概率论与数理统计课后答案北邮版

1、1 习题二 1.将一硬币抛掷三次， 以X表示在三次中出现正面的次数， 以Y表示三次中出现正面次数与 出 现 反 面 次 数 之 差 的 绝 对 值 .试 写 出X和Y的 联 合 分 布 律. 【解】X和Y的联合分布律如表: X 0 1 2 3 1 0 C3 八口=3 2 2 2 8 _2 1 1 1 C3 / x x 3/ 8 0 3 1 8 0 0 1111 X X = 2 2 2 8 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只 数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: 0 1 2 3 0 0 0 C2gC2

2、 _ 3 C； 一35 C3 敦2 - C； 35 1 0 c；gc；q2 _ 6 C； 一35 c3gC12g2 12 C； 35 c；q； _ 2 C； 35 2 P(0黑,2红,2白)= C2 C2 / c4 = 35 c3q2 政6 C； 35 一2 一 2 9头=皂 C； 35 0 3. 设二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为 sin xsin y, 0 壬 x _ ,0 y _ F （x, y） * 2 2 0, 其他. 求二维随机变量（X, Y）在长方形域日0 x y卜内的概率. . 4昭，3, 一 . 冗 冗 冗 【解】如图P0X苴,Y苴公式(3.2) 4 6 3 F( -

3、, 3(M, ?-F(0,丹-F(0,-) 4 3 4 6 3 62 兀 兀 兀 兀 兀 兀 =sin sin -sin sin - sin 0 sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 = !(、.3 -1). 4 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4. 设随机变量 f (x, y)= Ae e3x*y), x0,yA0, 其他. 0, 求：(1) (2) (3) 常数A; 随机变量(X, Y)的分布函数； P0 X1 , 0寸2). 二 二 二 二 (3x -4y) A 由 f(x,y)dxdy= Ae dxdy = =1 0 0 12 得 (2) A=12 由定义，有 y x

4、 F(x,y) f(u,v)dudv y y12e*3u 4v)dudv 0, (3) P0 爻 X ： 1,0 UY : 2) (1-ex)(1-eiy) y 0,x 0, 0, 其他 =P0 X 1,0 ：Y 2) 1 2 , 、 c - =o o 12e 4y)dxdy = (1-e侦)(1-e) 0.9499. 5.设随机变量(X, Y)的概率密度为 k(6-x-y), 0 x ：2,2 ： y 4, 0, 其他. (1) (2) (3) (4) 确定常数k; 求 P Xv 1, Yv 3); 求 PX1.5); 求 PX+YV 4). 【解】(1)由性质有 (X, Y)的分布密度 3

5、 4 2 4 I f(x, y)dxdy ! ! k(6 - x - y)dydx =8k =1, , 1 故 R=- 8 1 3 (2) PX : 1,Y ：3=匕二f(x,y)dydx 1 31 ,小 、 3 =-o 2 次6 - x-y)dydx 8 8 PX 1.5 = U f(x,y)dxdy如图 a yf(x, y)dxdy x :：1,5 D1 1.5 41 27 = dx (6 x-y)dy 0 2 8 32 PX+YM4= ff f(x,y)dxdy如图 b = f (x, y)dxdy 求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） PYX. 题6图 【解】（1）因X在（0, 0

6、.2）上服从均匀分布，所以 X的密度函数为 1 ,0 x 0.2, fX(x)= 0.2 Y的密度函数为 fY (y) BL 0, y 0, 其他. X Y4 D2 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量， X在（0, 0.2）上服从均匀分布, y, 5 0, 其他.6 5e fY(y)= ， 所以 f (x,y X Y独立 fx x(f y () (2) P(Y 壬 X) =f (x, y)dxdy如图 Jf25ydxdy yD 0.2 x 0.2 =o dx o 25e ydy = (-5e 5)dx =e-1 0.3679. 7.设二维随机变量(X, Y)的联合分布函数为 C/A

7、_4x、“ _2y、 (1e e )(1e e ), = =? ? 0, 求(X, Y)的联合分布密度 【 解】 f (x, y)= r2F(x, y) :x :y 如4E) 0, x 0, y 0, 其他. 8.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 f (x, y) 4.8y(2x), 0 壬x&1,0 土 y x, 0, 其他. 求边缘概率密度. 【解】fx(x) = J-f (x, y)dy -QU f x r 2 4.8y(2-x)dy2.4x2(2-x), =4 0 = I。， 9 fY(yW- f (x, y) dx 。三x%1, 其他. , 1 4.8y(2 -x)dx

8、 = y 0, 2.4y(3-4y y2), 0y1, 0, 其他. 列y , 其他. 5e列 =0.2 0, 25e列 , 0 ： x ： 0.2fly 0, 其他. x 0, y 0, F (x, y) 7 e, 0：x：y, y)= 0, 求边缘概率密度. 【解】fx(x) = j f (x, y)dy r 土 =x e%y = 0, fY(y) = J-f (x, y)dx=e%x = 0, ye, y 0, 0, 其他. 10.设二维随机变量（X, Y）的概率密度为 2 cx y, f (x, y)= 0, （1） 试确定常数c; （2） 求边缘概率密度. bo bo 【解】（1）

