数学物理方程学习指导书 第5章行波法与积分变换法

1、第5章 行波法与积分变换法在第4章中，我们较为详细地讨论了分离变量法，它是求解有限域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用.本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法：一是行波法，二是积分变换法.行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用.5.1 一维波动方程的达朗倍尔公式我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解.对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般说来是不

2、行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的.但事情总不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解，而且可以由通解求出特解.本节我们就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到始值问题解的表达式.对于一维波动方程 （5.1）我们作如下的代换（为什么作这样的代换，学完本节后就会明白）： (5.2)利用复合函数微分法则得 (5.3)同理有 (5.4)将(5.3)及(5.4)代入(5.1)得 (5.5)将(5.5)式对积分得 是的任意可微函数）再将此式对积分得 (

3、5.6)其中都是任意二次连续可微函数.(5.6)式就是方程(5.1)的通解.在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数和的具体形式.为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长弦的自由横振动.设弦的初始状态为已知，即已知定解条件 （5.7）将(5.7)中的函数代入(5.6)中，得 在(5.9)两端对积分一次，得由(5.8)与(5.10)解出，得把这里确定出来的和代回到(5.6)中，即得方程(5.1)在条件(5.7)下的解为 （5.11）(5.11)式称为无限长弦自由振动的达郎倍尔（ DAlembert）公式.现在我们来说明达朗倍尔公式的物理意义.由于达朗倍尔公式是由（5.6

4、）式得来的，所以我们只须说明(5.6)式的物理意义.首先，考虑的物理意义.我们来说明这样的函数是代表一个沿轴正方向传播的行波.为了讲清这一点，我们不妨考虑一个特例，假定的图形如图5-1(a)所示.则在时，；在时，其图形如图5-1(b)所示；在时，其图形如图5-1(c)所示；在时，其图形如图5-1(d)所示.这些图形说明，随着时间的推移，的图形以速度向轴正方向移动.所以表示一个以速度沿轴正方向传播的行波.同样道理，就表示一个以速度沿轴负方向传播的行波.达朗倍尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数，基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行

5、波法.从达朗倍尔公式(5.11)还可以看出，解在点的数值仅依赖于轴上区间内的初始条件，而与其他点上的初始条件无关.区间称为点的依赖区间.它是由过点的两条斜率分别为的直线在轴所截得的区间（图5-2（a）.对初始轴上的一个区间，过作斜率为的直线，过作斜率为的直线，它们和区一起构成一个三角形区域（图5-2（b），此三角形区域中任一点的依赖区间都落在区间的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间x1,x2的决定区域.在区间上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定始值问题的解.图 5-2从上面的讨论中，我们可以看到在平面上斜率为的直线对波

6、动方程的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为一维波动方程的特征线，波动实际上是沿特征线方向传播的，有些书上又将行波法称为特征线法.5.2 三维波动方程的泊松公式上节我们已经讨论了一维波动方程的始值问题，获得了达朗倍尔公式.只研究一维波动方程还不能满足工程技术上的要求，例如在研究交变电磁场时就要讨论三维波动方程，本节我们就来考虑在三维无限空间中的波动问题.即求解下列定解问题这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用5.1中所得的通解公式.下面先考虑一个特例.5.2.1 球对称三维波动方程的通解如果将波函数用空间球坐标来表示，所谓球对称就是指与都无关，在球坐标系中，波动方

7、程（5.12）为当不依赖于时，这个方程可简化为或 但 所以最后得到方程这是关于的一维波动方程，其通解为,或 从5.1中所述的关于通解公式(5.6)的物理意义可知，函数是一个以速度沿球的半径增加的方向向外传播的波与一个以同样速度自外沿减小的方向向内传播的波的叠加，而且这两个波都是沿着球面=常数传播的.5.2.2 三维波动方程的泊松公式现在我们来考虑一般的情况，即要求问题(5.12)，(5.13)，(5.14)的解，从上面对球对称情况的讨论使我们产生这样一个想法：既然在球对称的情况，函数满足一维波动方程，可以求出通解，那末在不是球对称的情况能否设法把方程也化成可以求通解的形式？由于在球对称时波函数

