复变函数与积分变换__第1章

1、复变函数与积分变换及应用背景复变函数与积分变换及应用背景 （莫里斯克莱恩（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992) ( (古今数学思想古今数学思想(Mathematical Thought (Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)from Ancient to Modern Times)的作者的作者, , 美国美国数学史家数学史家) ) 指出指出: : 从技术观点来看从技术观点来看, ,十九世纪最十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论独特的创造是单复变函数的理论. .这个新的数学这个新的数学分支统治了十九世纪分支统治了十九世纪, ,几

2、乎象微积分的直接扩展几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样统治了十八世纪那样. .这一丰饶的数学分支这一丰饶的数学分支, ,一直一直被称为这个世纪的数学享受被称为这个世纪的数学享受. .它也被欢呼为抽象它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一科学中最和谐的理论之一. .的概念的概念, 从而建立了复变函数理论从而建立了复变函数理论. 为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分数的积分. (1) 代数方程代数方程在实数范围内无解在实数范围内无解. 210 x （阿达

3、马）说（阿达马）说: 实域中两实域中两个个真理之间的最短路程是通过复域真理之间的最短路程是通过复域.(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究等问题的研究.函数理论证明了函数理论证明了应用复变应用复变(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5) 应用于计算渗流问题应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6) 应用于平面热传导问题、电应用于平面热传导问题、电(磁磁)场强度场强度. 例如：热炉中温度的计算例如：热炉中温度的计算. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计

4、算最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题从而研究机翼的造型问题.变换应用于频谱分析和信号处理等变换应用于频谱分析和信号处理等. (8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础复变函数理论也是积分变换的重要基础. 积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域和其他许多数学、物理和工程技术领域 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音

5、、图随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(9)变换应用于控制问题变换应用于控制问题. 在控制问题中，传递函数是输入量的在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的变换与输出量的Laplace变换之比变换之比.(11) Z变换应用于离散控制系统变换应用于离散控制系统.(12) 小波分析的应用领域十分广泛小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等地质勘探与地震预报等等.(13) 复变函数与积分变换的

6、计算可以使用为科学和复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件工程计算设计的软件(10) 本章引入复数的概念及表示式、复数本章引入复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念的运算、平面点集的概念. .1.1 1.1 复数复数1 1 复数的概念复数的概念2 2 复数的四则运算复数的四则运算3 3 复数的表示方法复数的表示方法4 4 乘幂与方根乘幂与方根1.1.1 1.1.1 复数的概念复数的概念 由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要, 人们引进了复数人们引进了复数. 例如，简单的代数方程例如，简单的代数方程210 x 在实数范围内无解在实数范围内无解. 为了建立代数方程的

7、普遍为了建立代数方程的普遍理论，引入等式理论，引入等式 21.i 由该等式所定义的数称为由该等式所定义的数称为1.i Re ,xz Im .yz 当复数的虚部为零、实部不为零当复数的虚部为零、实部不为零(即即 y=0, )时，复数时，复数 x+iy 等于等于 x+i0 为为实数实数 x ,而虚部不为零而虚部不为零(即即 )的复数称为的复数称为虚数虚数. 在虚数中在虚数中, 实部为零实部为零(即即x=0, )的称为的称为纯虚数纯虚数. 例如例如, 3+0i=3是实数是实数, 4+5i, -3i都都是虚数是虚数, 而而-3i是纯虚数是纯虚数. 0 x 0y 0y 数数 x+iy (或或 x+yi

8、)的的 , 并记做并记做 称形如称形如 x+iy 或或 x+yi 的表达式为复数，其中的表达式为复数，其中 x和和y是任意两个实数是任意两个实数. 把这里的把这里的x和和y分别称为复分别称为复显然显然, z=x+iy 是是 x-i y的共轭复数的共轭复数, 即即 .zzz共轭复数共轭复数 复数复数 x-iy 称为复数称为复数 x+i y的的 (其中其中x, y均为实数均为实数), 并记做并记做 . z1.1.2 1.1.2 复数的四则运算复数的四则运算注意注意 复数不能比较大小复数不能比较大小. . 设设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数是两个复数, 如果如果x1=x2, y1

