆的两个个焦点，I是MF1F2的内心，延长MI交F1F2于N，则|MI|：|IN|=_10. 在椭圆中，左顶点，上顶点，右焦点，分别为A，B，F，若ABBF，则椭圆离心为_参考答案：1.B 2.A 3.C 4.C 5.A6. 7. 8. a2,2c 9. 10. 高二数学周末练习 1. 如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是( )(A)10 (B) (C) (D)2. 若椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|F2|=( )(A)m-a (B) (C)m2-a2 (D)3. 设F1和F2为双曲线的两个焦点，

16、点P在双曲线上F1PF2=60°，则F1PF2的面积是( )(A) (B) (C) (D)4. 若曲线是焦点在y轴上的双曲线，则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)5. a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),a+b,a-b为( ) A. (-1，-2,1)(-5，4，-9) B. (-1,2，-1)(5，-4,9) C. (-1，-2,1)(-5，-4,9)D. (-1，-2,1)(5，-4,9)6. A(1,1，-2)，B(1,1，1)，则线段AB长度为( ) A. 1 B. 3/2 C. 2 D 37. 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (

17、B)相交或平行 (C)平行或异面 (D)平行或相交或异面8. 已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若ABF2是正三角形，那么该双曲线的离心率等于_9. 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线的方程为_10. a=(2,-2,-3),b=(2,0,4)，则a与b夹角为_ 答案：1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.D 7.D 高二数学周末练习 1. 下列命题正确的个数是( ) 两条直线可以确定一个平面 一条直线和一个点可以确定一个平面 经过空间三点能确定一个平面或无数个平面 空间三条直线两两平行，且不在同一平面内，则它们

18、可以确定三个平面 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 椭圆 具有( )A. 相同的长、短轴 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的顶点3. 在空间内，下列命题正确的是( ) A. 各边长相等的四边形是菱形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 两对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形4. 已知P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2=30°，PF1F2的面积是( )A. B. C. D. 5. 如图，平面平面=l，A，B，C，直线ABl=D，过A，B，C三点确定平面，则平面、的交线必通过( ) A. 点A B.