GL《普物-力学》Ch.7-3,4-刚体动力学应用.

1、转动正向平动正向(f = |A/72)3 ntvn刚体动力学应用习题（续）例1如图一质量为m的子弹，以水平初 速度片）射入一静止悬于顶端匀质棒的 下閘穿出棒后子弾速度损失了 3/J （知棒长为/,质量为不计O点处摩 攥及空气阻力）求:子弾穿出棒后棒的角速度e 解：取平动、转动正向如图以/表示棒对子弹的阻力大小 对子弹（可视为质点穿棒过程可应用动量定理以厂表示子弹对棒的作用力大小（其反作用力大小即为前述的门 在子弹穿棒过程中对棒（视为刚体）应用角动量定理Je rdf = Ifdt ='(& filt = cd = 1(d ngfcu = i血i(2)联立（2）两式,可解得所求角速

2、度为3mvJ 9mvd)=47 AMI例1另一解法：取子弹与棒为系统，在子弾穿棒过程中，系统所受合外力矩为零,则对系统应用角动*守恒求解:=Ml2a) + ml3%则解得9加4MI可见°应用角动量守恒求解较为簡便例1题的思考:1取子弹与棒为系统夷机械能是否守恒？（否）2可否对子弹与棒为系统采用的动量描述？（否） 可否对该系统应用水平方向动量守恒？（否）3 若将棒换成软细轻绳，系一质量为M的重物（该重物的尺度远小于绳长），取子弹与该重物为系统，在二者碰 撞过程中，可否对其在水平方向上应用动量守恒？（可）例腐辟課醐曲犧计定求:当杆与水平线成角时杼质心的速度解法I;应用刚体定轴转动的动能定

3、理求解以杆为研究对象其受重力7肚和转轴 的作用力N 由于转轴光滑,W不作功， 只有加g作功.当杆从水平位置转至 题设的位置时電力矩之功为：A = 1/" =列 0 =扌叱 sin&在此过程，杆的转动动能的增量为AFAr =Ia)2-0细杆转动过程重力矩做功，由转动动动能定理A =则有喧bine治2 2 将/ = |mZ2代入上式，可得ve = -0)= 3 J3g/$in&例2题解法II：应用机械能守恒定律求解取杆与地球为系统由于轴光滑则作用于杆的外力，v不作功.而重力为系统的保守内力，所以杆与地球系统的机械能守恒取杆水平位置为零势能位，系统初始机械能为fio=<

4、;>当杆与水平线夹角为时,系统机械能为E（ff） = 2|ind由机械能守恒有£/少_"殳沏& = 0 => e（0）= J节址“0则题目要求的细杆的质心速度为88取零势位如图所示可见应用机械能守恒定律比用转动动能定理求解简便Gl.lMgp 力学-ch77例3 如图所示,一匀质细棒可绕过其o竭的水平定轴转动，知棒 长为J质量为皿，开始时将棒置于水平状态之后棒由静止 摆下（不计廉擦阻力）求:棒摆至铅直状的瞬间棒的角速度；棒的转动动能;棒质心C的加速度 解（"导岀棒的角速度取棒与地球为系统则初始时系统机械能为俎司（心抑）显然系统的机械能守恒8设棒至

5、铅亶位置时的角速度为似则系统机械能为式中" =由机械能守恒£ = £0,则解得解(2)：棒摆至铅直状的瞬间，棒的转动动能为1 2I=mg -注意:刚体棒在作定轴转动，无平动，不能把此捧的动能写成 平动动能表达式解(3):求出棒质心C的加速度因为棒在铅直位置处合外力矩为零则角加速度P=0由线量与角量的关系可得棒在铅直位置处质心C的加速度为;还可以由质心运动定理求岀棒在铅直位置时.转轴对棒的 反力几和卩十135 Fz =0 , Fy = mg + -mg = -mg例丄水平放置的质量为杯长为/的匀质细杆上套着一质量也 为皿的套管1H可视作质点)套管用细线系住至铅直光滑

6、固定 轴()"的距离为/ /2,杆和套管所组成的系统以角速度(绕 轴转动，如图示若在转动中细线突斷，套管将沿杆滑动在套管 滑动过程中该系统的转动角速度少(“尸？I i0 m tn I , (知杆本身对O"轴的转动惯量为Uli 2/3 )=1解:取细杆与套管为系统系统角动量守恒oxLt =(|/nZ2 +|/nZ2)d?0, L/z =(mx2 + |in/2)a>(x) 由角动量守恒，有LfLu(|/n/2 + tnl1 )a)9=(mx1 -b ywZ2)o>(x) 甲在喬管滑动过程中，所求系统的转动角速度为/ 、 f 厂 A 2力43°/34(3/

7、 + 厂)GL*-力学(、h.7例6如图,一靜止的匀质细棒长为乙、质量为M可绕通过棒的端点 且垂直于棒长的光滑定轴o在水平面转动转动惯量为MZ?/3. 一质量为八速率为u的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射 入并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为叨求;此时棒的角速度解:取棒与子弹为系统,子弹贯穿棒的过程系统角动量守恒取转动正向如图有：jnv = hn 4-(Ml a)23子弹穿过棒后棒的角連度为3mv3 2ML转动正向0肿<)1 =T1水平面例7 .恒星晚期可发生超新星爆发星体外围大物质喷向太空星体 内核向内塌缩，可能形成极致密、尺度很小的中子星设某恒星绕 自转轴每巧天转一周其内核半径

