第4章 频率法

1、14.1 频率特性频率特性4.2 典型环节的伯德图典型环节的伯德图4.6 相对稳定性分析相对稳定性分析4.3 控制系统开环频率特性的伯德图控制系统开环频率特性的伯德图4.4 由伯德图确定传递函数由伯德图确定传递函数4.5 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据24.1 频率特性频率特性4.1.1 频率特性的定义频率特性的定义4.1.2 频率响应频率响应4.1.3 频率特性的几何表示频率特性的几何表示3 4.1.1 4.1.1 频率特性的定义频率特性的定义 定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比，定义为系统的频率输入量的傅氏变换之比，定义为系统

2、的频率特性，即特性，即 从数学意义上，频率特性与传递函数存在下从数学意义上，频率特性与传递函数存在下列简单的关系：列简单的关系： jssGjG)()()()()(jRjYjG41( )1G sTs11)(TjjG频率特性是复变函数，频率特性是复变函数， 频率频率w是实变量。是实变量。例例5 频率特性一般是复变函数，所以可以表示为频率特性一般是复变函数，所以可以表示为指数形式指数形式 幅角形式幅角形式 记记 称为幅频特性，称为幅频特性， 称为相频特性。频率特性也可以表示为称为相频特性。频率特性也可以表示为 代数形式代数形式)()()(jGjejGjG)()()(jGjGjG)()(jGA)()(

3、jG)(Im)(Re)(jGjjGjG6记记 称为实频特性；称为实频特性； 称为虚频特性。称为虚频特性。 显然，代数形式和指数形式（或幅角形式）显然，代数形式和指数形式（或幅角形式）存在下列关系存在下列关系 )(Re)(jGU)(Im)(jGV)()()(22VUA)()()(1UVtg 4.4.1.2 1.2 频率响应频率响应线性定常系统的频率响应是同频率的正弦信号，线性定常系统的频率响应是同频率的正弦信号，其幅值为频率特性的幅值与输入信号幅值的乘积，其幅值为频率特性的幅值与输入信号幅值的乘积，相位为频率特性的相角与正弦输入信号的相角之相位为频率特性的相角与正弦输入信号的相角之和和 。频率响

4、应：正弦输入信号作用下线性定常系统的稳态频率响应：正弦输入信号作用下线性定常系统的稳态响应称为系统的频率响应。响应称为系统的频率响应。( )() sin()ssytR G jwwtG j利用频率特性的这一性质，可以求取系统在正弦输入下利用频率特性的这一性质，可以求取系统在正弦输入下的信号的稳态解，例如，可以用频率特性求取线性系统的信号的稳态解，例如，可以用频率特性求取线性系统在正弦输入作用下的稳态误差。在正弦输入作用下的稳态误差。( )() sin()sseeetRjwwtjw88例：已知单位反馈系统的开环传递函数为例：已知单位反馈系统的开环传递函数为 ，当，当 时，求系统的稳态误差。时，求系

5、统的稳态误差。 ( )() sin()sseeetKjtjTjTjje1)(221)(TTjeTtgje12)(tTTRtTTRTtgtTTRtesssin1cos1)2sin(1)(2222221221( )G sTs( )sin()r tRwt94.1.3 频率特性的几何表示频率特性的几何表示 频率法是一种图解方法，主要有奈奎斯特频率法是一种图解方法，主要有奈奎斯特( (NyquistNyquist) )图（简称奈氏图）、伯德图（简称奈氏图）、伯德(Bode)(Bode)图图和尼柯尔斯和尼柯尔斯( (Nichols)Nichols)图（简称尼氏图）等频图（简称尼氏图）等频率特性图。率特性图

