数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用

1、第六章微分中值定理及其应用教学目的：1 .掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础；2 .熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3 .掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4 .使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能 根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5 .会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸 性；难点是用辅助函数解决问题的方法。6 学时数：14学时§ 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微

2、分学的应用打下坚实 的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的 证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点：中值定理。教学难点：定理的证明。教学难点：系统讲解法。一、引入新课：通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联 系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌 握了 “如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什 么用？俗话说得好：L欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数 的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课一一第 六章 微分中值定理及其应用§1拉

3、格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念：1 .极值：图解，定义（区分一般极值和严格极值.）2 .可微极值点的必要条件：Th （ Fermat ）（证）函数的稳定点，稳定点的求法.（二）微分中值定理：1 .中值定理：叙述为Thl.（证）定理条件的充分但不必要性.2 . /"range中值定理：叙述为Th2.（证）图解.用分析方法引进辅助函数，证明定理.用儿何直观引进辅助函数的方法参 阅1P157.Lagrange中值定理的各种形式.关于中值点的位置.推论1函数/。）在区间I上可导且尸三0, 3 丁为I上的常值函数.（证）推论2函数/。）和g（x）在区间I上可导

4、且尸三 g'5）, 3 /w = gW + c,xeI.推论3设函数在点西的某右邻域U+ 口0）上连续,在0+（而）内可导. 若Em， n +0）存在，则右导数力（飞）也存在,且有工（%） = /'（丽+0）. （证）但是，丁'。0+0）不存在时，却未必有力（飞）不存在.例如对函数f 2 . 1 白 x sin , “0, 07 x = 0.虽然尸（0 +。）不存在,但了却在点x = 0可导（可用定义求得,（0）=0）.Th （导数极限定理）设函数/"）在点通的某邻域UO。）内连续，在0（勺） 内可导.若极限如了存在，则/十为）也存在,且八勺）= lim八初（

5、证） 不T丽III该定理可见,若函数/在区间I上可导，则区间I上的每一点,要么是导函 数尸的连续点,要么是,的笫二类间断点.这就是说，当函数/在区间I 上点点可导时,导函数，口）在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 （导函数的介值性）若函数了在闭区间见句上可导，且 片曲）纯e Q砌3 f © = 0.（证）Th （ Darboux ）设函数/在区间凡句上可导且尸x/.若 化为介于3）与之间的任一实数，则 至/，寸=k.（设/方/（0对辅助函数以力=/（x）-应用系4的结果.）（证）3 . Gue加中值定理：Th 3设函数/和g在闭区间凡切上连续，在开区间(区切内可导， f和g在(凡

6、句内不同时为零，乂 g(a) f g(b). WJit /B)内至少存在一点, 使73).证 分析引出辅助函数.=.一/一)二一%.验证 巴力在 g-g(a)回旬上满足斤定理的条件，n m孑£(为，m?一*y g'©=o.g(p)-gw必有 g"(f)?o,因为否则就有 尸© = o.这与条件“尸和g在3幼内 不同时为零”矛盾.=Qu。心中值定理的几何意义.(三)中值定理的简单应用：4 .证明中值点的存在性例1设函数,在区间，,可上连续，在(即功内可导，则mjeg,瓦)， 使得=a证在QuMr中值定理中取g(x) = In x.例2 设函数/在区

7、间凡切上连续，在(外句内可导，且有/=/3)=0. 试证明：3 /of=0.5 .证明恒等式：原理证明：对 Vxe R, 有 arcigx + arcctgx =.例4 设函数/和g可导且丁小，又/ * =。,则 / gg（M=（x）.（证明（5）' = 0.）例5 设对称尤MuR,有I/O + /2）-了14M2,其中於是正常 数.则函数/是常值函数.（证明 尸=0 ）.6 .证明不等式：例6 证明不等式：为0时，一< arctgh < h .1十标.例7 证明不等式：对*3,有<h（l + -）<l.»+1 w n7 .证明方程根的存在性：证明方程

8、sin才+tcost =0在（Q厄）内有实根.例8证明方程4苏+则？+ 2" =以+"二在（0,1）内有实根.§ 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）教学目的：1 .掌握讨论函数单调性方法；2 .掌握UHospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。教学要求：1 .熟练掌握fHospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限;2 .深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等 式。教学重点：利用函数的单调性，UHospital法则教学难点：UHospita

9、l法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。教学方法：问题教学法，结合练习。Th 1（/Hospital 法则）（证）应用技巧.26/251 + cos xhmcos x1r十 2"lim -5- 2。加（1+铲） 缥当.（作代换“6或利用等价无穷小代换直接计算.）2,1x sin lim邑.（7/Hospital法则失效的例）Q sin xco.-型:coTh 2（7/Hospital 法则）（证略）limIS： 关于/，广加乂当左一时的阶.例7 lim ''皿''.（"Hospital法则失效的例） 29 X三.其他待定型：o,8, r

