(完整word版)应用回归分析,第2章课后习题参考答案汇总(word文档良心出品)

1、第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性回归有哪些基本假定？答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项e具有零均值、同方差和不序列相关性:E( e)=0i=1,2,nVar (i)=。2i=1,2,nCov( i, j)=0i wj i,j= 1,2,，n假设3、随机误差项e与解释变量X之间不相关:Cov(Xi, i)=0i=1,2,，n假设4、e服从零均值、同方差、零协方差的正态分布iN(0,仃2)i=1,2,，n2.2 考虑过原点的线性回归模型Yi= 3iXi+ a i=1,2,，n误差& (i=1,2,)n仍满足基本假定。求 自的最小二乘估计解:

2、nnQe =Z (Yi -Y?)2 = (Yi 邑 Xi)2 i =1i=1Qe = 2. (Yi /Xi)Xi =0二？1i 1n” (XiYJ i dnx (Xi2)i T2.3 证明(2.27 式)，工ei =0 ,工eiXi=0 。nnQ=Z (Y -Y?)2 =S (Y -(K+因XJ)2证明：11其中：叶=用+歌 e=Y-Y?I (向+A37= o|Vo+/?rVj-T；)A； = 0即:三 eiXi=02.4 回归方程E (Y)=向+自X的参数 乱例的最小二乘估计与最大似然估计在什 么条件下等价？给出证明。答：由于 e iN(0,仃2)i=1,2,，n所以 Yi=0 + X +

3、qN (向+ iXi ,仃2 )最大似然函数：一 一 2-n2n/217- 一2L( 0, 1,02) =nLfi(Yi) =(2二二 2)exp Yi -( 01 0,Xi)22 ijcm)n91，ncc9LnL( 0, 1,二 2)= -2 二二2)一2% Yi -( 01 0,X i )222 ij使彳3Ln (L)最大的网，邑就是由，伉的最大似然估计值。同时发现使得Ln (L)最大就是使得下式最小， nnQ = (Y T)2 = (Y-(凡+ Xi)2 11上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在iN(0,。2)的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。

4、所以在iN(0,仃2 )的条件下，参数乱代的最小二乘估计与最大似然估 计等价。2.5 证明稣是由的无偏估计。n _ n x _ x证明：E(彳)=E(Y- ZX)= E-x Yi - X iYi)nid Lxx二 En (l_X)Yi = En (口一 XA)。,)i=1 nLxxy nLxx=E 0 ： P -X，i=1 nLxx2.6证明证明：)曾=九十 PX告二X)E(M) = P0i T nLxxVar( ?0)=(工X)，2 =二 2p -X-)n Xi X 2n Lxxi 1Var(?0) =VarJ - XXi X(- X jXjX)2Var( 0Xi i)U nLxxV nLx

5、x1 2_ X X一()2 -2X ii4 nnLxx(XXi XLxxr1 X、2 二n小2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR证明:SST = (Yi -Y 2 = M Y?)+(Y?Y2=z_ 2 n_ nY? Y2V Yi Y?)(Y? Y 八 Yid)2=(Yi Y2 +Z (Yi i) 2 =SSR +SSE i=12.8验证三种检验的关系,即验证:(2)u SSR/1F 二SSE/(n -2)c?2=t2证明：（1）t ?Lxx一 ；？yy Lxx.c? Lxx - SSE(Lxx(n-2) - . SSE (n - 2) 一，SSE SST 一，1 一 r2(2)s

6、src(?-y)2 = (?1xi -y)2 =、(y 备Xi-X)-y)2=E (耳(xX)2”2Lxxi=1l SSR/1F 二?2hSS日(n -2)2.9 验证(2.63)式:1 Var(ei )=(1 -1 n(xi -x)2Lxx证明:var(e ) = var( X y?) = var( x) + var( y?) 2cov( yi, y?)= var(V)+var(用 +) -2cov( yi, y + 用3 1)(为-x)22 1 (xi -x) -2； -=1（xx）Lxx二2Cov(yi,y ?i(Xi X)=Cov(yi, y) Cov(yi, ?i(Xi X)nn其中