8、只是与的函数，在非球对称是不能写成与的函数，而是的函数，所以对非球对称情况，不可能满足一维波动方程，但是，如果我们不去考虑波函数本身，而是考虑在半径为的球面上的平均值，则这个平均值就只与，有关了.这就启发我们先引入一个函数，它是函数在以点为中心、以为半径球面上的平均值，即 （5.15）其中是以为中心的单位球面，是单位球面上的面积元素，在球面坐标系中从(5.15)及的连续性可知，当时此处)表示函数在点及时刻的值，将记为则有下面来推导所满足的微分方程，对方程(5.12)的两端在所围成的体积内积分，并应用奥-高公式可得 (5.16)其中是的外法同矢量.(5.16)式左端的积分也采用球面坐标并交换微分

9、运算和积分运算的次序，得代回(5.16)中得在此式两端对微分一次，并利用变量上限定积分对上限求导数的规则，得或 但 故得这是一个关于的一维波动方程，它的通解为 （5.17）其中是两个二次连续可微的任意函数.下面的任务是由(5.17)确定原定解问题的解.首先，在(5.17)中令，得即 等式两端微分一次得 （5.18）其次，在(5.17)两端对求偏导数： （5.19） （5.20）(5.19)式乘以后再与(5.20)式相加，得令，则有当时，得但由(5.19)式令，得利用(5.18)得即 综合上述，得到问题（5.12），(5.13)，(5.14) 的解为 （5.21）(5.21)式称为三维波动方程的

10、泊松方式.其中函数中的变量应为此处为了书写简章，没有把这些变量写出来，请读者注意.5.2.3 泊松公式的物理意义下面我们来说明解(5.21)的物理意义.从(3.21)式可以看出，为求出定解问题(3.12)，(3.13)，(3.14)的解在(x,y,z,t)处的值，只需要以M(x,y,z)为球心、以at为半径作为球面，然后将初始扰动代入(3.21)式进行积分，因为积分只在球面上进行，所以只有与M相距为at的点上的初始扰动能够影响u(x,y,z,t)的值.由于球面上的点到球心M的距离为at，t表示时间，这就表明扰动是以速度a传播的，为了明确起见，设初始扰动只限于区域T0，任取一点M，它与T0的最小

11、距离为d，最大距离为D（图3-3），由泊松公式(3.21)可知，当，即时，u(x,y,z,t)=0，这表明扰动的“前锋”还未到达；当，即时，u(x,y,z,t)0，这表明扰动已经到达；当，即时，u(x,y,z,t)=0，这表明扰动的“阵尾”已经过去了.由于在点初始扰动是向各方面传播的，在时间t它的影响是在以为中心、at为半径的一个球面上，因此解(5.21)称为球面波.从(5.21)我们也可以得到二维波动方程始值问题的解.事实上如果u与z无关，则=0，这时三维波动方程的始值问题就变成二维波动方程的始值问题： （5.22）要想从泊松公式(3.21)得到问题(3.22)解的表达式，就应将(3.21)

12、中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分，下面以为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分： （5.23）其中S1，S2分别表示球面的上半球面与下半球面，在上半球面S1上外法向矢量的方向余弦在下半球面S2上外法向矢量的方向余弦其中为法矢量与z轴正向的夹角.将(3.23)右端两个曲面积分化成重积分得同理有 将这两个等式代入(3.21)，即得问题(3.22)的解为 （5.24）从(5.24)可以看出，要计算这个解在 (x,y,t)处的值，只要以M(x,y)为中心、以at为半径作圆域，然后将初始扰动代入（5.24）进行积分，为清楚起见，设初始扰动仍限于区域T0（参考图5-3），当时，当时，由于圆域包

13、含了区域T0，所以仍不为零，这种现象称为有后效.这一点与球面波不同，球面波是无后效的，即波传播过去了就不留痕迹.平面上以点为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行于z轴的直圆柱面，所以在过点平行于z轴的无限长的直线上的初始扰动，在时间t后的影响是在以该直线为轴、at为半径的圆柱面内，因此解(5.24)称为柱面波.5.3 积分变换法举例我们都知道，傅氏变换与拉氏变换可以用来解常微分方程，通过取积分变换可将未知函数的常微分方程化成象函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的目的.基于这一事实，我们自然会想到积分变换也能用于解偏微分方程，在偏微分方程两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自