9、顼 Lcf（x, y）dxdy如图 f f （x,y）dxdy f-f- D 1 1 2 4 =j/xJ/Cx ydy =节=1. 21 c . 4 fx(x) = J-f(x, y)dy题8图 Y）的概率密度为 题9图 9.设二维随机变量（X, 题10图 f (x, 其他. -x e 0, x 0, 其他. x y 1, 其他. 8 1 21 o 21 、3xydy二有 0, 0, bo fY(y) = i-f(x, y)dx 11.设随机变量(X, Y)的概率密度为 1, y ： x, 0 ： x ： 1, s y)“0, 其他. 求条件概率密度fYlx (yl x), fx Y (x I

10、 y). 【解】fx(x) = f (x, y)dy x 1dy =2x, 一 二 0, 所以 1 f(x,y) , y*：1, - =2x 【0,其他. 题11图 fy(y)= ,1 f 1dx = 1+y, J 1 f(x,y)dx = 1dx=1 y, _oQ y 0, 其他. 2 4、 x (1-x ), 一1 三 x 1, 其他. 3 0, 2lx2ydx 7 5 0, 其他. 0 ： x 1, 其他. fy|x(y |x) fx(x) 9 12.袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X,最大 的号码为Y. (1) 求X与Y的联合概率分布

11、； (2) X与Y是否相互独立？ 【解】(1) X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 PX = x 1 1 1 3 C5 10 2 2 3 C5 10 3 3 3 C3 10 6 10 2 0 1 1 T = C5 10 2 2 TT = C5 10 旦 10 3 0 0 1 1 _2 _ C5 10 1 10 PY = y) 1 10 里 10 _6_ 10 (2)因 P(X =1中Y =3 =乂上=-。1 = PX =1,Y = 3 10 10 100 10 故X与Y不独立 13.设二维随机变量(X, Y)的联合分布律为 2 5 8 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05

12、0.12 0.03 fx* y)= f(x, y) fy(y) 1 1-y 0, y ： x ： 1, -y x ：1, 其他. (1) 求关于X和关于Y的边缘分布; (2) X与Y是否相互独立？ 10 (2)因 PX =2pY =0.4 =0.2x0.8=0.16#0.15 = P(X =2,Y = 0.4), 故X与Y不独立. 14. 设X和Y是两个相互独立的随机变量， X在(0, 1)上服从均匀分布， Y的概率密度为 1 _y/2 八 3 E ,第. (1) 求X和Y的联合概率密度； (2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率. 方程a2 +2Xa +Y = 0

13、有实根的条件是 P X2 _ Y = f (x, y)dxdy x2 _y 1 x 1 _y/2 =dx - e dy 0 - 0 2 =1 -、云、(1)- 巾(0) = 0.1445. 15. 设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计) ，并设X和Y相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为 f(x)=罕，x 1000, l 1, 0：x：1, 【解】(1)因fX(x)0,其他； fY(y = 2 -e , y 1, 0, 其他. 1 我/2 故 f(x,y)X,Y独立 fX(x)gfY(y )=2e 0, 0 ： x ： 1,y . 0, 其他. 故 从而方程有实根的概率为: 一

14、2 _ * =(2X) -4Y_0 X2幺， 题14图 11 0, 其他.12 求Z=X/Y的概率密度. X 【解】如图,Z的分布函数FZ(z) = PZ壬z = P4z Y (1)当 zvo时，FZ(z)=0 (2) 当 0z1 时，(这时当 x=1000 时,y= 11 )(如图 a) z 106 : yz 106 FZ (z) = dxdy = IO3 dy 103 dx xX y 10 x y 106 : zy 106 FZ = dxdy = dy 103 dx 工 x y 10 10 x y z 1 1, zA, 2z 即 fZ(z) = ，, 0z0 | YX; (2) 设 M=m

15、axX, Y,求 PM 0.【解】因(X, Y)的联合概率密度为 (1) PY 0|Y X=PYPY ,Y ,Y XX PY X .f(x,y)d。 y 0 y x .f(x,y)d。 y x 冗 R 1 d 2 rdr 或 P 放2 5 it R 4 d id 4 0PU =i =Pmin( X,Y) =i i =0, 1, 2, 3 f (x,y) = TR2 x2 y2 R2, 其他. 12 rdr TR2 题20图 16 3/8 3 1/2 一4 P(M 0 =Pmax( X,Y) . 0 = 1 - Pmax( X ,Y)三 0 1 3 = 1 PX 0,Y 0 = 1 f(x,y)

16、d；=1 x. 四 4 4 y. 0 21,设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1,x=e2所围成，二维随机变量(X, Y) 在区域D上服从均匀分布，求(X, Y)关于X的边缘概率密度在 x=2处的值为多少？ 【解】区域D的面积为 80=( dx = lnx： =2. (X,Y)的联合密度函数为 1 x 1 f(x,y)= 2 0, (X, Y)关于X的边缘密度函数为 22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量( X, Y)联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处 . y1 y2 y3 PX=xi=pi x1 x2 1/8 1/8

