格林公式及其应用PPT课件

1、第三节一、格林公式一、格林公式 平面曲线积分与路径无关的平面曲线积分与路径无关的等价条件等价条件格林公式及其应用 第十章 二、二、LD牛顿牛顿- -莱布尼兹公式：莱布尼兹公式： badxxFaFbF)()()(把一元把一元函数在区间端点的值与其导函数在函数在区间端点的值与其导函数在整个整个区间上的积分联系区间上的积分联系起来起来. .xab本节要介绍的本节要介绍的格林公式格林公式则则把二元函数在平把二元函数在平面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来整个区域上的二重积分联系起来.1.1.平面单连通域：平面单连通域：设设D为平面区域为平

2、面区域, , 如果如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于内任一闭曲线所围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连否则称为复连通区域通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD术语：术语：连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL2LD1L2L1LD2.2.边界曲线边界曲线L的正向的正向: 当观察者沿边界行走当观察者沿边界行走时，区域时，区域D总在他的左边总在他的左边.一、格林公式一、格林公式思考：如果思考：如果L 取负向呢取负向呢? ? 把二元函数在平面区域边界上的曲线积分把二元函数在平面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在整个

3、区域上的二重积分联系起来与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来. .取取正正向向。其其中中导导数数，则则上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏在在和和函函数数围围成成，由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线设设闭闭区区域域定定理理LdxdyyPxQQdyPdxDyxQyxPLDDL,)( ),(),( : LD意义意义: :)()(,),(21xyxbxayxD 证明证明: :)(2xy abD)(1xy LdxyxP),(1L2L3L4L 1234),(LLLLdxyxP 31LLPdxPdx)0 ,(42 dxLL上上 abdxxxP)(,(2 badxxxPxxP)(,()(,(12 baxxd

4、xdyyyxP),()()(21 . DdxdyyP莱莱布布尼尼兹兹公公式式）用用牛牛顿顿的的函函数数看看作作（把把 yyxP),(x badxxxP)(,(1 LdyyxQ),(4L 1234),(LLLLdyyxQ 42LLQdyQdy)0 ,(31 dyLL上上 dccddyyyQdyyyQ),(),(21 dcdyyyQyyQ),(),(12 dcyydydxxyxQ),()()(21 . DdxdyxQ莱莱布布尼尼兹兹公公式式）用用牛牛顿顿的的函函数数看看作作（把把 xyxQ),()(2yx )(1yx Dcd1L2L3L4Ly DLdxdyyPdxyxP),(如果如果D既是既是X型

5、又是型又是Y 型，则型，则 DLdxdyxQdyyxQ),(相加即得格林公式相加即得格林公式皆成立，皆成立， DLdxdyyPxQQdyPdx)(L1L2L1D2DD如果如果D不不是是X型或型或Y 型，型， 11)(DLdxdyyPxQQdyPdx 22)(DLdxdyyPxQQdyPdx相加即得相加即得 DLdxdyyPxQQdyPdx)()(21互互相相抵抵消消公公共共边边界界上上的的曲曲线线积积分分、注注意意DD1L如果如果D是复连通域，则是复连通域，则1D2DD2L 11)(DLdxdyyPxQQdyPdx 22)(DLdxdyyPxQQdyPdx相加即得相加即得 DLdxdyyPxQ

6、QdyPdx)()(21互相抵消互相抵消公共边界上的曲线积分公共边界上的曲线积分、注意注意DD（注意此时（注意此时D的边界有两条：外边界和内边界）的边界有两条：外边界和内边界）计算平面区域的面积计算平面区域的面积1QPxy若若，.AD的的面面积积则则左左式式表表示示区区域域, 0, PxQ取取 LxyyxA)dd(21 得得 LyxAd 得得, 0 yPQ 取取 LxyAd 得得, yPxQ 取取格林公式的一个小应用：格林公式的一个小应用： LDQdyPdxdxdyyPxQ)(例例1 1 解：解：yxo LxyyxA)dd(21.12222所围的面积所围的面积计算椭圆计算椭圆 byax. ab

7、 ,sincos: tbytaxL，变到变到从从 20t 2022d)sincos(21ttabtab 原式原式例例2.2. 计算计算解：解：22221xyLab 其其中中 是是椭椭圆圆取取正正向向。,23yxP 原式原式yxoL.2 ab Ldyyxdxyx)34()2(23 DdxdyyPxQ)( Ddxdy2)(4234yxQ 求对坐标的平面闭曲线积分的方法：求对坐标的平面闭曲线积分的方法：(1)利用曲线的方程化为直线积分利用曲线的方程化为直线积分( (一元积分一元积分),),(2)利用格林公式化为平面区域积分利用格林公式化为平面区域积分( (二重积分二重积分).).如果曲线不是封闭呢？