10、, 0°, co。，8-co.前四个是塞指型的.例 8 lim. xln x. r-»0+例 9 lim (sec x -Zgx).IT例10 bm /. jttCT例11lim 1+ 例12例13gW 例14设/= -yX H 0'且g(0) = /(0)=0,=3,求才(Q).x = 0.3-0解"0) =lim /二/=hm“萼kt。xxf 元kt。 天”0°r g'。)1r gt) - g'(0) 1 vns 3= Lim= lim=区 CO)=-.e 2x2-Q jc22§ 3 Taylor公式(2学时)教学目

11、的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。教学要求：1 .深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公 式及其之间的差异；2 .掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。3 .会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代 Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。教学重点：Taylor公式教学难点：Taylor定理的证明及应用。教学方法：系统讲授法。一.问题和任务：用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数，希望找一个多项式逼近到要求 的精度.2 .Taylor 16851731 ）多项式

12、：分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义（Taylor多项式 2（力及ifeclaur力2多项式）例1求函数八五）=/ -4, +2在点沟=2的Taylor多项式.11P174.（留作阅读）3 .叁rlor公式和误差估计：称兄=力）-2为余项称给出心的定量或定性描述的式八力=2十凡为函数的Taylor公式.1 .误差的定量刻画（整体性质） 为以“中值定理：Th 1设函数/满足条件:i在闭区间七句上/有直到神阶连续导数;ii在开区间（的切内/有+1阶导数.则对烧步），若小的使 八乃73）十八陵”）+ 5*幻2十十上学5-小十 2!m+-严=+ a -叫 （"D!ts 后！5

13、 + 1）!证1P175176.称这种形式的余项 凡（力为Z&sse型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为凡 3 =广，% - “严， © 8，D a = 0 H寸，称上述Taylor公式为Maclaurin公式，此时余项常写为凡=/血）（的产I0 6 1.”（!2 . 误差的定性描述（局部性质） 尸ew。型余项：Th 2若函数/在点以的某邻域US）内具有阶导数，且了同（）存在,则人乃73）7'陞"）十字（1-4十十£2"s_4十 2!m。（1f户），xg

14、UW.证 设 凡=/（乃-月，=应用 厂的皿£31法则匕7次，并注意到了同存在,就有011m与上 出”()/I)-产D-严仪”)limlim ；- - lim GQ)22 G】) 4但一1)20一lr （尸-尸八叫、n=Jim -/ （a） = U .茬！ux-&称 凡口）=。（1一4）"）为Taylor公式的尸eano型余项，相应的Maclaurin 公式的代印:。型余项为 凡（1） =。（/）.并称带有这种形式余项的Taylor公式 为具Peano型余项的Taylor公式（或Maclaurin公式）.四.函数的Taylor公式（或的claurz力公式）展开：1.

15、直接展开：例2 求了=©"的Maclaurin公式.2« 9X以=i + £ J +U +尸】,1! 2! 讯(« + 1)!例3 求/（兀）=sin工的Maclaurin公式./，产-1sin x =1 + 1)W-L + R2w (a),3!5!(2w-l)!0< <1.2W4-1& 2A(/=-sin(2 %+1)!例4 求函数/=ln（l + X）的具尸eano型余项的如daur力2公式.解严)=(-1严言/内(0) = (7 广】(题-1).h(l+元)=无十一十(T)"十。(三). 23n例5 把函数/

16、(x)=£gx展开成含一项的具尸mao型余项的的claurE公式.( 1P179 E5,留为阅读.)2.间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式.例6把函数了=sin”展开成含”项的具尸加no型余项的松claur% 公式.M/ 人解 Sin 3T = X -十一一十。,3!51 7!sin x2-+3!%10产517!+ 5.例7把函数了(N)=cos，展开成含一项的具尸6包2。型余项的Maclaurin/产 6解 COS X = 1 -十-+<?( A6), 214!6!4 4>6 6cos 2x = 1 - 2x2 +- + o( x°

17、;),(注意，°(丘)=。(幻，方 0 )COS2 A = (1 + cos 2a) = 1 - x2 + 上二"二 +«(6).2316!例8先把函数/(工)=一展开成具尸eam7型余项的也aclaur力2公式.1 + x利用得到的展开式，把函数g(x)=-在点沟=2展开成具尸eano型余项 3十5x的Taylor公式.解严:(二羽,/Roald”./(x) = l-x + x2 -X3 + (-1T/ +。(犬)；= 1 =1 13+5x 13+55-2)马上 5*-2)-13萨-泰-2)十*)&-2y-十(-1)*)32)+。(1-2月例9把函数$以

