解决三角函数的11种方法

1、解决三角函数的 11种方法一些手直问妻通过观察隹之间妁关系r并充分利用令.之间的关浜，往往显演出持碣角,可以丈现顺利 解答“例 1求tan 20。4sin20口的值.sin200-2sin400 sin 200 + 2sin(60°-20°)解析原式=-cos200cos200_ sin200 -r2(sin600cos20"-cos60csin 20°) _cos 200评注三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即 消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的 差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差 异白本题注意若将第一步中的分子

2、化为sin(60。- 40。) + 2sin 40° r 或者化为sin(30。-10或而(30。+10%都没有上面的方法简 捷请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨 慎选择！降幕法一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及sin? a +cos cr = 1 .或降嘉公式sin2a = >8,"c052a = 1 + C0S2g等借助降事 22策略解答.例 2若cosa+ cos? a = I,求sin, aysin”仪的值.i解析 由 C05CZ +co屋 a = I,得co§a =,2cosa = 1 (舍去).由cosa+c()s'

3、;a =1 . 又可得 2cos a = 1 - cos2 a = sin 2al则 sin'。+sM 0 = cosa + coS a , 又由 cos a +3$) = 1,得cos。a =1 -cosa ,故cos。十cos；a =co§M +cos2 a)-cos tz(2 -cosa) = 2cos。- cos2 a - 3 cos a -1 (代值可得sin%+sin% = 上巴士 .2评注若求出COS】的值后直接简单代入，则运算量将大 得多I而主动降帚后就截然不同了口涉及非单角形式的三角 函数问题、有时也需要考虑降事进而化为一个角的三角函数 形式解答.遇至高次伺

4、题就特别注意联想“降帚法”解答0，对偶法根据一些三用E的特征，适当送万瓦对r有时可以实现问题的顺利解答.例 3 已知工 £（0,-）1 B.cos'x + cos 2x + cos:解析设拓=cos' ,V4- cos2 2.v - cos2 3x ,« = sin2x + sin22x + sin23jc,贝1/ + = 3 1m-n - cos 2a + cos 4x + cos6x,其中 cos6jc= 2cos23x-1 ,cos2x + cos4x = cos3x-x) + cos(3x + x) =2cosjccos3x ,/m - w = 2c

5、os3x(cosx + cos3x)- 1 ,又cosx + cos3x-cos(2x-x) + cos(2x + x) = 2cosxcos2x F 故4一= 4cosxcos2jccos3x-1 rI故可解得cos£cos2xcos3jc = (2所-2) -Q('rn =1).4贝ljcosx=01 或cos2x = 0,或cos3x=0,又xw(O,g),则x = J或x = £ .264评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余 函数，有很多对称的结论如sinZj + co/OT等因此在解 决一些三角求值.求证等问题时可以构造对偶式，实施配 对策略尝试

6、进行巧妙解答.例4求C0§£十COS红+ CQ&红的值.777解：设M=cw9+cqs当+(?05，构造其对偶式. 7rl. 37rl. 5万iN=sin-+sm一.777mir. Ar I 27r l - 67rLi . 10乃 4灯 则 M NSin 十S"7十一§/押 +s7 27 27 2776* . 8%sm+5切一 77 ( . k . 3万 .5万1 1 1=-sin + sin 十 sin=N21777 J 2M = COS F COS73我5笈1* cos=-7724 换元注给他求僮问逆都是给的单用的某一三角的数值，利用涣元法可

7、以带同超龄化为熟悉的已知华能的三南 函效莺求值（包后求周期 的称钿.对称中心等）问题.例 5 求sin（ a 十乃。）+ cQS（n+45。）-占CQ3 （a + 15°）的 值.解析令比+15。= ?.则原式 Hsim/J + GOO + coM/f + BO）-、与co"= （sin/?cos60c + cos /?sin600）4-（coscos300- sin /3sin 300） ->/3cos/?=0 .评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值， 而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三 角函数值求值1因此备考时要特别注意此点，解答此类问

8、题 的换元法或整体思想也都十分重要口对本题若直接将三部 分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多口有时可以根据已知构造所求量的方程解善.例6 若cos、= sin” + l,试求$inx的值.解析 令 cogx = $in/ + f , 贝I cosxsinx ='（1 一"），2/e-V2,V2.由已知，有(cosX-sinx)(cos2x + sinjtcosx+sin2x)=*1+子)=1,即-3,-2 =(I+1(-2) = 0 ,得，=T ,或，=2 (舍去).即cosi = sin x+11 又sin' x + cos2 工=1,整理可得，irx