6、。1. 1. 奈氏图（奈氏图（Nyquist Nyquist 图）图） 奈氏图是在极坐标系中，以奈氏图是在极坐标系中，以 为参变量，为参变量， 为极径，为极径， 为极角的频率特性图，也称为幅为极角的频率特性图，也称为幅相频率特性图。相频率特性图。)(jG)(jG)(Im)(Re)(jGjjGjG( )Re ()UG jw( )Im ()VG jw实频特性实频特性 虚频特性虚频特性 )(Re)(jGU)(Im)(jGV为参变量，为参变量，为横坐标，为横坐标， 为纵坐标的频率特性图。为纵坐标的频率特性图。例如，惯性环节例如，惯性环节TjjG11)(的奈氏图如图所示。的奈氏图如图所示。 2)(11)

7、(TjG)()(1TtgjG2)(11)(TU2)(1)(TTV 2211( )( )24UV或者等价地或者等价地，奈氏图是在直角坐标系奈氏图是在直角坐标系中，以11 2 2 伯德图伯德图 （BodeBode图，图，由两幅图组成由两幅图组成） )(lg20jG)(jG。另一幅是对数相频率特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是相角幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 )(lg20jG)(jG)(lg20jG)(jG一幅是对数幅频特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是幅值的分贝值，即。124.2 4.2 典型环节的伯德图典型环节的伯德图 1 1） 放大环节放大环节 KjG)( 2 2） 微分、积分环节微分、

8、积分环节 ljjG)(1)(,.)2, 1(llg20)(lg20)(ljGL2)()(ljG 13 3 3） 惯性环节惯性环节 TjjG11)(221lg20)(lg20)(TjGLTtgjG1)()(14TjjG 1)(221lg20)(lg20)(TjGLTtgjG1)()(4 4） 一阶微分环节一阶微分环节 151)(2)(1)(22jTjTjG2222)2()1 (lg20)(TTL22112)(TTtg5 5） 振荡环节振荡环节16 6 6） 滞后环节滞后环节 jejG)(01lg20)(lg20)(jGL)()(jG1ImjRe01Bode图图 0)( )(L0Nyquist 图

9、图 174.3 4.3 控制系统开环频率特性的伯德图控制系统开环频率特性的伯德图 控制系统的开环频率特性的伯德图是频域分析、设计系统控制系统的开环频率特性的伯德图是频域分析、设计系统的基础。的基础。 根据典型环节的伯德图，容易绘制系统的开环频率特性的根据典型环节的伯德图，容易绘制系统的开环频率特性的伯德图。伯德图。 开环频率特性的对数幅频特性、相频特性分别为其组成开环频率特性的对数幅频特性、相频特性分别为其组成环节的幅频特性、相频特性之和。环节的幅频特性、相频特性之和。在伯德图上就是各个环节的对数幅频特性、相频特性曲在伯德图上就是各个环节的对数幅频特性、相频特性曲线的叠加。因此，可以先画出各个

10、环节的对数幅频特性线的叠加。因此，可以先画出各个环节的对数幅频特性和相频特性曲线，然后进行叠加，即可得到开环频率特和相频特性曲线，然后进行叠加，即可得到开环频率特性的对数幅频特性、相频特性曲线。性的对数幅频特性、相频特性曲线。 18 对数幅频特性曲线常用其渐近线表示，对数幅频特性曲线常用其渐近线表示，对数幅频特性曲线渐近线可直接画出。对数幅频特性曲线渐近线可直接画出。 开环对数幅频特性在第一个转折频率以开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的部分称为低频段。对数幅频特性在前的部分称为低频段。对数幅频特性在和和0 0db/decdb/dec交点处的频率附近的频段称为交点处的频率附近的频段称为中频段

11、，交点频率称为开环截止频率，中频段，交点频率称为开环截止频率，或者穿越频率。在最后一个转折频率以或者穿越频率。在最后一个转折频率以后的频段称为高频段。后的频段称为高频段。 19绘制伯德图的一般步骤：绘制伯德图的一般步骤：1 1）将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转）将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率。折频率。2 2）绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上。）绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上。3 3）确定低频段。）确定低频段。4 4）绘制开环对数幅频特性的渐近线）绘制开环对数幅频特性的渐近线5)5)在转折频率处进行适当修正，可以得到较为准确的对数

