人教新版九年级数学下学期第28章锐角三角函数单元训练卷含解析

1、第28章锐角三角函数选择题（共7小题）1.如图，在 Rt ABC中，/ C= 90 ，如果/ A=a, AB= 5,那么 AC等于（A. 5ta n aB. 5C0S aC. 5sin aD.cosa2.当锐角A的cosA 时，/ A的值为（2A.小于45B.小于30C.大于45D.大于30A.V3B.3C4.在Rt ABC中, z1 C= 90 , cos A=一，贝U tan B 等于2A.VsB匚c匚)5 . cos30 的值是(3.在厶ABC中，/ C= 90，若cosA=，则sin A的值是（2B.A.6.点A （t , 2）在第二象限,OA与 x轴所夹的锐角为 a, tan，则t的

2、值为（A.B.C. 2D. 37.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1, ABC的顶点都是格点，贝U sin / BAC的值为（）i7一T1A；c33izl.Ji7jL Ei11:E:tA -一B. - 一C. 2D. 一1055二.填空题（共6小题）&如图所示的网格是正方形网格，/AOB/ COD （填“，“=”或“）r*ii1l!tI1iiF li.in A= 2cosAsin A根据以上阅读，请解决下列问题:(1)如图 3，在 ABC中，/ C- 90, BC= 1, AB= 3，求 sin A, sin2 A的值;(2 )上面阅读材料中，题目条件不变，请用si nA或cosA表示c

3、os2A.16每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地，如图所示： AF/ BC斜坡AB长30米，坡角/ ABO 60 .为了防止 滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45 时，可以确保山体不滑坡.(1) 求坡顶与地面的距离 AD等于多少米？(精确到 0.1米)(2) 为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE 至少是多少米？(精确到 0.1米)RDC17. 重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡 AB长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角/ C

4、BF= 53，离B点4米远的E处有一花台，在 E处仰望C的仰角/ CEF= 63.4 , CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD= 5米.(1)求斜坡AB的坡度i .(2 )求DC的长.(参考数据：tan53 八，tan63.4 2)3C18. 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东 70方向, 航母再航行8海里到达B处，此时测得小岛 C位于它的北偏东 37方向.如果航母继续 航行至小岛C的正南方向的 D处，求还需航行的距离BD的长.(参考数据：sin70 0.94 , cos70 0

5、.34 , tan70 2.75 , sin37 0.6 , cos37 0.80 , tan37 0.75 )原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i = 1: 2.4 , AB丄BC为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 13,即/ ADC= 13 （此时点B C D在同一直线上）（2）求斜坡改进后的起点 D与原起点C的距离（结果精确到 0.1米）.（参考数据：sin 13 0.225 , cos13 0.974 , tan 13 0.231 , cot13 4.331 )20.如图，MN是一条东西走向的海岸线，上午9: 00点一艘船从海岸线上港口A处沿北偏东30方向航行，上午1

6、1: 00点抵达B点，然后向南偏东 75方向航行，一段时间后，抵达位于港口 A的北偏东60方向上的C处，船在航行中的速度均为 30海里/时，求此时船距海岸线的距离.参考答案与试题解析1.2.选择题（共7小题）如图，在 Rt ABC中,/ C= 90，如果/ A=a, AB= 5,那么A. 5tanB. 5C0S aC. 5sin a【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【解答】解：在Rt ABC中,cos a= ,ABACAB?C0S a = 5cos a,故选：B.当锐角A的CosA时，/A的值为（A.小于45AC等于（D.!，COS 口B.小于30【分析】明确cos45 =丄丄，余弦

7、函数随角增大而减小进行分析.2【解答】解：根据 cos45 =丄丄，余弦函数随角增大而减小，则/2C.大于45D.大于30A 一定小于45 .故选：A.3.在厶ABC中,/ C= 90，若cosA=丄上，贝U sin A的值是（2【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解.【解答】解：EA+c% 1, 即 sin 2A+ （）2 = 1，/ sin 2A=一4解得sin A=_或-十（舍去），2 - sin A=亠2故选：D.4.在 Rt ABC中, Z C= 90, cosA=,贝U tanB等于(2D.B.二2【分析】由cosA=,知道Z A= 60，得到Z B的度数即可求得答

8、案.2【解答】解：，/C= 90, cosA=_ = : 32A= 60，得/ B= 30，所以 tan B= tan30故选：C.5. cos30 的值是(C.D.【分析】【解答】根据特殊角三角函数值，可得答案.解：cos30 =丄丄,2故选：D.6.点A (t , 2)在第二象限，OA与 x轴所夹的锐角为 a, tan a=，则t的值为(24A.B.- 2C. 2D. 33【分析】如图，作 AELx轴于E.根据tan Z AOE=，构建方程即可解决问题. E0 2 AE= 2, OE=- t , = :兀2故选：A7在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1, ABC勺顶点都是格点，贝U s