9、=y2, 则称则称z1和和z2相等相等, 记为记为z1=z2. 复数复数z1=x1+iy1和和z2=x2+iy2的加、减、乘、除的加、减、乘、除运算定义如下：运算定义如下： (1) 复数的和与差复数的和与差)()(212121yyixxzz (2) 复数的积复数的积)()(2112212121yxyxiyyxxzz (3) 复数的商复数的商222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 2221zzzz 复数运算的性质复数运算的性质1221;zzzz1221.zzzz1. 交换律交换律 123123()();zzzzzz1231213().zzzzzzz2. 结合律结合律

10、3. 分配律分配律 12124. ;zzzz;2121zzzz 1122.zzzz 5. .zz 226. Re( )Im( ).z zzz7. 2Re( ),2 Im( ).zzzzziz123123()().zzzzzz解解12341zizi (34 )( 1)( 1)( 1)iiii ( 34)(43)2i 71.22i 21 zz71.22i 例例 1.1 设设 1234 ,1,zi zi 12zz求求与与12 .zz例例 1.21,ii 21,i 32,ii ii 4221,iii, 14 ni,14iin , 124 ni43,nii 441.ni 给定一复数给定一复数z=x+yi

11、, 在坐标平面在坐标平面XOY上存上存在惟一的点在惟一的点P(x,y)与与z=x+yi对应对应. 反之反之, 对对XOY平面上的点平面上的点P(x,y), 存在惟一的复数存在惟一的复数z=x+yi与它与它对应对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以因此可以用用XOY平面上的点表示复数平面上的点表示复数z.),(yx xyxyoiyxz 这时把这时把XOY平面平平面平面称为复平面面称为复平面. 有时简有时简称为称为z平面平面. 1.1.3 1.1.3 复平面与复数的表示法复平面与复数的表示

12、法 显然显然, 实数与实数与x轴上的点一一对应轴上的点一一对应, 而而x轴以轴以外的点都对应一个虚数外的点都对应一个虚数, 纯虚数纯虚数 与与y轴轴上的点上的点(除原点除原点)对应对应. 因此因此, 称称x轴为实轴轴为实轴, y轴轴为虚轴为虚轴. 0iy y 今后把复平面上的点和复数今后把复平面上的点和复数z不加区别不加区别, 即即“点点z”和和“复数复数z”是同一个意思是同一个意思. 有时用有时用C 表示表示全全体复数或复平面体复数或复平面.xyxyoiyxz P 复数复数z也可以用以原点也可以用以原点为起点而以点为起点而以点P为终点的向为终点的向量表示量表示(如图如图). 这时复数加、减法

13、满足向量加、减法中的平这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则行四边形法则. 用用 表示复数表示复数z时时, 这个向量在这个向量在x轴和轴和y轴上轴上的投影分别为的投影分别为x和和y.OP 把向量把向量 的长度的长度r 称为复数称为复数z的的 或称为或称为z的绝对值的绝对值, 并记做并记做|z|. OPxyxyoiyxz P显然显然 22,zrxy, , .zxyxzyz复数和与差的模的性质复数和与差的模的性质1212.zzzz1212;zzzz , 2121故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1z2z21zz xyo2z1z 从几何上看从几何上看, 复数复数

14、z2-z1所表示的向量所表示的向量, 与以与以z1为起点、为起点、z2为终点的向量相等为终点的向量相等 (方向相同方向相同, 模模相等相等). 复数的加、减运算对应于复平面上相应复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算向量的加、减运算. 0z 如果点如果点P不是原点不是原点(即即 ), 那么把那么把 x 轴的轴的正向与向量正向与向量 的夹角的夹角 q q 称为复数称为复数 z 的辐角的辐角, 记记做做Argz. OP oxy(z=x+iy)P(x,y)rz xyq q 对每个对每个 , 都有无穷多个辐角都有无穷多个辐角, 因为用因为用q q0 0表示复数表示复数z的一个辐角时的一个辐

