201x届高考理科数学第一轮考纲复习(25)

1、第 3 讲 数学归纳法1运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是_，第二步是_，两步缺一不可2. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括_归纳奠基(或递推基础)归纳递推(或归纳假设) 恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问 题等1在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()CAn1 时成立Cn3 时成立Bn2 时成立Dn4 时成立解析：多边形至少有三边A3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形有对角线数 f(n1)为()CAf(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：在 n 个顶点的基础上增加一个顶点则增加 n1 条对角线Aa

2、1，b3Ca1，b2Ba1，b1Da2，b3答案：D解析：令 n1,2，得到关于 a、b 的方程组，解得即可 14n215考点 1对数学归纳法的两个步骤的认识例 1：已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 nk(k2 且为偶数)时命题为真，则还需证明()Ank1 时命题成立Cn2k2 时命题成立 Bnk2 时命题成立Dn2(k2)时命题成立解题思路：从数学归纳法的两个步骤切入，k 的下一个偶数是 k2.解析：因 n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因 k 的下一个偶数是 k2.故选 B.用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：(1)n 的范围以及递推的起点；(2)观察首末

3、两项的次数(或其他)，确定 nk 时命题的形式 f(k)；(3)从 f(k1)和 f(k)的差异，寻找由 k 到 k1 递推中，左边要加(乘)上的式子nn 24【互动探究】B(2)用数学归纳法证明不等式1n11n21 13的过程中，由 k 推导到 k 1 时，不等式左边增加的式子是_.1(2k1)(2k2)(k1)(k1)，即2k2 k1(2k1)(2k2)解析：求 f(k1)f(k)即可当 nk 时，左边1 1k1 k21kk.nk1 时，左边1k21k31.故左边增加的式子是12k11 1 1.考点 2用数学归纳法证明恒等式命题例 2：是否存在常数 a、b、c，使等式 122232n(nn

4、 都成立？证明你的1)2n(n1)(an2bnc)对一切正整数12结论(3k211k10)，(3k211k10)(k1)(k2)2(3k5)(k2)(k1)(k2)2下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，由上面可知等式成立(2)假设 nk 时等式成立，即 122232k(k1)2k(k1)12则 122232k(k1)2(k1)(k2)2k(k1)12k(k1)12k(3k5)12(k2)3(k1)211(k1)102n1(k1)(k2)12(k1)(k2)12当 nk1 时，等式也成立综合(1)(2)，对 nN*等式都成立1131352 用数 学 归纳 法 证明 ： n N*时 ，n1.

5、(2n1)(2n1)【互动探究】 ， ，左边右边，所以等式成立，k 1 k(2k3)1证明：(1)当 n1 时，左边1 113 3右边121113(2)假设当 nk(kN*)时等式成立，即有1131351(2k1)(2k1)k2k1则当 nk1 时，1131351(2k1)(2k1)1(2k1)(2k3) 2k1 (2k1)(2k3) (2k1)(2k3)2k23k1 k1 k1 ，(2k1)(2k3) 2k3 2(k1)1所以当 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 nN*等式都成立考点 3 用数学归纳法证明不等式命题当 nk1 时，不等式成立，由(1)(2)知，等式对所有正整数

6、都成立(1)用数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；(3)由 k 推导到 k1 时，有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面8(k1)99(32k+28k9)98k99考点 4 用数学归纳法证明整除性命题例 4：试证：当 n 为正整数时，f(n)32n+28n9 能被 64整除由于 32(k+1)+2即 f(k1)9f(k)64(k1)，解析：方法一：(1)当 n1 时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当 nk(k1，kN*)时，f(k)32k+28k9 能被 64 整除【互动

7、探究】3求证：二项式 x2ny2n(nN*)能被 xy 整除错源：由 nk 变化到 nk1 时理解不透彻纠错反思：数列中的不等式常用的放缩方法有：利用分式的性质、利用根式的性质、利用不等式的性质、利用二项展开式、利用函数的性质等进行放缩.【互动探究】“归纳猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式，对于探索命题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证1用数学归纳法证明问题时应注意：第一步验证 nn0 时，n0 并不一定是 1；第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由 k到 k1 时命题的变化；由假设 nk 时命题成立，证 nk1 时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标2用数学归纳法证明时，从