12、幅在转折频率处进行适当修正，可以得到较为准确的对数幅频特性。频特性。6 6）绘制相频特性曲线。）绘制相频特性曲线。20 确定低频段的一般方法确定低频段的一般方法若系统的开环传递函数有若系统的开环传递函数有 个积分环节，个积分环节，则称为则称为 型系统。型系统。 型系统的对数幅频特型系统的对数幅频特性的低频段近似为性的低频段近似为对于对于0 0型系统，作一条高度为的型系统，作一条高度为的0 0db/decdb/dec的直线的直线（水平线）；对于（水平线）；对于1 1型系统型系统, ,过过=1,L(1)=20lgK=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为这一点，作一条斜率为-20-20db/

13、decdb/dec的直线；对于的直线；对于2 2型系统，过型系统，过,L(1)=20lgK,L(1)=20lgK这一点，作一条斜这一点，作一条斜率为率为-40-40db/decdb/dec的直线。上面作出的直线上在第的直线。上面作出的直线上在第一个转折频率之前的那一部分即为对数幅频特一个转折频率之前的那一部分即为对数幅频特性的低频段。性的低频段。 vvvvKLlg20)(21 例例1 1 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 解解 1 1）将传递函数写成标准形式）将传递函数写成标准形式)1004)(2()5(2000)()(2ssssssHsG)10(102 . 021)(211 ()51

14、1 (50)()(2ssssssHsG22 系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为则开环传递系数为则开环传递系数为K=50K=50，转折频率为，转折频率为 ， 2 2）绘制对数坐标，并将各个转折频率标注）绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上。在坐标轴上。 )10(102 . 021)(211 ()511 (50)()(2jjjjjjHjG215210323 3 3）确定低频段：）确定低频段： 因为系统是因为系统是1 1型系统，型系统，K=50K=50，20lgK=20lg50=34db,20lgK=20lg50=34db,所以所以, ,可以过可以过=1, =1, 这一点，作一条这一点

15、，作一条- -2020db/decdb/dec的斜线，得到对数幅频特性低频段的斜线，得到对数幅频特性低频段 。 4 4）绘制开环对数幅频特性的渐近线：将低频段延）绘制开环对数幅频特性的渐近线：将低频段延伸到第一个转折频率伸到第一个转折频率 。dbL34)(2124 因为第一个转折频率是惯性环节的转折因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率，所以，开环对数幅频特性的渐近频率，所以，开环对数幅频特性的渐近线下降线下降2020db/decdb/dec，再延伸到第二个转折，再延伸到第二个转折频率，因为是一阶微分环节，所以增加频率，因为是一阶微分环节，所以增加2020db/decdb/dec，再延伸到第三

16、个转折频率，再延伸到第三个转折频率，因为是振荡环节，所以减少因为是振荡环节，所以减少4040db/decdb/dec。 5 5）绘制相频特性：绘制各个环节的对）绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。数相频特性曲线，然后逐点叠加。 25 6)6)在转折频率处进行适当修正，可以得到较在转折频率处进行适当修正，可以得到较为准确的对数幅频特性：对于惯性环节，在转为准确的对数幅频特性：对于惯性环节，在转折频率处减少折频率处减少3dB3dB。对于一阶微分环节，在转。对于一阶微分环节，在转折频率处增加折频率处增加3 3分贝。对于振荡环节，转折频分贝。对于振荡环节，转折频率率 处的误差值

17、为处的误差值为103)(82 . 021lg2021lg20)(3dbwL26 求出最大误差值为求出最大误差值为 根据这两个值，对渐近线进行修正，如图中实根据这两个值，对渐近线进行修正，如图中实线所示。线所示。6 . 9212maxn)( 1 . 8121lg202maxdbL27 Frequency (rad/sec)Phase (deg); Magnitude (dB)Bode Diagrams-100-50050100 10-210-1100101102-300-200-1000 28 例例2 2 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 22)10)(1 . 0()2 . 0(1000