15、角时, 0z 02 0, 1, 2,kkqqqq都是复数都是复数z=x+iy所对应向量所对应向量 与与x 轴正向的轴正向的夹角，这就是夹角，这就是z的辐角的一般表达式的辐角的一般表达式. OP Argarg2 0, 1, 2,.zzkk 有时有时, 在进行说明后在进行说明后, 把主辐角定义为满足把主辐角定义为满足的方向角；但当的方向角；但当z=0时时, |z|=0. 满足满足 的复数的复数z的的 称为主辐角称为主辐角qq(或称或称辐角主值辐角主值), 记做记做argz, 则则02qq的辐角的辐角, 这时上式仍然成立这时上式仍然成立. 当当z=0时时, Argz没有意义没有意义, 即零向量没有确

16、定即零向量没有确定 当当 时时, 有有0z tan Arg.yzx 在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,arctan,arctan,arctanarg说明：当说明：当 z 在第二象限时，在第二象限时，tan()tan()tanyxqqqarctan.yxq利用直角坐标与极坐标之间的关系利用直角坐标与极坐标之间的关系 cos ,xrq q sin ,yrq q 数数z的的三角表示式三角表示式. 再利用再利用Euler公式公式 cossin ,ieiq qq qq q 复数复数z=x+yi 可表示为可表示为 称为复称为复(cossin ),zriq qq q 复数复数z=x+y

17、i 又可表示为又可表示为 称为复数的称为复数的,izreq q 指数表示式指数表示式, 其中其中r=|z|, q q=Argz.例例1.3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122 ;2)sincos.55zizi 解解1)|1244.rzz在第三象限在第三象限, 因此因此235arctanarctan.3612q 因此因此56554cos()sin()466izie2) 显然显然, r = | z | = 1, 又又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此因此31033cossin1010izie例例1.4 写出写出 的

18、辐角和它的指数形式。的辐角和它的指数形式。132iz解：解：3 22argarctanarctan3,1 233z 2arg22,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize当当 0z 时时, ArgArg .zz 当当 时时, izreq q .izreq q 共轭复数的几何性质共轭复数的几何性质一对共轭复数一对共轭复数z和和 在在复平面的位置是关于复平面的位置是关于实轴对称的实轴对称的.zxyoiyxz iyxz 1.1.4 1.1.4 乘幂与方根乘幂与方根,sin(cos1111）q qq qirz 2222(cossin.zriqqqq）)sin(cos)sin(cos22211121q

19、qq qq qq qirirzz 121212(coscossinsin)r rqqqqqqqq12121212cos()sin().zzr riqqqqqqqq设复数设复数z1和和z2的三角表示式为的三角表示式为 1212(sincoscossin),iqqqqqqqq根据乘法定义和运算法则及两角和公式根据乘法定义和运算法则及两角和公式,于是于是.ArgArg)(Arg2121zzzz 1 21212,z zr rzz应该注意的是应该注意的是 中的中的ArgArgArg1 212()z zzz加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的 1 21211

20、22Arg Arg ,Arg.z zzzq qq qq qq q 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两两两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. .元素相加构成的集合元素相加构成的集合两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为q q2q qoxyr2r1r 2z 1z z1q q先将先将z1按逆时针方向按逆时针方向,sin(cos1111）q qq qirz 2222(cossin.zriqqqq）旋转角度旋转角度 , ,再将模再将模2q q变到原来的变到原来的r2倍倍

21、,于是于是所得的向量所得的向量z就表示乘积就表示乘积12.zz 利用数学归纳法可以证明：如果利用数学归纳法可以证明：如果 (cossin) 1,2,kkkkzriknqqqq1 21 212cos()nnnz zzrrrqqqqqq12sin().niqqqqqq特别地特别地, 如果如果12(cossin ),nzzzriq qq q (cossin).nnzrninq qq q 那么那么那么那么如果写成指数形式，即如果如果写成指数形式，即如果 1,2,kikkzr eknq q,izreq q 那么那么 12121 2,ninnz zzr rr eq qq qq q .nninzr eq q