8、&产2X108 (m).塌缩成半径为： /?=6X10rn)的中子星.设塌缩前后的恒星体内核均可视作匀质 球体且塌缩前后质量近似相等求:中子星的角速度解:在太空恒星塌编过程受的外力矩可不记，可视其角动量守恒，则=> 0 =如(評G)«3(rcv-s_1)G)» 2592()0 (rc、/ 天)人如=巾=血=人妬 球体对过其直径转轴的转动惯量为I = n IJ = R：用由题目知 叫=(ncv-s_,)°45x24x6()x60GW>-力学一 Ch.7例&如图匀质细棒“ ,111人可绕正交过棒O端的水平光滑轴转动 将棒从水平位置自由释放欄

9、在铅直位置与地面质量也为加 的物体相撞.撞后，物体沿水平地面滑行S后停比(该物与 地面的摩掠系数为“)求:碰撞后棒的质心C距水平地面的最大高度"说明撞后棒向左或向右摆动的条件解:过程I棒与地球系统机械能守恒棒自由摆落过程(二e为碰撞前瞬时棒的角速度棒与物体系统碰st过程角动*守恒过程11 一棒与物体组成的秦统的碰搔过程系统受的外力矩可不记，系统角动量守恒记:撞后物体获速度匕棒的角速变为启ml2 )<p = ( nil 2)d?'+ Im V启仇表明棒摆动方向与撞前一致此仇表明棒摆动方向与撞前相反171716潸动正向v物体滑动过程-冲ig = ma=>«

10、= -ms (匀变速 则有0 V'=勿3联立以上四式，可得撞后棒的角速度为討=" 3j2gS)/?由上式可见当J > 6(ps)时，a)r> 0,棒左摆 当;/ v 6(片)时，0,棒右摆17过程IV:棒继续摆动过程，捧与地球系统机械能守恒I(D12 二丄(/m/2)63>'2 = IllgH22 3GL.普毎力学-Ch .7Z1GL.普毎力学-Ch .7Z1解得棒的庾心c距水平地面的最大髙度"为GL.普毎力学-Ch .7Z1GL.普毎力学-Ch .7Z1解:分两个过程进行考虑(1)子弹与杆碰撞过程OGl.普翎.力学乂生7例9某匀质细杆长的

11、为/、质量为心可绕光柑轴。在铅直面内摆动当杆静止时，一颗质*为叫的子弹水平射入与轴相距为“ 处的杆内并留衽杆中求;能够使杆偏转到432，子弹的初速为多少取子弹与细杆为系统在碰撞过程该系统角动量守恒amQvQ = I(d(1)I =叫卩'(2)子弹随杆一起绕O轴转动过程取子弹、细杆及地球为系统则该过程 系统的机械能守恒取零势位如图则：= 0) = |Za>2 +/ng(a-f)E =加胡d(l CO$&)+ 2g(a -yCOS0)由机械能守恒，有£ft=E( = 30v)打 / + mg(a-|) =一 *)+mg (a 一 £ x 初(3)联立(6

12、、(3)式，可得使杆停转到彷30'子弹的初速为)(/«/ + 2wfoa)(/r/2 十 3ma1)Z0GL普纵力学-Ch7例1心如图示d、B两飞轮的轴杆可由摩攥啮合器连接A轮的转动 惯量为人=10(畑血)，初始B轮静止,A轮以心二6(M)(Mnin)转动, 然后使A与B连接则B轮得到加連，而A轮擁連直到两轮转 速都等于”=200(Mniii)为止求:B轮的转动惯量两轮在啮合过程中机械能的变化GL.普毎力学-Ch .7Z1GL.普毎力学-Ch .7Z1&_=_=三=_*=_1|£|BS三_=云三=_APM1 二s_=_=_g_=H三冒一E三=三三_三GL.普

13、毎力学-Ch .7Z1解收两飞轮与啮合辭为系统，在啮合过程中係统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩按力前者对转轴的力矩为零后 者对转轴的力矩为系统内力矩系统不受其他外力矩作用系 统的角动量守恒则有人叫=(ZA+/B>®则题目所求的B轮的转动惯量为3=；2昨小解:在啮合过程中，摩援力矩作功廉统机械能不守低部分 机械能损失转化为热量，则题目所求的机械能的交化为 AE = (JA + 几0 _1山2 = _i.32x(J) 2' f 2 A(；1普检-力学Yh7解:取d羸分析力如图,例11®质豪为/儿长为I的匀质细杆铅直放置在光滑水平地面上. 不计空气摩按杆由静止倒

14、下时求地面对杆端的支撑力取杆与地球为系统.该系 统机械能守恒.取地面为 零势能位,当杆与铅直线 二成臼角时、有：(；1普药力学-Ch723(；1普药力学-Ch723(；1普药力学-Ch72324水平方向合外力为零，则细杆质心C铅直下落考察细杆着地点A的运动；A点以大小为血2的线速度绕质心转动， 其铅直向上的分量为&或訥2同时，随细杆质心Q以叹铅直下落，显然A点 被限制在水平面上运动其铅直速度为0,则:vc =(la)sn(/)/2则有 a)=2vc fl sin"对细杆有质心运动定理N-mg-mac则有 N =rng-inac (3)GL.Mh 力鼻('b.7(2)式

15、代入(1)式，有；"堆-550) = /(I +22 3sin 0=>z3g/(l -cos0)sin2r 1 + 3sin:_ </v3glsin0(sin? 0 + 3sii? 0+2cos 0 - 2cos? 0)h 2q吋丽“dv 3glsin(sin2 0 + 3sin4 Q + 2cos& - 2cos2 0) 8n “ =f dt(l + 3sin20)22 气3§(8111 0 + 3sin4 0+2cos - 2cos2 6)z a 1 xa ,(=)e(1+3血力刖2气 IMGL.IMiP 力学-ch7上式代入(3式，得滑倒时杆A端受地面的支撑力