18、)()(sssssHsG-200-150-100-50050100150Magnitude (dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)10-210-1100101102103-360-315-270-225-180Phase (deg)29500(2)( )( )(10)(50)sG s H sss例例3 3 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 30 例例4 4 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 31 1. 1. 最小与非最小相位系统的概念最小与非最小相位系统的概念 如果系统的传递函数在右半如果系统的传递函数在右半S S平面上没有平面上没有极点和零点，

19、而且不包含滞后环节，则称为最极点和零点，而且不包含滞后环节，则称为最小相位系统，否则，称为非最小相位系统。小相位系统，否则，称为非最小相位系统。 只包含比例、积分、微分、惯性、振荡、只包含比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶微分和二阶微分环节的系统是最小相位系一阶微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统。而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是统。而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最小相位系统。非最小相位系统。4.4 4.4 由伯德图确定传递函数由伯德图确定传递函数322. 2. 由伯德图确定传递函数由伯德图确定传递函数 对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单对于最小相位系统，幅频特性和相频特性

20、是单值对应的，因此，根据系统的对数幅频特性就可值对应的，因此，根据系统的对数幅频特性就可以写出系统的传递函数或者频率特性。以写出系统的传递函数或者频率特性。 例例1 1 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图线如图2.572.57所示，确定该系统的传递函数。所示，确定该系统的传递函数。33图 2 .5 7 最 小 相 位 系 统 的 伯 德 图)(L)(L01 010 .40 .12 04 0-2 0-4 0-2 0-6 04 .4 4 d Bd B34 解解 由于对数幅频特性的低频段是由于对数幅频特性的低频段是 -20-20dB/decdB/dec的直线，

21、所以，系统的传递函数有一积分环节。的直线，所以，系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化，根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传递函数为容易写出系统的传递函数为 )10(10121)(4 . 011 ()1 ()(2sssssKsG35 由于低频段的延长线与由于低频段的延长线与0db0db线（横坐标轴）的交点线（横坐标轴）的交点为为 ，因此，因此，K=10K=10。 由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的误差由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的误差为为4.44db4.44db，由式（，由式（4.174.17）得）得 44.421lg203.

22、0 所以，系统的传递函数为所以，系统的传递函数为)1006)(4 . 0() 1(400)01. 006. 01)(5 . 21 ()1 (10)(22sssssssssssG1036 例例2 2 某最小相位系统的对数幅频特性的渐某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图近线如图2.582.58所示，确定该系统的传递函数。所示，确定该系统的传递函数。图2.58 最小相位系统的伯德图)(L01010.2-20-60-2037 解解 由于对数幅频特性的低频段是由于对数幅频特性的低频段是-20-20dB/decdB/dec的直线，所以，系统的传递函数有的直线，所以，系统的传递函数有1 1个积分环个积分

23、环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的节。根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传递函数为变化，容易写出系统的传递函数为2222)51 ()1 .01 ()2 .011 ()1011 ()(sssKsssKsG38 在穿越频率在穿越频率=1=1处处L(1)=0L(1)=0，由此或者，由此或者 确定确定K K。 通常在穿越频率通常在穿越频率=1=1附近，转折频率在穿越频率附近，转折频率在穿越频率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是- -2020dB/decdB/dec的斜线，即可以近似为一个积分环节。而的斜线，即可以近似为一个积分环节

24、。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的幅频特性可转折频率在穿越频率右边的惯性环节的幅频特性可以认为是以认为是0dB0dB的水平线，即可以近似为的水平线，即可以近似为1 1。 1)(1jG39 一阶微分环节、二阶微分环节、振荡环节等可以进行一阶微分环节、二阶微分环节、振荡环节等可以进行类似的近似处理，从而简化计算。类似的近似处理，从而简化计算。 在本例中，在穿越频率在本例中，在穿越频率=1=1附近，可以作下列近似附近，可以作下列近似32222225)5()5(1()1 .0(1(KKK 因为在因为在=1=1 处，开环对数幅频特性为处，开环对数幅频特性为0dB 0dB ， 或者幅值为或者幅值为1