22、 特别地，当特别地，当|z|=r=1时时, (cossin )(cossin).nnnnzrirninqqqqqqqq变为变为 cossin(cossin).nininqqqqqqqq cossin(cossin)nininqqqqqqqq称为称为De Movie公式公式（棣摩弗公式）（棣摩弗公式）. 那么那么De Movie公式仍然成立公式仍然成立. 设设1111(cossin),zriqqqq2222(cossin),zriqqqq如果定义负整数幂为如果定义负整数幂为 1,nnzz 当当 20z (即即 )时时,20r 2112211222222211zz zz zz zzrz zz112

23、122cos()sin().rirqqqqqqqq,111q qierz .)(212121q qq q ierrzz,222q qierz 则则如果将如果将z1和和z2写成指数形式写成指数形式 , 2121zzzz .ArgArgArg2121zzzz 于是于是 两个复数商的模等于它们模的商；两个复数两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.方根方根, 记做记做 或或 如果如果 nz1.nz(cossin ),zriqqqq),sin(cos iw 于是将其代入方程于是将其代入方程, 可得可得, nr ,coscosq q n

24、sinsin .nqq (cossin)(cossin ).nninriqqqq0r 当当 时时,对给定的复数对给定的复数z, 方程方程wn=z的解的解w称为称为z的的n次次满足以上三式的充分必要条件是满足以上三式的充分必要条件是1,nr 2 (0,1,2,),nkkqq其中其中 表示算术根表示算术根. 于是于是 1nr nkinkrzwnn2sin2cos1q qq q(0,1,2,).k 当取当取k=0,1,2,n-1时时, 对一个取定的对一个取定的q q, , 可可得得 n个相异根如下个相异根如下 ,sincos10 ninrwnq qq q,2sin2cos11 ninrwnq qq

25、q .)1(2sin)1(2cos11 nninnrwnnq qq q由三角函数的周期性由三角函数的周期性 122cossinnk nknknwrinnqqqq 12 2 cossin.nkkkriwnnqqqq 可见可见, 除除w0,w1,wn-1外外, 均是重复出现的均是重复出现的, 故故当当z=0时时, w=0就是它的就是它的n次方根次方根. 常取辐角主值常取辐角主值. 若用指数表示式若用指数表示式, 则当则当z=reiq q时时, 21 0, 1, 2, ,1 .iknnkwr eknq q 这这n个复数就是所要求的个复数就是所要求的n个根个根. 在上面的推导过程中在上面的推导过程中,

26、 可取可取q q为一个定值为一个定值, 通通例例1.5 求方程求方程 w4+16=0的四个根的四个根. 121442422 0,1,2,3 .kikiweek 4022 cossin2(1),44iweii 3413322 cossin2( 1),44iweii 因为因为-16=24e(2k+1) i , 所以所以w4=24e(2k+1) i . 于是于是 5425522 cossin2(1),44iweii 7437722 cossin2(1).44iweii w1, w2, w3, w4恰好是以原点为圆心、半径为恰好是以原点为圆心、半径为2的圆的圆一般情况下一般情况下, 1nnzz n个根

27、就是以原点为中心、个根就是以原点为中心、半径为半径为 1nr的圆的内接正多边的圆的内接正多边 形的形的n个顶点所表示的复数个顶点所表示的复数. |z|=2的内接正方形的四个顶点的内接正方形的四个顶点(如图如图).oxy1w2w3w0w例例1.6 求求41. i解解 因为因为12 cossin,44ii 所以所以84224412 cossin,(0,1,2,3)44kkiik 即即808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwi注注：四个根是内接于中心在原点半径：四个根是内接于中心在原点半

28、径为为21/8的圆的正方形的四个顶点的圆的正方形的四个顶点.2821+iw0w1w2w3Oxy例例1.7 设设121,.zzi 求求1 2;1 2.z zArgz z21 2;iz zie 12,Argzn22,2Argzm解：解：1 21222,Argz zArgzArgzkk m nZ 若取若取1,k 则则1,1,;nmnm 若取若取0,mn则则1.k 1.2 1.2 复平面点集复平面点集1 1 区域区域2 2 Jordan曲线、连通性曲线、连通性1.2.1 1.2.1 区域区域 1. 邻域邻域 z0是复平面内的定点是复平面内的定点, 满足不等式满足不等式|z-z0|d d的一切点所组成的