14、变量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方程.如果原来的偏微分方程中只包含有两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程.下面通过例题来说明用积分变换法解定解问题的一般步骤.例1 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为的热源，杆的初始温度为，试求时杆上温度的分布规律.解 这个问题可归结为求解下列定解问题其中由于方程(3.25)是非齐次的，且求解的区域又是无界的，因此用分离变量法来解将导致比较复杂的运算.现在我们用傅氏变换来解.用记号分别表示函数关于变量的傅氏变换，即对方程(5.25)的两端取关于的傅氏变换，根据傅氏变换的微分性质，得到这是一个含参量的常微分方程，为了

15、导出方程(5.27)的定解条件，对条件(5.26)式的两端也取傅氏变换，并且以表示的傅氏变换，得 方程(5.27)是一阶线性常微分方程，它满足初始条件(5.28)的解为 （5.29）为了求出原定解问题(5.25)，(5.26)的解还需要对取傅氏逆变换，由傅氏变换表可查得再根据傅氏变换的卷积性质得 （5.30）这样就得到原定解问题的解.通过这个例子可以看出，用积分变换法解定解问题的过程大体为：一、根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换.然后对方程的两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程.二、对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件.三、解

16、所得的常微分方程，求得原定解问题解的变换式（即象函数）.四、对所得的变换式取逆变换，得到原定解问题的解.例2 一条半无限长的杆，端点温度变化情况为已知，杆的初始温度为0，求杆上温度的分布规律.解 这个问题可归结为求解下列定解问题这个问题显然不能用傅氏变换来解了，因为x,t的变化范围都是（0,）.下面我们用拉氏变换来解.从x,t的变化范围来看，对x与t都能取拉氏变换，但由于在x=0处未给出的值，故不能对x取拉氏变换，面对t来说，由于方程(5.31)中只出现关于t的一阶偏导数，只要知道当t=0时u的值就够了，这个值已由(5.32)给出，故我们采用关于t的拉氏变换.用U(x,p)，F(p)分别表示函

17、数u(x,t),f(t)关于t的拉氏变换，即 首先，对方程(5.31)的两端取拉氏变换，并利用条件(5.32)则得到新方程再对条件(5.33)取同样变换，得方程(5.34)是关于U(x,p)的线性二阶常系数的常微分方程，它的通解为 （5.36）由于当时，u(x,t)应该有界，所以U(x,p)也应该有界，故C2=0.再由条件(5.35)得C1=F(p)，从而得 为了求得原定解问题的解u(x,t),需要对U(x,p)求拉氏逆变换，由拉氏变换表查得再根据拉氏变换的微分性质可得最后由拉氏变换的卷积性质得 (5.37)这便是所要求的解.通过上面两个例子我们对用积分变换法解定解问题的步骤已有所了解，掌握这

18、些步骤并不困难，对初学者来说，使用这个方法时主要困难在于：（1）如何选取恰当的积分变换，对这个问题应从两方面来考虑，首先要注意自变量的变化范围，傅氏变换要求作变换的自变量在内变化*） 如果采用正弦或余弦傅氏变换，自变量的变化范围就是（0.关于用正弦或余弦傅氏变换解数学物理方程，读者可参阅C.J.特兰台尔尔著数学物理中的积分变换（潘德惠译，高等教育出版社出版）第三章.，拉氏变换要求作变换的自变量在内变化*）还有一种双边的拉氏变换，它的积分区是.本书所讲的拉氏变换都限于单边的.其次要注意定解条件的形式，根据拉氏变换的微分性质可以看出，要对某自变量取拉氏变换，必须在定解条件中给出当该自变量等于零时的函数值及有关导数值.（2）定解条件中哪些需要取变换，哪些不需要取变换.这个问题容易解决，凡是对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换，使它转化为新方程的定解条件.（3）如何顺利地求出逆变换，解决这个问题主要是依靠积分变换表（见附录B），以及运用积分变换的有关性质，有时还要用到计算反演积分的留数定理