7、:1 (xi - x)、= Cov(yi,yi) (xi - x)Cov(y-y )n i 1iL xx2 21 _ 2 (xi - X) _ 21 (xi - X) 2=；.- = (一 - ) _nLxxn Lxx2.10用第9题证明 n-2是的无偏估计量证明：1 n1noE(；22) =-E(yi -？)2 =- E(e2)n -2 yn -2 T1 J / 1 ,1 (x -x)22二一var(s)二一-y 1 -(卜n _ 2 i 4n _ 2 i 4 nLxx122=(n2)。=：;n -22.11验证决定系数与F值之间的关系式2 F r 二F n-2证明：2 SSR SSR1r

8、二 SST SSR SSE 1 SSE/SSR1二n21 SSR/(SSE/(n -2)1Fd n -2 F n -21 - F2.14为了调查某广告对销售收入的影响， 某商店记录了 5个月的销售收入y （万元）和广告费用x （万元），数据见表2.6,要求用手工计算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1）画散点图（略）（2） X与Y是否大致呈线性关系?答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系(3)用最小二乘法估计求出回归方程。计算表XY一 2(Xi -X)一 2(Yi Y)(Xi _X)(Yi _Y)Y?(Y?-Y)2(Y?-Yi)21104100206(-14) 2(-4

9、) 221011001013(-7) 2(3) 2320000200042010027727254044004034142(-6) 2和15100和 Lxx=10Lyy=600和 Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20Lw70M7，*iX回归方程为：Y?=阿+I?X = 1+7X(4)求回归标准误差所以先求SSR (Qe)见计算表。qQe110-？6.055.,n-23(5)给用，耳的置信度为95%的区间估计；由于(1-口)的置信度下，f?的置信区间是(现-7?,? + %/5?)查表可得 t /2(n-2)=to.o25(3) =3.182。?236.667S ?1

10、.915所以？的95%的区间估计为:1 Lxx. 10(73.182*1.915, 7+3.182*1.915),即(0.906,13.094)y 1X2气=?(nL、x)1 2536.667() = 6.3515 10所以?0的 95%的区间估计为：(-1-3.182*6.351, -1+3.182*6.351),即(-21.211,19.211)。P0的置信区间包含0,表示P0不显著“ SSR SSRSST Lyy490600= 0.817(6)计算x和y的决定系数说明回归方程的拟合优度高。(7)对回归方程作方差分析方差分析表方差来源平方和自由度F值SSR490149013.364SSE1

11、10336.667SST6004F值= 13.364F 0.05(1,3)=10.13(当5=1m2=8时,%=0.05查表得对应的值为10.13)，所以拒绝原假设，说明回归方程显著。(8)做回归系数01的显著性检验H0: P 1=0t =舀/S? =7/1.915 = 3.656t值=3.656t 0.05/2(3)=3.182,所以拒绝原假设，说明x对Y有显著的影 响。(8)做相关系数R的显著性检验R = R2 = SSR = 0.817 = 0.904 SSTR值=0.904R 0.05(3)=0.878,所以接受原假设，说明x和Y有显著的 线性关系。(9)对回归方程作残差图并作相应的分

12、析残差图(略).从残差图上看出，残差是围绕e=0在一个固定的带子里随 机波动，基本满足模型的假设eiN(0, 22，但由于样本量太少，所以误差 较大.(10)求广告费用为4.2万元时，销售收入将达到多少？并给出置信度为95%的 置信区间.解：当=4.2时，Y0 = ?0?,=1 7 4.2 = 28.4所以广告费用为4.2万元时，销售收入将达到28.4万元.由于置信度为1-a时，Yo估计值的置信区间为：Yo-t：Sy?丫Y0：二 Y0t：Sy?y2 Yo- 0-2 丫0-丫0qq2 1( X 0 - X )1 1.44 xSY? Y = ? (136.667(1 -)工 0nLxx.510所以

13、求得Yo的95%的置信区间为：6.05932 ,50.74068预测误差较大.2.15 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的制度，决定认真调查一下现状。经过十周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目，x为每周新签发的保单数目，y为每周加班工作时间(小时)。见表2.7。表 2.7周序号12345678910X825215107055048092013503256701215Y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、画散点图散点图5.0 每周加 4.0 一班工作,3.0 时间（小 2.0 时）1.0 OO0&O。GOOO111111120040060080