9、in / BAC的值为（)L -1 A Cz111z1zi R!.! r : A.B.C. 2D.1055【分析】作 CDL AB于D,根据勾股定理分别求出AC AB,根据三角形的面积公式求出CD根据正弦的定义计算即可.【解答】解：作 CDLAB于D,由图形可知BC= 2,由勾股定理得，AC= ：；：_；_= i, AB=二十.：二=3 ,由三角形的面积公式可得，丄x 2X 3=丄乂 3X DE2 2解得，DE=二 sin / BAC=亠_= J,AC V1O 5故选：D.a ih A B BZg/0D! *! !二.填空题（共6小题）&如图所示的网格是正方形网格，/AOB / COD （填“

10、，“=”或“Z COD故答案为：.np亠Bl111c.:5：84:SV.*勒AEaiifl9. 2sin 45 +2cos60 -:ta n60 =_ ；- 2 .【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案.【解答】解：原式=2 X - +2X-_X -2 2=匚+1 - 3=：-2.故答案为：- 2 .10. 锐角a和锐角3互余，记f = sin a +sin B,贝U f的取值范围为1 v f w :【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【解答】解：Ta +3 = 90, sin 3 = sin (90-a)= cos a,- f = sin a +cos a= J =si

11、n (a +45 )a是锐角,故答案为：1v f w11.如图，在 Rt ABC中, / ACB= 90 , CDL AB 垂足为 D. AF平分/ CAB 交 CB于点 F.交CD于点 E.若 AC= 6, sin B=，贝U DE的长为.5_5 ：= 1，【分析】先由 AF平分/ CAB CDL AB过点E作EG垂直于AC利用角平分线的性质定 理得EG等于DE易得Rt AED全等于Rt AEG以及/ DCA等于/ B,从而求得 AD AG CG然后在Rt CEG ,由勾股定理求出 EG即为DE的长度.【解答】解：过点 E作EGL AC于点G又 AF平分/ CAB CDLAB EG= ED在

12、 Rt AED和 Rt AEG ,/AE=AEeg=ed Rt AED Rt AEG( HL),AG= AD/ ACB= 90 , CDL AB / B+Z BAC=Z DCA/BAC= 90 ,/ DCA=Z B, AC= 6,sin B=,52 sin / DCA= sin B=,5.扯抗I_3 AD=_,5DC=，g， AG= A丄，CG= AC- AG=_1,55在 Rt CEG中 CE= EG+CG, ( DC- ED 2=( DC- EG 2= EG+CGbd EG= =5DE=_5故答案为：.512. 2022年在北京将举办第 24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习如图，

13、滑 雪轨道由AB BC两部分组成，AB BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道 由A点滑到了 C点，若AB与水平面的夹角 a为20, BC与水平面的夹角 3为45 则他下降的高度为210米.【分析】过点A作AEL BD于点E过点B作BGL CF于点G,然后根据锐角三角函数的定 义即可求出答案.【解答】解：过点 A作AE! BD于点E,过点B作BGL CF于点G在 Rt ABE中 , sin a= ,AB AE= AB sin20 68,在 Rt BCGK sin B =，BC BG= BO sin45 142,他下降的高度为：AEhBG= 210,故答案为：21013如图是将一正方体

14、货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度一-=，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D21与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD= -米 【分析】利用斜坡 AB的坡度i三得到琴=，进而证得 CBDo BAE得到黑=琴3 AE 3BD AE=丄，然后设CD= x米，贝U BD= 3x米，在Rt CBD中，禾U用勾股定理求得答案即可.3【解答】解：如图，斜坡AB的坡度-一1 3.BE_ 1_ = ：；，/ CBI+Z ABE= 90。，/ ABE/ A= 90,:丄 CB=/ A,/ CDB=/ AEB= 90, CBZ BAE 一 _

15、厂 _ IBD AE 3.设 CD= x 米，贝V BD= 3x 米,货物顶点D与C重合，/ CDB= 90,在 Rt CBD中, bD+cD= bC,2 2 2 即：x+ (3x)= 2 ,x=-(负值舍去)，5 BD=1 米.5故答案为：米.5三解答题(共7小题)14“ C919 ”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一数据不完整的航模飞机机翼图纸，AB/ CD AM/ BN/ ED AE DE请根据图中数据，求出线段 BE和CD的.(结果精确到 0.1cm, sin37 0.60 , cos37 0.80 , tan37 0.75 )E 25cm

16、【分析】在Rt BED中可先求得BE的长，过C作CF丄AE于点F,则可求得AF的长，从 而可求得EF的长，即可求得 CD的长.【解答】解： BN/ ED/ NBD=/ BDE= 37, AE! DE/ E= 90, BE= DE?tan / BDE 18.8 (cnj),如图，过C作AE的垂线，垂足为 F,/ FCA=Z CAM= 45, - AF= FC= 25cmCD/ AE四边形CDEF为矩形,CD= EF,/ AE= ABEB= 35.75 (cm),CD= EF= AE- AF 10.8 (cm),答：线段BE的长约等于18.8 cm,线段CD的长约等于10.8 cm题目：如图 1,