18、展开成具尸eano型余项的Jfeclaur力a公式，并与sin x的相应展开式进行比较.=1-£ + - 1! 2!五.Taylor公式应用举例:1 .证明它是无理数:例10证明它是无理数.证 把s"展开成具/aoange型余项的的claur力2公式，有0<1.4-+ 4- - + - - 4- 4-'2! 3!«! (« + l)r反设它是有理数，即e =乙8和q为整数），就有划？=整数+ q题十1对取g,旬。=娥工也是整数.于是，三 =42-整数二整数一整数二整 qw+1q数.但由0/1,=。滔©3,因而当冏3时，三不可能是整

19、数.矛盾.以十12 .计算函数的近似值：例11求a精确到0.000001的近似值.M1 1 111，年0<1.解？ = 1+1+ 一+ + 一,2! 3!«! (« + !)!33注意到 0< 欠=0</ <&< 3,有阳式 .为使<0.000001,(« + !)! (« + 1)!只要取« > 9.现取«=9,即得数6的精确到0.000001的近似值为l + l+l + l+. + 1 2,718281.2! 319!3 .利用Taylor公式求极限：原理:例求极限照中二,（,。）

20、.解 £ =产=1 十In. Win, +")， 2=l-xlna + ln2+c(j2)； 2aK +12-* -2 = j2 In 2 ,2 + 0( x2).”+f_2 1r x2n2 a + °(x2) . 2lim= 31m= m a .-0/KT。/4.证明不等式：原理.例13证明：五KO时，有不等式/)l+x.3P130 E33.§4函数的极值与最大（小）值（2学时）教学目的：会求函数的极值和最值。教学要求：1 .会求函数的极值与最值；2 .弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌 握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活

21、运用第一、第二充分条件判定函数的 极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条 件，也应用基本的了解。教学重点：利用导数求极值的方法教学难点：极值的判定教学方法：讲授法+演示例题一.可微函数单调性判别法:1 .单调性判法：Th 1设函数/在区间（a内可导.则在（凡幼内/（或、） o在瓦）内尸2 0 （或，0）.证 =）今）（证式2 0.）Th 2设函数在区间（区句内可导.则在（区句内/W / / （或' 、）Oi对,e（a,6）,有尸20（或40）;ii在（。）内任子区间上/W f 0-2 .单调区间的分离:/0）的升、降区间分别对应，口）的非负、非正值区 间.

22、3 1分离函数了=/-彳的单调区间.更一般的例可参阅4P147148 E13, 14.二.可微极值点判别法:极值问题:极值点，极大值还是极小值，极值是多少.1 .可微极值点的必要条件：Fermat定理（表述为Th3 ）.函数的驻点和（连续但）不可导点统称为可疑点，可疑点的求法.2 .极值点的充分条件:对每个可疑点，用以下充分条件进一步鉴别是否为 极值点.Th 4 （充分条件I）设函数了叵）在点 而连续，在邻域（与-花飞）和 （而十5）内可导.则i>在®-比飞）内尸<0,在（沟，十5）内尸>0时，一而为 点口的一个极小值点；ii>在g-讥飞）内在（西uo十刃内尸

23、<0时，今 而为 点旬的一个极大值点；iii> 若/口）在上述两个区间内同号，则而不是极值点.Th 5 （充分条件11“雨水法则”）设点 而为函数/的驻点且1n/）存在.则i> 当一（而）。时;而为了5）的一个极大值点；ii> 当1r（而）>0时，而为了"）的一个极小值点f壮y 1- /（乃一/g）r 尸（力证法一 / （x0） = lim = lim.、XT % x - X（|XfX° J -当T*o）O时，在点西的某空心邻域内 且包0,3/与五一%异号,证法二 用Taylor公式展开到二阶，带Peano型余项.Th 6 （充分条件III ）

24、设/）=/9。）=/3（而）=0,而/叫而"0.则i履为奇数时，勺不是极值点;ii神为偶数时.，/是极值点.且1y伙砧0对应极小；/叫勺） 0对应极大.例2求函数，阮）=（2钎5河了的极值.lP190 E3例3求函数以旬=/十% 的极值.UP190 E4X3.函数的最值：设函数了"）在闭区间痣，句上连续且仅有有限个可疑点哨.=max /）、/（%）；min /（x） = mm/（j）,J（/） .函数最值的几个特例：i单调函数的最值：ii如果函数在区间七句上可导且仅有一个驻点，则当为为极 大值点时，河亦为最大值点；当而为极小值点时，/亦为最小值点.iii若函数了（外在R内可