25、1，即，即12513K40因此得因此得K=25,K=25,所以，系统的传递函数为所以，系统的传递函数为 22)51 ()1 . 01 (25)(ssssG414.5 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 前面介绍的几种稳定性判据，都是基于系前面介绍的几种稳定性判据，都是基于系统的状态方程、微分方程、传递函数等参数统的状态方程、微分方程、传递函数等参数模型。工程上采用系统的频率特性等实验数模型。工程上采用系统的频率特性等实验数据来分析、设计系统。据来分析、设计系统。19321932年，美国年，美国BellBell实实验室的奈奎斯特提出了这样一种方法。这种验室的奈奎斯特提出了这样一种方法。这种方法是以

26、系统的开环幅相频率特性曲线判别方法是以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统的稳定性，称为奈奎斯特稳定判据。系统的稳定性，称为奈奎斯特稳定判据。42 奎斯特稳定判据奎斯特稳定判据：设系统有设系统有P P个开环极点在个开环极点在右半右半S S平面，当平面，当 从从 变到变到 时，若奈氏曲时，若奈氏曲线绕线绕 平面的（平面的（-1-1，j0j0）点）点N N圈（参考圈（参考方向为顺时针）方向为顺时针）, ,则系统有则系统有Z=N+PZ=N+P个闭环极点在个闭环极点在右半右半S S平面平面. .当当Z=0Z=0时系统稳定。当奈氏曲线穿时系统稳定。当奈氏曲线穿过（过（-1-1，j0j0）点时，系统临界稳定

27、）点时，系统临界稳定。)()(jHjG43 应用奈氏稳定判据判别系统稳定性，需要绘制应用奈氏稳定判据判别系统稳定性，需要绘制或者由实验得到奈氏曲线，并确定奈氏曲线绕或者由实验得到奈氏曲线，并确定奈氏曲线绕平面的（平面的（-1-1，j0j0）点的圈数）点的圈数N N，在右半，在右半S S平面的平面的开环极点数开环极点数P P以及在右半以及在右半S S平面的闭环极点数平面的闭环极点数Z=N+PZ=N+P。 1 1）确定）确定P P：开环传递函数在右半：开环传递函数在右半S S平面的极点平面的极点数数P P是容易看出的。对于最小相位系统是容易看出的。对于最小相位系统，P P=0=0。442 2）确定

28、）确定N N的方法的方法: :为了确定为了确定N,N,将奈氏曲线从将奈氏曲线从 平面的下半部穿过负实轴的平面的下半部穿过负实轴的 段段, ,到平面到平面 的上半部的上半部1 1次次, ,定义为定义为1 1次正穿越次正穿越; ;反之奈氏曲线从反之奈氏曲线从 平面平面 的上半部穿过负实轴的的上半部穿过负实轴的 段段, ,到平到平面面 的下半部的下半部1 1次次, ,定义为定义为1 1次负穿越次负穿越, ,如图如图4.74.7所示。所示。 )()(jHjG), 1()()(jHjG), 1()()(jHjG)()(jHjG0图4.7 正、负穿越-1正穿越负穿越45若奈氏曲线正穿越若奈氏曲线正穿越 次

29、，负穿越次，负穿越 次，则奈氏曲次，则奈氏曲线绕线绕 平面的（平面的（-1-1，j0j0）点的圈数为）点的圈数为 ： 3 3）奈氏曲线的画法：因为奈氏曲线的精确形状，）奈氏曲线的画法：因为奈氏曲线的精确形状，对于对于N N 值的确定并不重要，所以，只要根据一些值的确定并不重要，所以，只要根据一些特征画出奈氏曲线的大致形状即可。事实上，要特征画出奈氏曲线的大致形状即可。事实上，要在的范围内精确画出奈氏曲线也是不可能的。在的范围内精确画出奈氏曲线也是不可能的。 NN)()(jHjGNNN46 为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的下列特征曲线的下列特征 的映射；