17、在厶 ABC中 ,已知/ A ( / Av 45) , / C= 90 , AB= 1，请用 sin表示sin2 A.cos A解：如图2,作AB边上的中线 CE CDLAB于D,CE= f , / CED= 2A CD= AinA 心 ABSA= cOSACD ACsinA在 Rt CED , si n2 A= sin / CED= .-.= 2ACsi n A= 2cosAsi nA7根据以上阅读，请解决下列问题：(1)如图 3,在厶 ABO中 , / C= 90 , BC= 1, AB= 3,求 sin A, sin2 A的值;(2 )上面阅读材料中，题目条件不变，请用si nA或cos

18、A表示cos2A.A Ki【分析】(1)解直角三角形求出 cosA,利用结论中的公式计算即可；(2)利用图2,根据cos2A= cos / CED=，计算即可；EC【解答】解：(1)如图 3 中，在 Rt ABC中， AB= 3, BO 1，/ C= 90, AC=二：2 ：,sV cosA, sin2 A= 2cosA?sin A=AC*cosA(2)如图 2 中，cos2A= cos / CED= 2AC?cosA- 1 = 2 (cosA) 2 1.EC 216. 每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF/ BC斜坡AB

19、长30米，坡角/ ABC= 60.为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造, 时，可以确保山体不滑坡.(1) 求坡顶与地面的距离 AD等于多少米？(2) 为确保安全，学校计划改造时保持坡脚至少是多少米？(精确到0.1米)经过地质人员勘测，当坡角不超过45 (精确到 0.1米)B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE【分析】(1 )由AB= 30及/ B的度数可确定 AD的长度.(2 )由(1)可求出BD的长度，连接 BE过E作ENL BC于N,则可求出BE的长度，AE=BE- BD从而求出AE的长度.【解答】解：(1 )在 Rt ADB中, AB= 30m / ABC= 60, sin

20、 / ABC=1, 批 AD= ABsin / ABC=30 x sin60 26.0 (m)答：AD等于26.0米；(2 )在 Rt ADB中,cos / ABD=,AB DB= AB?cos / ABD=30x cos60 =15(m,连结BE、过E作EN! BC于N,/ AE/ BC四边形AEND矩形，NE= A* 26.0 ,在 Rt ENB，由已知/ EBN 45当 EBN= 45 时，BN= EN= 26.0 , AE= ND= BN- BD= 11.0 (,答：AE至少是11.0 mA E F/：/ :/ *A|JLAr, L17. 重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处

21、，有一斜坡 AB长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角/ CBF= 53，离B点4米远的E处有一花台，在 E处仰望C的仰角/ CEF= 63.4 , CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD= 5米.(1)求斜坡AB的坡度i .(2 )求DC的长.i(参考数据：tan53 , tan63.4 2)3D【分析】（1 ）过B作BGL AD于G则四边形 BGDF是矩形，求得 BG= DF= 5米，然后根据勾股定理求得AG即可求得斜坡AB的坡度i (2)在 Rt BCF中，BF=，在 Rt CEF中，EF= ，得tanZCBP 1tanZCEF 23到方程BF- EF=- = 4,解得CF

22、= 16,即可求得求 DC= 21 A 23【解答】解：（1 ）过B作BGL AD于G则四边形BGDF1矩形, BG= DF= 5 米, AB= 13 米, AG= 12 米， AB的坡度 i = ：= 1： 2.4 ；(2)在 Rt BCF中,BF=疋=丄tanZCBF A3在 R CEF 中，EJ.、/ BE= 4 米, BF- A丄 4,3解得：CF= 16. DC= CF+DF= 16+5 = 21 米.18由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东 70方向, 航母再航行8海里到达

23、B处，此时测得小岛 C位于它的北偏东 37方向.如果航母继续 航行至小岛C的正南方向的 D处，求还需航行的距离 BD的长.(参考数据：sin70 0.94 , cos70 0.34 , tan70 2.75 , sin37 0.6 , cos37 0.80 , tan37 0.75 )【分析】设BD= x海里，利用正切的定义用 x表示出CD AD根据题意列出方程，解方程得到答案.【解答】解：设BD= x海里，在 Rt BDC中, tan / BCD=,CDCD=一x,tanZBCD 0.753in 在 Rt ADC中 tan / ACD= ,CD AD= C6an / ACD 1 CD=x,

24、43由题意得，8+x =x,解得，x= 3,答：还需航行的距离 BD的长约为3海里.19某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i = 1: 2.4 , AB丄BC为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 13,即/ ADC= 13 (此时点B C D在同一直线上)(2)求斜坡改进后的起点 D与原起点C的距离(结果精确到 0.1米).(参考数据：sin 13 0.225 , cos13 0.974 , tan 13 0.231 , cot13 4.331 )【分析】(1 )根据坡度的概念，设 AB= 5x，则BC= 12x，根据勾股定理列出方程，解方 程即可；(2)根据余切的定义列出算式，求出DC【解答】解：(1)由题意，得：/ ABC= 90, i = 1: 2.4 ,在 Rt ABC中, i = 2 =,BC 12设 AB= 5x，贝