8、如果曲线不是封闭呢？(sin)(cos1)xxLeyy dxeydy 例例3 3 计算计算其中其中L是是A到到O的上半圆的上半圆( (如图如图).).OALL为非闭曲线为非闭曲线, ,直接计算较繁直接计算较繁. .作辅助线作辅助线OA, 在闭曲线在闭曲线L+OA上用格林公式上用格林公式. .a28a 1Dd cos(cos1)xxDeyeyd OALxxdyyedxyye)1cos()sin(解：解：所以所以(sin)(cos1)xxLeyy dxeydy 而而OA: y=0, x从从0到到a. 所以所以0 OAxxdyyedxyye)1cos()sin(OALa OAOAL.8 2a 注意格

9、林公式成立的条件注意格林公式成立的条件:上上具具有有连连续续偏偏导导数数。在在、DQP )2( DLdxdyyPxQQdyPdx)(是是正正向向的的闭闭曲曲线线；积积分分曲曲线线 L )1(解解:xyoLD. 0 22222)(yxxy )0(22 yxyP 原式原式, 22yxyP 令令22yxxQ xQ DdxdyyPxQ)(2) 当当D )0 , 0(时时, lLyxydxxdyyxydxxdy2222022 lLyxydxxdy2 . drrr22222sincos 20L1Drlyxo不不具具有有连连续续偏偏导导数数，在在点点、)0 , 0(QP.上上运运用用格格林林公公式式不不能能

10、在在 D上上运运用用格格林林公公式式，得得在在1D lL取取顺顺时时针针方方向向）的的方方向向（其其中中 l二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件物理背景物理背景. 22的的值值与与三三条条路路径径无无关关前前例例 LdyxxydxD2Lyxo1LBA定义定义：如果对于区域：如果对于区域D内的任意两点内的任意两点A,B以及以及D内从点内从点A到点到点B的任意两条曲线，都有的任意两条曲线，都有 21LLQdyPdxQdyPdx.内内与与路路径径无无关关在在则则称称曲曲线线积积分分DQdyPdxL 研究力场所作的功与路径无关研究力场所作的功与路径无关的条件，如重力场。的条

11、件，如重力场。. . 4. ),( . 3. . 2. 0 . 1),(),(:yPxQDQdyPdxduyxuQdyPdxQdyPdxQdyPdxCDDyxQyxPDLC 内内恒恒有有在在的的全全微微分分，即即是是某某一一函函数数与与路路径径无无关关，有有沿沿任任何何闭闭曲曲线线等等价价：内内以以下下命命题题，则则在在内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在、是是平平面面单单连连通通域域，函函数数设设定定理理证明证明 (1) (2)21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP设设21, LL为为D 内内

12、任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根据条件根据条件(1)证明证明 (2) (3)因曲线积分因曲线积分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP xxxxyxPd),(xyxxP),(同理可证同理可证yu),(yxQ因此有因此有yQxPuddd在在D内取定点内取定点),(00yxA和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA构造函数构造函数 证明证明 (3) (4)设

13、存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd ),( ),( yxQyuyxPxu 则则P, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,xyuyxu 22从而在从而在D内每一点都有内每一点都有.yPxQ yxuyP 2,2xyuxQ 证明证明 (4) (1)设设C为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上上因此在因此在D yPxQ 利用利用格林公式格林公式 , 得得 CyQxPddDDC0 所围区域为所围区域为证毕证毕. DyxyPxQdd)(.)1( 在在该该区区域域内内与与路路径径无无关关则则曲曲线线积积分分，通通域域内内由由

14、定定理理可可知知如如果果在在单单连连注注： LQdyPdxyPxQ不不一一定定与与路路径径无无关关。曲曲线线积积分分在在复复连连通通域域内内成成立立，则则如如果果yPxQ )2(. 22 Lyxydxxdy前例，前例，.d),(d),(),()3(),(),(00yyxQxyxPyxuyxyx 由定理的证明过程可知由定理的证明过程可知yxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或),(yxu0y0 x yyyyxQ0d),( xxxyxP0d),(如果如果积分与路径无关，可选择特殊的积分路径积分与路径无关，可选择特殊的积分路径计算。计算。

15、 yyyyxQ0d),(0证明：证明：在整个在整个xoy面内面内,. 2. 52径径无无关关面面内内与与路路在在整整个个证证明明例例xoydyxxydxL . 22面面内内与与路路径径无无关关在在整整个个 xoydyxxydxL xxQ2 yP ,2),(xyyxP 2),(xyxQ 例例6. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 设设,22yxQyxP则则xQ由定理可知由定理可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使得使得yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(

16、yx)0 ,(x 0yyxyd02.2122yx证证: :yPyx2解：解：.1523 所以曲线积分与路径无关，所以曲线积分与路径无关，xxyxyyP2)2(2 xQ yPxQ 101042)1(dyydxx故原式故原式xyxx2)(42 要点要点:第三节 格林公式及其应用 格林公式成立的条件格林公式成立的条件: :上上具具有有连连续续偏偏导导数数。在在、DQP )2( LQdyPdx是是正正向向的的闭闭曲曲线线；积积分分曲曲线线 L )1( 把二元函数在平面区域边界上的曲线积分把二元函数在平面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来. .LD格林公式格林公式: : DdxdyyPxQ)(意义意义: :如果曲线不闭如果曲线不闭可增加辅助线使其封闭从而运用可增加辅助线使其封闭从而运用格林公式格林公式. .平面区域平面区