29、集合的一切点所组成的集合 z| |z-z0|0. z0的邻域实际的邻域实际上是以上是以z0为中心为中心, d d为半径的圆的内部所有点组为半径的圆的内部所有点组成的点集成的点集, 简记为简记为D(z0,d d). 由满足不等式由满足不等式0|z-z0|R (R0)的一切点的一切点(包括无穷包括无穷远点远点)的集合称为的集合称为无穷远点的邻域无穷远点的邻域. 用用R|z|0, 满足满足 00, .D zzzzE 3. 外点外点4. 边界点边界点 设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, z0是一个定点是一个定点, 若存若存在在z0的一个邻域的一个邻域, 使得在此邻域内的一切点均不使得在此邻域内的

30、一切点均不属于属于E, 则称则称z0是是E的的外点外点. 即存在即存在 0, 满足满足 10, .D zEzzzE 设设E是复平面上的点集是复平面上的点集, z0是一个定点是一个定点, 若若z0的任何邻域内都含有属于的任何邻域内都含有属于E的点和不属于的点和不属于E的的点点, 则称则称z0是是E的的边界点边界点 . 即对任意的即对任意的 0, 存在存在 z1, z2 D(z0, ), 满足满足 12, .zE zE 显然显然, E的内点属于的内点属于E, 而外点不属于而外点不属于E, 但但边界点既可能属于边界点既可能属于E, 也可能不属于也可能不属于E. E的边界点的全体所组成的集合称为的边界

31、点的全体所组成的集合称为E的的边界边界, 记做记做 E. 5. 开集开集 设设G是复平面上的点集是复平面上的点集, 如果如果G 内每一点都内每一点都是它的内点是它的内点, ,则称则称G 为为开集开集. . 例例1.8 设设z0是定点是定点, r 0是常数是常数, 则则z0为中心为中心, 以以r为半径的圆的内部点为半径的圆的内部点, 即满足不等式即满足不等式 |z-z0|r 的一切点的一切点z所组成的点集所组成的点集 (z0的的r邻域邻域) 是是开集开集. 当当 0 rR (r 和和 R 均是常数均是常数) 时时, 满足不等式满足不等式r |z-z0|R的一切的一切z所组成的点集也是开集所组成的

32、点集也是开集. 但满足不等式但满足不等式 r|z-z0| R的一切点所组成的的一切点所组成的点集点集不是开集不是开集. 因为在圆周因为在圆周|z-z0|=R上的点属于上的点属于集合集合r|z-z0| R, 但这些点不是它的内点但这些点不是它的内点, 而是而是边边界点界点. 在圆周在圆周|z-z0|=r和圆周和圆周|z-z0|=R上的点都是点上的点都是点集集 r|z-z0|R和和 r|z-z0| R 的边界点的边界点. 两个圆周上的点都不属于点集两个圆周上的点都不属于点集r|z-z0|R, 内内圆周圆周|z-z0|=r不属于点集不属于点集r|z-z0| R, 外圆周外圆周|z-z0|=R属于点集

33、属于点集r z(3) 角形域角形域:;arg21 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo1.2.2 1.2.2 Jordan曲线、连通性曲线、连通性(1) 连续曲线、连续曲线、 Jordan曲线曲线( )( )( )().zz tx tiy tt 参数方程参数方程 x=x(t), y=y(t) ( t ) 在在XOY平面平面上表示一条曲线上表示一条曲线C. 把把XOY平面视为平面视为复平面复平面时时, 曲曲线线C的参数方程可表示为的参数方程可表示为 如果如果x=x(t), y=y(t) ( t )为连续函数时为连续函数时, 则则称

34、曲线称曲线C为为连续曲线连续曲线. 曲线曲线C 在复平面上的参数方程不仅确定了在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状曲线的形状, 实际上还给出了曲线的方向实际上还给出了曲线的方向, 也就也就是说是说, 曲线是沿着曲线是沿着t 增加的方向变化的增加的方向变化的. 复平面上对应于复平面上对应于z( )=x( )+iy( )的点称为曲的点称为曲线线C的的起点起点, 对应于对应于z( )=x( )+iy( )的点称为曲线的点称为曲线C 的的终点终点. 若曲线若曲线C的起点与终点重合的起点与终点重合, 即即z( )= z( ), 则称则称C是是闭曲线闭曲线. 例如例如, z=z(t)=r(cost+i