30、的映射； 的映射；的映射； 奈氏曲线与实轴的交点；奈氏曲线与实轴的交点； 根据这些映射点画出根据这些映射点画出 对应的奈对应的奈氏曲线，然后根据奈氏曲线关于实轴的对氏曲线，然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性称性,画出画出 的奈氏曲线。的奈氏曲线。 奈氏路径中小半圆的映射。奈氏路径中小半圆的映射。00047 举例举例 例例1 1 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为: : 用奈氏判据判别系统稳定性用奈氏判据判别系统稳定性。 解解 系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为: :) 1)(1()()(21sTsTKsHsG) 1)(1()()(21TjTjKjHjG48则则 容易看出，当容

31、易看出，当 时，时， , ,所以，所以，这部分奈氏曲线总在实轴下方，与负实轴不相这部分奈氏曲线总在实轴下方，与负实轴不相交（交（ 和和 除外）。根据上面除外）。根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线。的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线。 因为因为 ， ，又，又P=0P=0，所以，所以Z=N+P=0Z=N+P=0，因此，该系统是稳定，因此，该系统是稳定的。KjHjG)()(lim00)()(lim0jHjG0)()(limjHjG)()(limjHjG00)()(jHjG00NN0NNN49例例2 2 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为: : 用奈氏判据判别系统稳定

32、性。用奈氏判据判别系统稳定性。解解 系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为: :) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG) 1)(1()()(21TjTjjKjHjG50则则 奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数形式：数形式： 令令 得得)()(lim0jHjG2)()(lim0jHjG0)()(limjHjG23)()(limjHjG)()1() 1()()1 ()()()(221222122122212221221TTTTTTKjTTTTTTKjHjG0)()()(ImVjHjG01212TT51 因为开环传递函数在右半因为开环传递函数在右

33、半S S平面没有极点，平面没有极点，所以所以P=0P=0。奈氏曲线绕（。奈氏曲线绕（-1-1，j0j0）点圈数与交）点圈数与交点坐标有关。点坐标有关。 当当 时时, ,奈氏曲线不包围奈氏曲线不包围(-1,j0)(-1,j0)点，系统点，系统是稳定的。是稳定的。 当当 时时, ,奈氏曲线包围奈氏曲线包围(-1,j0)(-1,j0)点。点。 , , , , 所以系统是不所以系统是不稳定的，有稳定的，有2 2个闭环极点在右半个闭环极点在右半S S平面。平面。 当当 时，奈氏曲线穿越时，奈氏曲线穿越(-1,j0)(-1,j0)点，所以，点，所以，系统是临界稳定的。系统是临界稳定的。 12121 TTT

34、KT12121 TTTKT2N0N2PNZ12121 TTTKT52 例例 3 3 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性用奈氏判据判别系统稳定性。 解解 系统的频率特性为系统的频率特性为: :)1()1()()(2TsssKsHsG) 1()() 1()()(2TjjjKjHjG53 下面分几种情况讨论。下面分几种情况讨论。 其中，其中， 是趋于是趋于0 0的正角度的正角度. .由于当由于当 时，时， ，所以这部分奈氏曲线总在，所以这部分奈氏曲线总在实轴下方实轴下方, ,与负实轴不相（与负实轴不相（ 和和 除外）。根据上面的分析以及对称性，可以画除外）。根

35、据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线。出系统的奈氏曲线。 T)()(lim0jHjG)()(lim0jHjG0)()(limjHjG)()(limjHjG00)()(jHjG054 奈氏路径中小半圆的映射：从奈氏路径中小半圆的映射：从 的映的映射点开射点开 始，顺时针转过始，顺时针转过 ，到，到 的映射点的无穷大半径的圆弧。的映射点的无穷大半径的圆弧。 因为开环传递函数在右半因为开环传递函数在右半S S平面没有极点，所平面没有极点，所以以P=0P=0。奈氏曲线不包围（。奈氏曲线不包围（-1-1，j0j0）点，所以，）点，所以，系统是稳定的。系统是稳定的。 : : 因为因为 ， ， ，

