第3章概率论基础

1、第第3章章 概率论基础概率论基础胡良剑东华大学理学院L第2学院楼543内容提要内容提要3.2 样本空间和事件3.3 文图和事件的代数表示3.4 概率论公理3.5 等可能样本空间3.6 条件概率3.7 贝叶斯公式3.8 独立性3.2 样本空间和事件样本空间和事件l样本空间样本空间：一个随机试验所有可能结果的集合被称为该试验的样本空间，用S来表示。l随机事件随机事件：样本空间的任一子集E被称作事件。也就是说，事件是由实验部分可能结果构成的一个集合。如果实验结果包含在E中，我们就说事件E发生了。l基本事件基本事件： S的每个元素（或单点集）。3.2 样本空间和事件样本空间和事件l例例3.2.2(修改

2、修改) 如果实验是由确定编号如果实验是由确定编号1, 2, 3, 4的四匹的四匹马的比赛结果构成，那么马的比赛结果构成，那么l样本空间样本空间S包含了包含了(1,2,3,4)的所有全排列的所有全排列. 即即 S=1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321lE=3号马赢号马赢=3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421是是一个随机事

3、件。一个随机事件。lF=3124是一个基本事件，也是一个随机事件。是一个基本事件，也是一个随机事件。3.2 样本空间和事件样本空间和事件l事件的并并EF：事件E或事件F发生。l事件的交交EF或EF：事件E和事件F都发生。l事件的补补c：事件E不发生。l事件的包含包含EF：若E发生，则F必发生。l性质：l交换律l结合律l分配率3.3文文(Venn)图和事件的代数表示图和事件的代数表示3.3文图和事件的代数表示文图和事件的代数表示3.3文图和事件的代数表示文图和事件的代数表示3.3文图和事件的代数表示文图和事件的代数表示l德摩根律3.4 概率论公理概率论公理l定义：集函数P(E)称为事件事件E的概

4、率的概率，如果它满足下列三条公理 对于任何的互不相交(又称互斥)事件序列 (也就是说, )3.4 概率论公理概率论公理l命题3.4.1 证明：用概率的定义。l命题3.4.2证法一：用文图；证法二：用概率的定义。3.4 概率论公理概率论公理l例3.4.1 总共有28%的美国男性吸卷烟，7%抽雪茄，两者都吸的有5%。请问既不吸卷烟也不抽雪茄的男性比例是多少？解：3.4 概率论公理概率论公理l例：P54习题9习题习题P53lex2, ex12, ex133.5 等可能样本空间等可能样本空间l等可能概型等可能概型：样本空间中的每一个基本事件发生的可能性相同。l等可能概型的概率（古典概率）公式等可能概型

5、的概率（古典概率）公式：其中N(E)表示事件E中的点（基本事件）数，N(S)表示所有可能的基本事件数。3.5 等可能样本空间等可能样本空间l分类加法计数原理分类加法计数原理 ：完成一件事有几类办法（各类办法不相交），每类办法中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是各类不同办法中方法数的总和。l例：网上预订行程，从郑州到上海乘火车有7 种不同选择，乘飞机有5种不同选择，从郑州(乘火车或乘飞机)到上海共有7+5=12种不同的行程选择。3.5 等可能样本空间等可能样本空间l分步乘法计数原理分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法总数

6、是各步骤不同方法数的乘积。l例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不同行程选择，从上海到香港共有4种不同的行程选择，那么从郑州经上海到香港共有412=48种不同的行程选择。3.5 等可能样本空间等可能样本空间l例3.5.1 一个碗里有6个白球，5个黑球。现在随机从碗里拿出两个球，则一个是白球一个是黑球的概率有多大？两个黑球呢？l解： 3.5 等可能样本空间等可能样本空间l排列排列：从n个不同元素中取r个(不重复)，考虑先后顺序共有n (n-1) . (n-r+1)种不同结果。l全排列全排列： n个不同元素排成一列，共有n!= n (n-1) . 2 1种不同结果。l重复排列重复排列：从n个不

7、同元素中取r个(可重复)，考虑先后顺序共有nr=n n . n种不同结果。3.5 等可能样本空间等可能样本空间l例3.5.2 琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本语言书。(1) 琼斯想把同一种类的书放在一起，共有几种不同的可能结果？(2)如果是随意放置，恰好同一种类的书放在一起的概率多大？3.5 等可能样本空间等可能样本空间l组合组合：从n个不同元素中取r个，不考虑先后顺序共有种不同情况。l或者说，从n个元素中选择r个组成一组，共有不同的组合数3.5 等可能样本空间等可能样本空间l例3.5.4 要从6个男性9个女性中选择5人组成委员会。如果随机选取