25、导且仅有一个极大（或小）值点，则该点亦为 最大（或小）值点.iv对具有实际意义的函数,常用实际判断原则确定最大（或小）值点.3 .最值应用问题：例4工、3两村距输电线（直线）分别为 我罚和.5km （如图），CD 长3匕/ 现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处，输电线总长 5£十班最小.解 设x如图，并设输电线总长为£5）.则有）=AS ES = Jf +1 + jGr. + 小, 0 < x< 3,x而守K7 -（3-x）Vi一x7（3-x）2 +1.52 = （3-+1,=> 1,25x2 +6-9 = 0.解得x = 1.2和穴=-6舍去）.答

26、：4 .利用导数证明不等式：我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法.其 实，利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种（参阅3P112142 ）. 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.1.利用单调性证明不等式：原理：若/,则对有不等式.例5 证明：对任意实数a和6,成立不等式,川£ Ml 一同1十|。+切一 1+I. 1 +伍V1证 取/« = ，缶201=在+ 8）内/1 + x0 + 4）/.于是，由 ab<abf 就有 /（|。+方|）«/（|以|+闻）,即|力川，一 囱 /,臼1+l.s+l _ l+ab 1+l

27、l+pl 1+|以 | +网 - 1+|以| 1+IT2 .不等式原理：4P169171.不等式原理：设函数了恒）在区间痣，+ 8）上连续，在区间（a,+ 8）内可 导，且尸0； 乂 > 0,则工以时，/« >0. （不等式原理的其 他形式.）例 6 证明：x > 1 时，ln（l + x2） > arctgx -1. 2例7 证明：天>0时 sin x >x .3!3 .利用极值证明不等式：4 8证明："0时，§ 5 函数的凸性与拐点（2学时）教学目的：掌握讨论函数的凹凸性和方法。教学要求：弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的儿

28、个等价论断，会求曲 线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。教学重点：利用导数研究函数的凸性教学难点：利用凸性证明相关命题教学方法：系统讲授法+演示例题一.凸性的定义及判定：1 .凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 设函数了。）在区间应句上连续.若对比503川，恒有十演 之六公）十/氏）,（或+工2）1）（）十八2）.）则称曲线=/（）在区间凡句上是凹（或凸）的.若在上式中，当F时, 有严格不等号成立，则称曲线在区间凡句上是严格网（或严格凸）的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸.凸性的几何意义：倘有切线，与切线的位置关系；与弦的位置关系；曲线 的弯曲方向.2 .利

29、用二阶导数判断曲线的凸向：Th设函数在区间（见句内存在二阶导数，则在（氏幼内（1） /%工）。n /（外在3功内严格上凸；（2） fx） 0, n /。）在（巴幼内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”.证法一（用Taylor公式）对y4% £（凡切,设演=电二包，把2/ （x）在点而展开成具Lagrange邢余项的ZayZor公式，有，（为）=/（勺）+ /'。0）（-勺）+（与- %）：/（2）= /（0）+ 尸（血）（马一为） 其中参和在与马之间.注意到勺-同=-（七一与），就有y&）+/= 2/5）+，65-与）2 - -砧1,于是 若有/"&quo

30、t;） < Q =上式中< 0, n /（）十丁（叼）2/（），即/（幻严格上凸. 若有了">Q =>上式中"0, n ）+/（）2/（与），即/严格下凸.证法二（利用中值定理.）若 尸>0,则有f。）/,不妨设公3，并设演=电二区，分别在区间和/和叼上应用2Lagrange中值定理，有瑞 W&,而）,a /（/A 1ys1）=八身）（质-甬）,迎“"）m 1A）-/（/）=马-凝）有/ <与</<刍 <为=> /&）</©）, 乂由丽一勺=勺一 % >0， =>

31、;/脩X/-一勺），=> /（%）-丁（亦）（均）-热）,即/（1） +M > 2/） = 2/（至产,，/严格下凸.可类证的情况.3.凸区间的分离方的正、负值区间分别对应函数/（於的下凸和上凸区 间.二.曲线的拐点：拐点的定义.例1确定函数了二加f的上凸、下凸区间和拐点.4P154 E20解了的定义域为（-co ? 4-C0 ）?1r=2求仁-3*，令，=0,解得次为在区间(-03,- j| ),倘若注意到本题中的了。）是奇函数，可使解答更为简捷.三.Jensen不等式及其应用：J.seA不等式：设在区间凡切上恒有/X%） >0 （或0）,则对口句上的任意行个点 与（1"及），有"sm不等式：；苫72（或G,士趣且等号当且仅当勺=勺=/时成立.1 »证令丽=一£W，把/（乙）表为点乙处具二阶£且仃ange型余项的