17、 PY=yj=Pj 1/6 1 2 【解】因 PY =yj =Pj = .： PX =xi,Y =yj, i =1 故 PY = y1 = PX = x1,Y = y1 PX = x2,Y = y* _ .111 从而 PX = x1,Y = y1 6 8 24 而X与Y独立，故PX =为丫 = 乂 =PX =为,丫=必, 一 一 1 从而 PX = Xi = PX = Xi,Y = y=. 其他. fX (x)= 1/x 1 0萨= 1 2x 0, 1三x三e2, 其他. 题21图 17 6 24 s 1 1 1 即：P X = x / . 24 6 4 又 PX =加=PX =为,丫 =山

18、 PX =X1，Y=y2 PX =入,丫 =)3, 5 1 1 1 即 - P(X f,Y = y3, 4 24 8 1 从而 P( X =x1,Y = y3 12 1 3 问理 PY = y2) , PX = x2,Y = y2)= 2 8 又 PY=yj=1,故 pY = y3=1_-_-=J. j 4 j 6 2 3 3 同理 P(X =x2=. 4 从而 r 、 ， 、 r 、 1 1 1 PX =x2,Y =y3 =PY = y3 - PX =x,Y =y3 3 12 4 故 y1 V2 y3 PX=X = P x 1 24 - 8 1 12 1 4 x2 - 8 3 8 - 4 3

19、 4 PY = yj=pj - 6 - 2 - 3 1 23.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 N0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为p （0p1 ），且中途下车与否相互独立，以 Y表示在中途下车的人数，求： （1）在发 车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（2）二维随机变量（X, Y）的概 率分布. 【解】 PY =m|X = n =Cmpm(1 p)n4m,0 竺mn,n = 0,1,2. (2) PX =n,Y =m =PX =nFY =m|X =n18 m m n _m e n = Cnp (1 p) ，n m n,n = 0,1,2. 一 、一 一 . r i

20、 2i 十、 . . 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为 X0 3 07 ，而丫的概率笞度为f(y)， 求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F (y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y的分布函数为 G(u) =PX Y u =0.3PX Y 壬 u|X =1 0.7P(X Y 土 u|X =2 = 0.3PY u 1| X =1 0.7PY 三 u 2| X = 2 由于X和Y独立，可见 G(u) =0.3PY 立 u -1 0.7PY u 2 = 0.3F(u -1) 0.7F(u -2). 由此，得U的概率密度为 g(u) =G (u) =0.3F (

21、u -1) 0.7F (u -2) = 0.3f(u -1) 0.7f(u -2). 25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Yv 1. 解：因为随即变量服从0, 3上的均匀分布，于是有 , 0Wx三3,0壬 y3, f (x, y) = 9 0, x ：0,y ： 0,x 3,y 3. , , 、 、 1 Pmax X,Y三 1 9 26.设二维随机变量(X, Y)的概率分布为 -1 0 1 丫 -1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且 X的数学期望 E(X)= -0.2,PY(X0=0.5,记Z=X+

22、Y.求:因为X, 1 f(x)= 3, 0, 丫相互独立，所以 x 0,x 3; 1 f(y)=3, r 急 0, y 0,y 3. 推得 19 (1) a,b,c 的值； (2) Z的概率分布； (3) PX=Z. 解 (1)由概率分布的性质知， a+b+c +0.6=1 由 E(X) = 0.2,可得 a c - -0.1. a b =0.3. 解以上关于a, b, c的三个方程得 a =0.2,b =0.1,c = 0.1 . Z的可能取值为-2, 1, 0, 1, 2, PZ - -2 =PX - -1,Y - -1 =0.2 , PZ =1 =PX - -1,Y =0 PX =0,Y

23、 - -1 =0.1 , PZ =0 =PX - -1,Y =1 PX =0,Y =0 PX =1,Y - -1 =0.3 , PZ =1 =PX =1,Y =0 PX =0,Y =1 =0.3, PZ =2 = PX =1,Y =1 =0.1 , 即Z的概率分布为 Z -2 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 PX =Z =PY =0 =0.1 b 0.2 =0.1 0.1 0.2 =0.4 . FX (z) =FY(Z),则 FZ (z) =PZ z=PX z, Y z=Px 28.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为 , 、1 PX=i , i =1,0,1, 3

24、即 a+b+c = 0.4. 再由 PY 苴0 X0= PX 0,Y 壬 0 P X 0 a b 0.1 - =0.5 , a b 0.5 27.设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为 F(x),求Z=maxX,Y的分布函数 解：因为X,Y独立同分布，所以 z - PY z= :F (z) 1 2. 20 . . 1 一 (1) 求 PZ |X =0; 2 (2) 求Z的概率密度fz(z) 题(1)可用条件概率的公式求解.题(2)可先求Z的分布函数，再求导得密度函数 , 1 1|X=0=生 2 P X = 0 , 1 PX =0,Y 顶 P X = 0 (2) FZ(z) =PZ z = P(X+Y z =P X Y z X= 1 F X Y ,z XP P X Y壬，z X= =P Y _ z 1, X = -1 PY _