高等数学微积分期末试卷及答案

1、大一高等数学微积分期末试卷选择题(6X 2 )1.设/*) = 2,叫以外=(1严"在区间(o,g)内()。A/(x)是增函数，g(x)是减函数B/'(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数2、x 7 00 寸，(户一 cos % 与 sin x 相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小13、x = 0 是函数y=(l -sinx)*的()A连续点B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()AXn=(-l)n-l BXn=sin n2ex =(«>1)DX=cosl&qu

2、ot;n n5、若/”(工)在X。处取得最大值，则必有()Af，Xo)= o BiX0)<oCf'(Xo) = O且f"( X0)<0Df"(X0)不存在或F(X0)=06、曲线 y = xe ?()A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1 6DDBDBD一、埴空题1、4() =Ldvx+12、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y=1相切。这条直线方程为: X2X3、函数y的反函数及其定义域与值域分别是:2、+ 14、y =*；的拐点为：若噌* = 2,则四的值分别为:1 In|x + l| ；2 丁 = £

3、;-2/；3 y = log2 ,(O,1),R；4(0,0)1-x(x-l)(x + /n) x + m 1 + m 3lim = lim= 25 解：原式=i (x - l)(x + 3) i x + 34ni = 7:b = -7,a = 6二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小()2、lim咄在区间( s, + s)是连续函数() D X3、f'(x0)二0一定为f(x)的拐点()4、若f(X)在X。处取得极直，则必有f(x)在X。处连续不可导()5、设 函 数 f (x) 在 0,1 上 二 阶 可 导 且/(劝0令人=1(0), B = r(l),C = l)-/(0),

4、则必有A>B>C()15FFFFT三、计算题11用洛必达法则求极限lim D1 1e 了e/(21)4解： 原式=lim；= lim =+s.10 1 XT。 一2厂，3。厂2 若/(幻=(丁+10)4,求0(0)/(X)= 4(1 +10)3 - 3x2 = 12x2 (x3 +10)3解:fx) = 24x-(x3+1 0)3 +12x2 3(丁 +10)2 3/=24x-(x3 + lO)3 +108- (x3 + 10)2./'(x) = 043 求极限 lim(cosx)/.t-H)-llncosx |im4bcosr解：原式二lime。- = e"A-

5、>04/ lim In cos x = lim x70 厂x0In cos x1 , 、(-sin x).1. cos x】 一tan xlim = limA->01 .X c lim =-210 X原式="4 求y = (3x - l户导数解：In|y| = In|3x-l| + /h|x-1|- - Inx-2|322y,r531111 ,-1- , ,3 3x-l 2 x-1 2 x-25y'=(?x-y+-3x- 2(x-l) 2(x-2)J xdx解：原式二"an气tan xdx -(sec-x-l)tanx6/%二J sec2x tan xd

6、x - J tan xdx=j tan xd tan x - j=j tan xd tan jc - jsinx faxcosx1a cos x cosx= ltan2x + /H|cosx| + c 26 求 J x arctan xdx解： 原式二；J arctan xd(x2) = (x2 arctan x J x2d arctan x),arctanxf 立21 + x2 x2 arctanx- f (1-)dx211 +厂1 + x2x=arctan x + c22四、证明题。1、证明方程d+xi = o有且仅有一正实根。证明：设/(x) = d+xl /(0) = -1<0,

7、/(1) = 1> 0,且/")在0,1上连续/.至少存在J e (0,1),使侬隹)=0即/(幻在(0,1)内至少有一根，即/*) = 0在(0, + s)内至少有一实根假设/(幻=0在(0, + 8)有两不同实根覆,工2，./(犬)在|2，42上连续，在(&，毛)内可导l/U)= /(x2) = 0二.至少* ej,/)，s-tf() = 0WW = 32 + i> 1与假设相矛盾/.方程d +x_i = 0有且只有一个正实根2 证明arcsinx + arccosx = C(-1 < x < 1)2证明： 町(工)=arcsin x + arcc

8、os x1 1 r/，W = -_ = 0,xe -1JVl-x2 Vl-x2/. /(x) = c = /(0) = arcsin 0 + arccos 0 = yf (1) = arcsin 1 + arccos 1 = ?f (-1) = arcsin(-l) + arccos(-l) = g二.综上所述，/(x) = arcsinx + arccosx = , xg-1,1五、应用题1、描绘下列函数的图形、1y = x + x解：l.Dy=(«,O)u(O,+s)一 c 12八12.y=2x- -= 厂 厂令y=0得x = gy"=2+4X令y“ = 0,得 x = _3 .X(- 8,-1)-1(-1,0)0(0,屈)（炳川）Y5不存 在,+Y'+0+y,、凹拐点 (-1.0)/凸X凹极小/凹71794 .补充点(-2,- ,-).(1,2).(2,-)5 lim/(x) = s,./(x)有铅直渐近纵=0 .1一()6如囱所示:2.讨论函数/(X)= / -的单调区间并求极值解：Df(x) = Rf '(a) = 2x-= 2(1)2” (x H 0) XX&#