14、0100012001400每周签发的新保单数目2、由散点图可以看出,x与y之间大致呈线性关系3、用最小二乘法求出回归系数回归系数显著性检验表a模型未标准化系数标准化系数tP直95%回归系数的置信区间B标准误下限上限1(Constant).118.355.333.748-.701.937每周签发的新保单数目.004.000.9498.509.000.003.005a. Dependent Variable：周加班工作时间（小时）由表可知：?0 =0.118 ?1 = 0.00 35 9回归方程为：夕=0.118+0.00359X4、求回归标准误差?方差分析表b模型平方和自由度均方FP值1回归16

15、.682116.68272.396.000 a残差1.8438.230总和18.5259a. Predictors: （Constant）, 每周 签发 的新 保单 数目b. Dependent Var iable:每周 加班 工作时间（小时）由方差分析表可以得到：SSE=1.843A 2故回归标准误差仃=壁，仃=0.48n 25、给出回归系数的置信度为95%的区间估计回归系数显著性检验表a模型未标准化系数标准化系数tP195%回归系数的置信区间B标准误3下限上限1(Constant).118.355.333.748-.701.937每周签发的新保单数目.004.000.9498.509.00

16、0.003.005a. Dependent Variables周加班工作时间（小时）由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时：*0的预测区间为-0.701,0.937,61的预测区间为0.003,0.005.瓦的置信区间包含0,表示瓦不拒绝为零的假设。模型概要b模型R决定系 数调整后的 决定系数估计值的标 准误差Durbin-Wats on1.949 a.900.888.4800.753a. Predictor s: (Constant), 每周签发的新保单数目b. Dependent Vari able:每 周加 班 工作时 间(小 时)6、决定系数由模型概要表得到决定系数为0.9

17、接近于1,说明模型的拟合优度高方差分析表b模型平方和自由度均方FP值1回归16.682116.68272.396.000 a残差1.8438.230总和18.5259a. Predictors: （Constant）, 每周 签发 的新保单 数目b. Dependent Var iable:每周加班 工作 时间（小时）7.对回归方程作方差分析由方差分析表可知：F值=72.3965.32（当星=1门2=8时,查表得对应的值为5.32）P值=0,所以拒绝原假设，说明回归方程显著。8、对3的显著性检验从上面回归系数显著性检验表可以得到 Pi的t统计量为t=8.509 , 所对应的p值近似为0,通过t

18、检验。说明每周签发的新保单数目x对每 周加班工作时间y有显著的影响。9.做相关系数显著性检验相关分析表每周签发的 新保单数目每周加班 工作时间 （小时）每周签发的新保单数目Pearson Correlation1.949*Sig. (2-tailed).000N1010每周加班工作时间（小Pearson Correlation.949*1时）Sig. (2-tailed).000N1010*.Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).相关系数达到0.949,说明x与y显著线性相关。10、对回归方程作残 差图并作相应分析从残差

19、图上看出，残 差是围绕e=0随即波 动，满足模型的基本 假设。0.600000.30000 _未标 0.00000 _准化残-0.30000 差-0.60000 一-0.90000残差图20040060080010001200每周签发的新保单数目140011、该公司预计下一周签发新保单 X0=1000张,需要的加班时间是多少？当X0=1000 张时，y =0.118 + 0.00359* 1000 = 3.7032 小时12、给出Y。的置信水平为95%的预测区间通过SPSS运算得到Y0的置信水平为95%的预测区间为:(2.5195 , 4.8870 )13给出E （Y0）的置信水平为95%的预

20、测区间(3.284,通过SPSS运算得到Y0的置信水平为95%的预测区间为:4.123）。2.16 表是1985年美国50个州和哥伦比亚特区公立学校中教师的人均年工资 y（美元）和学生的人均经费投入x（美元）.序号yX序号yX序号yX119583334618208163059351953826422202633114191809529673620460312432032535542020939328537214192752426800454221226443914382516034295294704669222462445173922482394762661048882327186434940

21、209692509730678571024339905020412722454408271705536252338235944225892404292585341682620627282143226443402102450035472722795336644246402829112427431592821570292045223412297122717036212922080298046256102932133016837823022250373147260153705142652542473120940285348257884123152736039823221800253349291323608162169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：（1）绘制y对x的散点图，可以用直线回归描述两者之间的关系吗?4 0 0 0 0.03 5 0 0 0.03 0 0 0 0.02 5 0 0 0.02 0 0 0 0.02 0 0 0.0 030 00.0 04 0 0 0.0 0500 0.0 06