35、sint) (0 t 2 )是一条闭是一条闭曲线曲线, 因为因为z(0)=z(2 )=r. 对曲线对曲线C的参数方程的参数方程( )( )( )().zz tx tiy tt做变量代换可得做变量代换可得 () .zztt 这两个方程所确定的曲线形状相同这两个方程所确定的曲线形状相同, 起点和终点互起点和终点互易易, 从而方向相反从而方向相反. 用用C 表示与表示与C形状相同、方向相反的曲线形状相同、方向相反的曲线. 如果如果t1 t2, 有有z(t1)=z(t2), 则称则称 z(t1)=z(t2) 是曲线是曲线z=z(t)的的重点重点. 如果曲线如果曲线C: z=z(t) ( t ) 除起点

36、与终点外无除起点与终点外无重点重点, ,即除即除 t1= , t2= 之外之外, 如果如果t1 t2, 有有z(t1) z(t2), 则称曲线则称曲线C是是简单曲线简单曲线. 连续的简单闭曲线称为连续的简单闭曲线称为Jordan曲线曲线. 任何任何Jordan曲线曲线C将将平面分为两个区域平面分为两个区域, 即内即内部区域部区域(有界有界)与外部区域与外部区域(无界无界), C是它们的公共边是它们的公共边界界. xyo内部内部外部外部边界边界下列曲线是否为简单闭曲线下列曲线是否为简单闭曲线? ?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭( )z ( )z ( )z

37、 ( )z ( )z ( )z ( )z ( )z 关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 设设C 为平面上给定的一条连续曲线为平面上给定的一条连续曲线, ,如果选如果选定定 C 的两个可能方向中的一个作为的两个可能方向中的一个作为正向正向, , 则称则称C为为有向曲线有向曲线. . 如果从如果从A 到到 B 作为曲线作为曲线 C 的的正向正向, 那么从那么从 B 到到 A 为为曲线曲线 C 的的负向负向, 就是就是C.xyo除特殊声明外除特殊声明外, 正向总是指从起点到终点的方向正向总是指从起点到终点的方向.CABCAB Jordan曲线曲线C有两个方向有两个方向, 当点当点z沿着沿着C 的

38、的一个给定方向变化时一个给定方向变化时, 若若C的内部出现在点的内部出现在点z前前进方向的左侧进方向的左侧, 就规定这个方向是正的就规定这个方向是正的; 否则否则就说是负的就说是负的. 如果没有特别如果没有特别说明说明, 约定约定Jordan曲线的正向为这条曲线的正向为这条曲线的方向曲线的方向.xyoPPPP 对于对于圆周曲线圆周曲线可以简单地说可以简单地说, 逆时针方向逆时针方向为曲线的为曲线的正向正向, 顺时针方向顺时针方向为曲线的为曲线的负向负向. (2) 光滑曲线光滑曲线 如果曲线如果曲线C参数方程中的参数方程中的x(t)和和y(t)都在都在 , 上存在上存在连续的导函数连续的导函数,

39、 且对任何且对任何t , , 都有都有 220,xty t 称称C是一条是一条光滑曲线光滑曲线. 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为称为分段光滑曲线分段光滑曲线. .xyoxyo 能求出长度的曲线称为可求长曲线能求出长度的曲线称为可求长曲线. 分段光分段光滑曲线是可求长曲线滑曲线是可求长曲线. 光滑曲线光滑曲线分段光滑曲线分段光滑曲线(3) 单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域 设设D是复平面上的一个区域是复平面上的一个区域, , 如果位于如果位于D内内的任何简单曲线的内部区域也都包含于的任何简单曲线的内部区域也都包含于D, ,则则称称D为为单

40、连通区域单连通区域（内部没孔）（内部没孔）. .若区域若区域D不是单不是单连通区域连通区域, ,则称它为则称它为多连通区域多连通区域（内部有孔）（内部有孔）. .单连通域单连通域多连通域多连通域 例例1.10 指出下列不等式所确定的点集指出下列不等式所确定的点集, 是否有是否有界界? 是否区域是否区域? 如果是区域如果是区域, 单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的?21(1) Re()1;(2) arg;(3)3;3zzz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通区域无界的单连通区域(如图如图).解解 (1) 当当 时时,zxiy(4) 114; (5) 111.