36、 ， 所以，系统是不稳定的，有两个闭环极点在所以，系统是不稳定的，有两个闭环极点在右半右半S S平面。平面。 001802 0T2N0N2PNZ2NNN55 : 这时，系统的传递函数为这时，系统的传递函数为: : 频率特性为频率特性为: :因为奈氏曲线穿越因为奈氏曲线穿越(-1,j0)(-1,j0)点，所以，系统临界点，所以，系统临界稳定稳定。 T2)()(sKsHsG2)()()(jKjHjG2)()(KjHjG)()(jHjG56 例例4 4 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 解解 系统的频率特性为系统的频率特性为: :

37、) 1()()(3ssKsHsG) 1()()()(3jjKjHjG57 由于当由于当 时，时， ，所，所以，这部分奈氏曲线总在第一象限。根据上面以，这部分奈氏曲线总在第一象限。根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线。的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线。)()(lim0jHjG23)()(lim0jHjG0)()(limjHjG2)()(limjHjG0223)()(jHjG58 奈氏路径中小半圆的映射：从奈氏路径中小半圆的映射：从 的映的映射点开始射点开始, ,顺时针转过顺时针转过 ，到，到 的映射点的无穷大半径的圆弧。的映射点的无穷大半径的圆弧。 因为开环传递函数在右半因为

38、开环传递函数在右半S S平面没有极点，所平面没有极点，所以以P=0.P=0.因为因为 ， ， , ,所以，系统不稳定，有两个闭环极点在右半所以，系统不稳定，有两个闭环极点在右半S S平平面。面。 001803 02N0N2PNZ59 例例5 5 已知非最小相位系统的开环传递函数为已知非最小相位系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 解解 系统的频率特性为系统的频率特性为: :)1()3()()(sssksHsG)1 ()3 (14) 1() 3()()(222kjkjjjKjHjG60 令令 ，得奈氏曲线与实轴交点处的频率，得奈氏曲线与实轴交点处的频率为为

39、。奈氏曲线与实轴交点坐标。奈氏曲线与实轴交点坐标为为 。根据上面的分析以及对称性，可。根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线以画出系统的奈氏曲线。 )()(lim0jHjG23)()(lim0jHjG0)()(limjHjG21)()(limjHjG0)(V3kU)3(61 奈氏路径中小半圆的映射：从奈氏路径中小半圆的映射：从 的映射点开的映射点开始，顺时针转过始，顺时针转过 ，到，到 的映射点的半径为无的映射点的半径为无穷大的圆弧。穷大的圆弧。 因为开环传递函数在右半因为开环传递函数在右半S S平面有平面有1 1个极点，所以个极点，所以P=1P=1。 当当k1k1时，时， ， ，

40、，系统，系统是稳定的。是稳定的。 当当k1k1时，时， , , ， ，系，系统是不稳定的，有两个闭环极点在右半统是不稳定的，有两个闭环极点在右半S S平面。平面。 当当k=0k=0时，奈氏曲线穿越点，系统是临界稳定的。时，奈氏曲线穿越点，系统是临界稳定的。 00180 01N2N1NNN011 PNZ1N0N1NNN211 PNZ62 例例6 6 控制系统如图所示，用奈氏判据判别系统控制系统如图所示，用奈氏判据判别系统稳定性。稳定性。 解解 在该系统中，系统的开环传递函数为在该系统中，系统的开环传递函数为: :21ss)(sR)(sC)1)(1(1ss图 4.13 开 环 传 递 函 数 存

41、在 零 极 点 对 消) 2)(1(121) 1)(1(1)()(sssssssHsG63 由奈氏稳定判据或者其它判据，很容易判由奈氏稳定判据或者其它判据，很容易判别该系统是稳定的。但实际上，系统的闭环传别该系统是稳定的。但实际上，系统的闭环传递函数为递函数为: : 可见，系统在右半可见，系统在右半S S平面的闭环极点，一部平面的闭环极点，一部分由开环传递函数分由开环传递函数 决定，另一决定，另一部分是对消掉的不稳定的开环极点部分是对消掉的不稳定的开环极点s=1s=1，所以，所以，系统有系统有1 1个不稳定的闭环极点。个不稳定的闭环极点。 1)2)(1)(1(221) 1)(1(11) 1)(

