第五章离散选择模型(20140429)

1、第五章 离散选择模型在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。本章主要介绍以下内容：1、为什么会有离散选择模型。2、二元离散选择模型的表示。3、线性概率模型估计的缺陷。4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。第一节 模型的基础与对应的现象一、问题的提出在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某

2、种限制的数据。1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。由离散数据建立的模型称为离散选择模型。2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。这种类型的数据成为审查数据。再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种

3、数据称为截断数据。这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。下面是几个离散数据的例子。例5.1 研究家庭是否购买住房。由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，即 我们希望研究买房的可能性，即概率的大小。例5.2 分析公司员工的跳槽行为。员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪资、发展潜力等诸多因素的权衡。员工跳槽的成本与收益是多少，我们无

4、法知道，但我们可以观察到员工是否跳槽，即 例5.3 对某项建议进行投票。建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可以观察到投票者的行为只有三种，即 研究投票者投什么票的可能性，即。从上述被解释变量所取的离散数据看，如果变量只有两个选择，则建立的模型为二元离散选择模型，又称二元型响应模型；如果变量有多于二个的选择，则为多元选择模型。本章主要介绍二元离散选择模型。离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用于研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。70-80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业选点、交通问题、

5、就业问题、购买行为等经济决策领域的研究。模型的估计方法主要发展于20世纪80年代初期。（参见李子奈，高等计量经济学，清华大学出版社，2000年，第155页-第156页）二、线性概率模型对于二元选择问题，可以建立如下计量经济模型。1、线性概率模型的概念设家庭购买住房的选择主要受到家庭的收入水平，则用如下模型表示其中，为家庭的收入水平，为家庭购买住房的选择，即Y01概率1-pp由于是取值为0和1的随机变量，并定义取值为1的概率是p，则的分布为 即随机变量服从两点分布。根据两点分布，可得的数学期望为显然从而 （5-1）上述数学模型的经济学解释是，因为选择购买住房变量取值是1，其概率是p，并且这时对应

6、p的表示是一线性关系，因此，在给定下的条件期望可解释为在给定下，事件（家庭购买住房）将发生的条件概率为，亦即家庭选择购买住房的概率是家庭收入的一个线性函数。我们称这一关系式为线性概率函数。由于，服从两点分布，所以，的方差为2、线性概率函数的估计及存在的问题对线性概率函数直接运用OLS估计，会存在以下困难。（1）随机误差项的非正态性表现表明服从两点分布。而在经典计量经济学中，假定服从正态分布。（2）的异方差性。事实上，根据服从两点分布概率则的方差为。表明随着i的变动是一个变量，则的方差不是一个固定常数。（3）利用加权最小二乘法修正异方差取权数为可以证明具有同方差。在具体估计线性概率模型时，用作为

7、p的估计来计算权数的估计。3、可决系数的非真实性。由于，被解释变量只取值1或0，不可能有估计的线性概率模型能很好地拟合这些点，所以，这时计算的会比1小许多，在大多数例子中，介于0.2与0.6之间。4、01不成立。克服这一问题可直接从对线性概率模型的估计，求出，用人工的方法定义当1时，取=1；当1时，取=1当0，则，因此，在其它条件不变的情况下，平均分数每增加一个单位，将导致接受新教学方法后成绩有所改善的发生比会相应提高。同理，对于变量TUCE也可作类似的讨论；由于PSI为虚拟解释变量，表示是否接受新教学方法，如果接受取1，否则取0，因此，在其它条件不变的情况下，当PSI=1时，则将会使接受新教

8、学方法后，学习成绩改善的发生比有所提高，而当PSI=0时，则将会使接受新教学方法后，学习成绩改善的发生比保持不变。2、用概率来解释Logit模型的系数除了解释变量对于对数发生比的偏作用外，有时也用事件发生的概率来解释模型中系数的偏作用。对事件发生概率的偏作用可以通过对Logit模型 求的偏导数来加以解释。其求导结果如下 于是，变量对事件发生概率的偏作用就等于该解释变量的系数与的乘积。因为永远为正值，所以偏作用的符号由决定，作用的幅度依赖于的幅度和对应于特定值的概率，而它与模型中所有其它解释变量有关。因此，不同于对发生比作用的解释，对事件发生概率的偏作用是随值的变化而变化的。这就需要在讨论变量对

9、事件发生概率的偏作用时，应将概率值计算出来后，才能解释其偏作用。3、预测概率与一般线性回归模型一样，根据Logit模型也可以获得事件发生的预测概率。以一个解释变量的Logit模型为例，如果我们知道参数估计和，并确定某一事件的，便可将其代入Logit模型，计算预测概率。计算公式为 在计算预测概率的基础上，还进一步计算在解释变量发生离散变化时预测概率的变化，这种方法被称为概率离散变化法。其计算公式是 另外，与一般线性回归模型一样，由一个解释变量的Logit模型也可扩展到多个解释变量的Logit模型，见下式 相应的对数发生比为 类似多元线性回归模型，在Logit模型中，由于多个解释变量可能会以多个不

10、同的尺度加以测量，这个时候要直接对比不同解释变量对发生比的影响是不行的，因此，需要对解释变量进行标准化变换，将解释变量和被解释变量由非标准化变量转换为标准化变量，从而，才直接对比各个解释变量对发生比的影响大小。其变换方法与多元线性回归模型一样。可参见王济川、郭志刚，Logistic回归模型方法与应用，高等教育出版社，2001年。第115页-第117页。第三节 Probit模型一、Probit模型及参数估计在前面已经看到，由S型曲线，可分别得到累积分布函数和标准正态分布函数，对于后者可建立一个二元选择的Probit模型。单一解释变量的Probit模型为 式中分别为标准正态分布的分布函数和密度函数

11、。与Logit模型的参数估计相似，对Probit模型的参数估计也可采用最大似然估计方法。有的教科书还介绍了一种运用效用行为选择理论建立Probit模型，并采用群组数据对Probit模型的参数应用OLS方法进行估计（参见Damodar N.Gujarati 计量经济学基础（第四版）下册，中国人民大学出版社，2005年，第569页-573页）。这里我们仅根据计算软件EViews的功能，介绍最大似然估计法对Probit模型参数的估计。在样本分布与总体分布一致的前提下，按随机抽样原则抽取样本，对n个样本，建立对数似然函数 上述模型的最大似然估计就是使该表达式有最大值时的的估计、。具体求解过程这里不再赘述。 例 在前述新教学方法的例子里，运用EViews软件里的Probit模型估计方法得到如下结果写出具体表达式为关于系数的解释可以从两个方面考虑。 1、用预测概率的方法 2、对概率的边际作用相关内容可参见，王济川、郭志刚，Logistic回归模型方法与应用，高等教育出版社，2001年。二、Logit模型与Probit模型的比较综合来看，在二分类被解释变量情况下，Logit模型与Probit模型的结果十分接近，这是因为生成Logit模型的累积分布函数和累积正态分布函数之间非常接近。尽管两种模型有相似的分布函数，但是，两种函数却有以下两点不同：一是函数的形式