9、 + sinx =0 ,解得sinx二。或sin/二一 1 .评注 将已知转化为关于$in_r的方程是解题的关键。方 程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三 角函数的解析式等问题。一般地，若题目中有日个需要确定 的未知数则只要构造个方程解答即可。讨论法涉及含有弄散或正负情形的三常后题，往往需要借助讨论法进行解答.54例 7 已知/（以中 t sin A - -,cos B ,求 co“，1315512解析由sin4=n,得cosN= 士八.12当coszf = -言时，因为是月伙W内角，需要满足0 <4+ A <乃,有0</<不-*<人 而余弦函数在

10、区间(0,冗)是减函数.得 cos / > COS(jT -B) = "cos B ,124但coscos 8 ,故此情形不合题意12可以验证。3=,符合题意，故CGsC = -cos(d + B)= sin/gin B cog 力cos 4 =.65评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重 要思想方法 一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定 象限的角的问题等，都要首先考虑:讨论.！，平方法分析已知和所不，有时借助.取平75叼方法可以至现顺利解题.例 8 已知sin£/ +sin/? + sin/ = 0 (coscr + cos+cosf = 0 T 求c

11、os(a /?)的值.解析 有sin(7+sin/? = -sin7 r cosw + cos/? = -cos/ , 两式两边平方后对应相加，可得(sin2 a -Hsin2 p + 2sinasin/?) + (cos2 a + cos2 /? -f 2 cos a cos=(-sin)2-b(-cos/)2 = 1 , 即cos(1一")=-g .评注学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就 是其中的重要一种，除了 L取平方，外，常见的还有“取对数二 “取倒数等操作，需要注意体会°本题就是借助平方关系实 现整体消元后解答的8 猜想法有盯闹据已知数据的特征正行必要的

12、猜牌，鸵更好的魄大F值同数.I - J3例9已知sin。+co3a=-,且以为第二象限角，则 sin a =.解析由 siria >0,co$a <0 及sin。a + cos二 a = 1,(!十(一年)二L可得sina = I .1 - J3 评注实际上，将sim十cosa =2与sh?rz + cos2a二|联立所得二元二次方程组只有两组解，即,1石1 ,sinfz = 一, cosa = 或 cos a =,sin(7 , 依题意只可2222取前者。学习数学，要培养对数据的敏感性，能根据数据特 征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而 且猜想是一种重要的推理形式

13、，并不是“胡猜乱想，要紧扣 已知和所求进行口9 图象法有时慢，借助豆争二乾更好火第决对应的三角因数可题.例10已知函数/(H)=小in+ l(力 1)的图象与直线4在*轴右侧的与x轴距 离最近的相邻三个交点的横 坐标成等比数列，求实数 力 的 值.解析如右图，设三个交点的坐标为CA).D(d.A).由三角函数图象的对称性.贝IJ有Z? + c = 2x = 7i f c + d = 2x = 3不, 22有 b = ;r-j d = 37r-c f又L -hd =(7T c)(3jt c)= 3£ + , 解得.故函数图象经过(f).代入可得/ =2 +Ji .评注数和形是数学的两大

14、支柱，三角函数的很多问题 都有图形背景在解决问题时，要充分借助图形进行直观分 析，往往能更快捷的实现问题的解答注意培养做草图的能 力.10 比例法僧耽比咧的性廉,有时可以实现快速解答三角函数区题.sin a1 +C0S6Z2(coscr-sincr) _ coscrI + sin tz + cos a1 +sina解析 若cosof = 0 (或$ina = 0),因为sina k一1(或cos1 w-1),故win。= 1 ,或cosa = L验证可知等式成立 若cosa1 则由a = (1 +sina)(l -sina) hzi C " +s"a =(1 +cosa)(l cosa)及比例性质；=:二一-p b a b +dr-m cosa I - sin a 1 -sincz +cos« 可得二-=.l+&ina cos cz l+sina+cosasin a _ I - cosa _ 1 +sina -cos(z1+cos。 sin a 1+sina + costz '代人等式左边可知所证成立.评注本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷.涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答.如关于半角的正切公