42、1(1)(sssssssssss)2)(1(1)()(sssHsG64 因此，当因此，当G(s)G(s)与与H(s)H(s)存在零、极点对消时存在零、极点对消时, ,先先根据开环传递函数根据开环传递函数, ,用奈氏稳定判据得到在右用奈氏稳定判据得到在右半半S S平面的闭环极点数平面的闭环极点数 , ,然后再加上对消然后再加上对消掉的不稳定的开环极点数掉的不稳定的开环极点数 ，就得到系统在，就得到系统在右半右半S S平面的闭环极点的总数平面的闭环极点的总数 。1Z2Z21ZZZ654.6 4.6 相对稳定性分析相对稳定性分析 前面介绍的稳定判据是分析系统是否稳定，称为前面介绍的稳定判据是分析系统

43、是否稳定，称为绝对稳定性分析。对于实际的控制系统，不仅要求稳绝对稳定性分析。对于实际的控制系统，不仅要求稳定，而且要求具有一定的稳定裕度。确定系统的稳定定，而且要求具有一定的稳定裕度。确定系统的稳定裕度，称为相对稳定性分析。在奈氏图上，不仅可以裕度，称为相对稳定性分析。在奈氏图上，不仅可以分析系统的绝对稳定性，即判别系统是否稳定，而且分析系统的绝对稳定性，即判别系统是否稳定，而且能分析系统的相对稳定性，即确定系统的稳定裕度。能分析系统的相对稳定性，即确定系统的稳定裕度。 如何度量系统的稳定程度？由奈氏判据可知，位于临如何度量系统的稳定程度？由奈氏判据可知，位于临界点附近的开环幅相曲线即奈氏曲线

44、，对系统的稳定界点附近的开环幅相曲线即奈氏曲线，对系统的稳定性影响最大。奈氏曲线越是接近临界点性影响最大。奈氏曲线越是接近临界点(1,j0)(1,j0)，系统，系统的稳定程度越差。因此，可以将奈氏曲线与临界点的的稳定程度越差。因此，可以将奈氏曲线与临界点的距离，作为相对稳定性的度量。通常用相角裕度距离，作为相对稳定性的度量。通常用相角裕度 和幅值裕度和幅值裕度 或或 两个值，度量奈氏曲线与临界点两个值，度量奈氏曲线与临界点的距离。的距离。gKh66下面首先定义相位穿越频率和增益穿越频率。下面首先定义相位穿越频率和增益穿越频率。使开环频率特性的相角为使开环频率特性的相角为 的频率，称为相的频率，

45、称为相位穿越频率位穿越频率 ，即，即 使开环频率特性的幅值为使开环频率特性的幅值为1 1，或者为，或者为0db0db的频率，的频率，称为增益穿越频率或者截止频率称为增益穿越频率或者截止频率 ，即，即 0180g0180)()(ggjHjGc1)()(ccjHjG67相角裕度相角裕度 和幅值裕度和幅值裕度 或或 定义如下。定义如下。 或者或者 gKh)()(1800ccjHjG)()(1gggjHjGK)()(lg20lg20gggjHjGKh68 例例1 1 控制系统的开环传递函数为控制系统的开环传递函数为 试分析系统的绝对稳定性和相对稳定性试分析系统的绝对稳定性和相对稳定性。 解解 系统的频

46、率特性为系统的频率特性为: :1 0 (1)()()(1)sGsHss s22210(1)2010(1)()()(1)1(1)jG jH jjjj69 令令 ，即，即: : 得奈氏曲线与实轴交点处的频率为得奈氏曲线与实轴交点处的频率为: : 奈氏曲线与实轴交点坐标为奈氏曲线与实轴交点坐标为: : 根据上面的分析以及对称性，可以画出系统根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线。的奈氏曲线。)()(lim0jHjG23)()(lim0jHjG0)()(limjHjG21)()(limjHjG0)(V210g1g()10gU70奈氏路径中小半圆的映射：从奈氏路径中小半圆的映射：从 的映射点始，的映射点始，顺时针转过顺时针转过 到到 的映