8、，那么委员会中有3个男性2个女性的概率是多大？l解：3.5 等可能样本空间等可能样本空间l例3.5.7 如果一个房间里有n个人，没有两个人的生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小于0.5，需要多少人？l 解：l当 n23, P0, F发生的条件下E发生的条件条件概率概率为3.6 条件概率条件概率l例3.6.2 琼斯工作的机构正在筹备一场亲子(父子)晚宴，参与者是至少有一个儿子的雇员。每一个满足条件的雇员都被邀请携他们年龄最小的儿子参加晚宴。琼斯有两个孩子，在琼斯被邀参加晚宴的前提下，他的两个孩子都是男孩的条件概率是多少？3.6 条件概率条件概率l乘法公式乘法公式：l例3.6.3 佩雷斯女士所

9、在的公司有30%的可能在凤凰城设立分公司。如果这个分公司设立，那么她有60%的把握成为这个新公司的经理。那么佩雷斯女士将会成为凤凰城新公司经理的概率为多少？l全概率公式：如果直接计算事件E的概率较困难，可以间接利用条件事件F: 分别在事件F发生或不发生两种条件下计算条件概率，然后再加权平均。3.7 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式lBayes公式(逆概率公式)：l注意区分：l求结果发生的(无条件无条件)概率概率, 用全概率公式；l已知结果，求原因的条件概率条件概率，用Bayes公式。3.7 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式l例3.7.1 一个保险公司把投保的人群分为了两类事故敏感型和非事故

10、敏感型。保险公司的数据显示事故敏感型人群一年内发生事故的概率为0.4，而这个数据对于非事故敏感型人群减少至0.2。假设30%的人群为事故敏感型人群，那么一个新的投保人在购买保险的这一年中发生事故的概率是多少？l例3.7.2 （续上例）假设新的投保人在投保的这一年中已经发生过了一次事故, 那么这个人属于事故敏感型人群的概率是多少？3.7 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式投保人投保人敏感型敏感型(F)非敏感型非敏感型(Fc)0.30.7发生事故发生事故(E)0.40.2全概率公式全概率公式 P(E)=0.30.4+0.70.2=0.26Bayes公式公式 P(F|E) = P(EF)/P(E)

11、=0.30.4 / 0.26=0.46153.7 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式l例3.7.4一个实验室提出了一种99%有效的血液测试来检测某种疾病。但是，对健康人来说这个测试也有1%的可能会产生假阳性”. 如果人群中有0.5%患病，则在一个人的测试结果是阳性的条件下他患病的概率是多大？如果这个测试是在的高危人群（50%患病 ）中测试的呢？3.7 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式l例3.7.5 在某一个犯罪调查的阶段，当值的调查员60%确信嫌疑犯有罪。假设现在一个新的显示罪犯有某个特征(例如，左撇子，秃头，棕色头发等)的证据未被揭露。如果20%的人群拥有这个特征，若这个嫌疑人属于拥有这个

12、特征的人群，调查员现在应如何对待这个犯罪嫌疑人(有多大把握确信嫌疑犯有罪)?3.7 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式l推广的全概率公式推广的全概率公式：假设F1，F2，Fn是互斥(不相交)的事件，且 那么l推广的推广的Bayes公式公式：3.7 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式l例3.7.7 一架飞机失踪了，据推测，他有相同的概率着落在三个可能的地点。令1-i表示飞机着落在第i个地区条件下在第i个地区被找到的概率，i =1, 2, 3。已知对地区1的搜寻是失败的，飞机落在地区1的概率是多少？习题习题lP56 ex25, ex29, ex31, ex33, ex353.8 独立事件独立事件l

13、定义：若则称E与F相互独立。l性质1：若P(E)0, P(F)0, 有l性质2：如果E与F独立，则E与Fc也独立，进而Ec与F也独立, Ec与Fc也独立。3.8 独立事件独立事件l例3.8.1 一张卡片是随机从一副52张的扑克牌中选取的。如果事件A表示抽出来的牌是A，事件H表示是抽出来的牌是红桃，那么A和H是独立的.l因为P(AH)= 1/52，而P(A)= 4/52，P(H)= 13/52。 所以P(AH)= P(A) P(H)。 3.8 独立事件独立事件l定义(三个事件的独立性) 称三个事件E, F, G相互独立，如果l定义(n个事件的独立性) 称事件E1，E2,，En独立，若对1, 2, , n的任意子集1,2,r, 3.8 独立事件独立事件l例3.8.8 抛掷两颗均匀骰子。让E7表示事件：骰子的总和是7。用F表示第一颗骰子等于4，用T表示第二颗骰子等于3。可以证明：E7，F，T两两独立但三者不独立。l因为：P(E7)=6/36, P(F)=1/6, P(T)=1/6, lP(E7F)=1/36, P(E7T)=1/36, P(FT)=1/36, P(E7FT)=1/36。l这样 P(E7F)=