41、zzzz(2) arg.3z ,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).1(3)3.z ,3131 zz周外部周外部, 无界多连通区域无界多连通区域(如图如图).是以原点为中心是以原点为中心, 半径为半径为 的圆的圆13(4)114.zz表示到表示到1, 1两点的距离之两点的距离之表示该椭圆的内部表示该椭圆的内部, 这是有界的单连通区域这是有界的单连通区域(如图如图).和为定值和为定值 4 的点的轨迹的点的轨迹, 114zz因为因为所以这是椭圆曲线所以这是椭圆曲线.114zz(5)111.zz 111 zz222222( cos1)sin ( co

42、s1)sin1,rrrrqqqqqqqq22(2 cos1)(2 cos1)1,rrrrqqqq1)cos(4)1(222 q qrr2 2cos2 .rq q内部内部. 这是有界集这是有界集, 但不是区域但不是区域.cossin .zrirqqqq令令22cos2rq q 是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线(也称双纽线也称双纽线).111zz表示双纽线的表示双纽线的 例例1.11 满足下列条件的点集是否区域满足下列条件的点集是否区域? 如果如果是区域是区域, 是单连通区域还是多连通区域是单连通区域还是多连通区域?(1) Im3;z 这是一条平行于实轴的直线这是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123

43、x123456y不是区域不是区域.(2) Re2;z 它是单连通区域它是单连通区域.这是以为这是以为 右边界的半右边界的半Re2z 平面平面, 不包括直线不包括直线Re2.z (3) 012;zi 它是多连通区域它是多连通区域.(4) arg().4zi 它不是区域它不是区域.这是以这是以 为圆心为圆心, 以以2为为(1) i半径的去心圆盘半径的去心圆盘.这是以这是以i为端点为端点, 斜率为斜率为1的半的半射线射线, 不包括端点不包括端点i. 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示何表示法的一种，另外还可以用球面上

44、的点表示复数复数. 设设S S是与复平面是与复平面C切于原点切于原点O的球面的球面. 过原点过原点O做垂直于平面做垂直于平面 C的直线的直线, 与与S S的另一交点为的另一交点为N. 原原点点O称为称为S S的南极的南极(S极极), 点点N称为称为S S的北极的北极(如图如图). xyNOS1.3 1.3 扩充复平面及其球面表示扩充复平面及其球面表示 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面我们用球面上的点来表示复数上的点来表示复数. 球面上的北极球面上的北极N不能对应复平面上的定点不能对应

45、复平面上的定点, ,当当球面上的点离北极球面上的点离北极 N 越近越近, ,它所表示的复数它所表示的复数的模越大的模越大. .xyPNOS),(yx1P),(11yx 规定规定: 复数中有一个唯复数中有一个唯一的一的 “无穷大无穷大” 与复平面与复平面上上的无穷远点相对应的无穷远点相对应, 记作记作 . 球面上的北极球面上的北极N就是复就是复数无穷大的几何表示数无穷大的几何表示.xyNOS 不包括无穷远点的复平面称为有限不包括无穷远点的复平面称为有限复平面复平面, ,或简称复平面或简称复平面. .包括无穷远点的复平面称为包括无穷远点的复平面称为扩充扩充复平面复平面. 球面上的点与扩充复平面的点构成了一一球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应对应, , 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面. . : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 对于复数对于复数的无穷远点而言的无穷远点而言, , 它的实部、虚部它的实部、虚部, ,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义, , 规定规定它的模为正无穷大它的模为正无穷大. .(); (1) 加法加法(); (2) 减法减法(0); (3) 乘法乘法0,(),(0).0 (4) 除法除法第一章第一章 完完复复数数平面表示法平面表示法定义表示定义表示