1由比例线段产生的函数关系问题

1、§21 由比例线段产生的函数关系问题课前导学(一) 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种， 一是勾股定理， 二是比例关系 还有 一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用类型一，已知“边角边” ，至少一边是动态的，求角的对边如图1，已知点 A 的坐标为(3, 4)，点 B是 x 轴正半轴上的一个动点，设 OB x，AB y，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式类型二，图形的翻折已知矩形 OABC在坐标平面内如图 2

2、所示， AB5，点 O 沿直线 EF翻折后， 点 O的对应点 D落在 AB边上， 设 AD x，OE y，那么在直角三角形 AED中用勾 股定理就可以得到 y关于 x 的函数关系式由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形， 根据要求写出定义域关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错课前导学（二） 图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题 计算面积常见的有四种方法， 一是规则图形的面积用面积公式； 二

3、是不规则图形的面积 通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相 似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单 一般情况下，在求出面积 S关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（ x为何 值时），S取得最大值或最小值关于面积的最值问题，有许多经典的结论例 1 ，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大例 2 ，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小例 3 ，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆例 4，如图 1，锐角 ABC的内接矩形 DEFG的面积为 y，AD x，当点 D是 AB

4、的中点时， 面积 y 最大例 5，如图 2，点 P 在直线 AB上方的抛物线上一点，当点 P位于 AB的中点 E 的正上方 时， PAB的面积最大例 6，如图 3， ABC中， A和对边 BC是确定的，当 ABAC时， ABC的面积最大图1图2图3例 1 2014 年湖南省常德市中考第 26 题如图 1，图 2，已知四边形 ABCD为正方形，在射线 AC上有一动点 P，作 PE AD（或延 长线）于 E，作 PFDC（或延长线）于 F，作射线 BP交 EF于 G（ 1）在图 1 中，正方形 ABCD的边长为 2，四边形 ABFE的面积为 y，设 AP x，求 y 关于 x 的函数表达式；（2）

5、GBEF对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图 2 证明： FGC PFB动感体验请打开几何画板文件名“ 14 常德 26”，拖动点 P 在射线 AC上运动，可以体验到， EM和 FN把正方形 ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、 C、G、F 四点共圆思路点拨1四边形 ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到2画直线 EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形 图文解析（1）如图 3，延长 EP交 BC于 M，延长 FP交 AB于 N，那么四边形 AEPN和四边形 CFPM 是正方形2xx2可得正方形 AEPN的边长为2 x所以 FC D

6、E 221 2 x（2 22 2 2yS 四边形 ABFE S 正方形 ABCD SDEF SBCF由 AP x ，由于SDEF 1 DF DE 2x) ，1SBCF BC2FC2 (222x)，所以2）22x) 1 x2 +2 4NP，tan PBN NP ，且PF NBPE NP， PF NB，所以EFP PBN又因为 1 2， 1 PBN 90°，所以 2 EFP90°所以 GB EF（3）如图 5，由于 GBEF， BCF90°，所以 B、C、G、F四点共圆 所以 FCG PBF， CGB CFB又因为 CGF CGB 90°， BFP CFB9

7、0°，所以 CGF BFP 所以 FGC PFB图6考点伸展如图 6， 由于 tanEFPtanPBN， 所以 EFP PBN又因为 PBN 1 90°，所以 EFP 190°因此这种情况下，依然有 BG EF第（ 1）题还有更简便的割补办法：如图7，连结 EN由于 S 四边形 NBFE S ENF SBNFNF(EP1MP) 21 NF EM2，S AEN1 AP 21 x2 ，所以4yS 四边形 ABFE S 四边形 NBFE SAEN1 x2 +244例 22014 年湖南省湘潭市中考第 25 题如图 1， ABC为等边三角形，边长为 a，点 F在 BC边上

8、， DFAB，EFAC，垂足分别 为 D、 E（ 1）求证： BDF CEF；（2）若 a 4，设 BFm，四边形 ADFE面积为 S，求出 S与 m之间的函数关系，并探究当 m为何值时 S 取得最大值；（3）已知 A、D、F、E四点共圆，已知 tan EDF 3 ， 2求此圆的直径（用含 a 的式子表示） 图1动感体验 请打开几何画板文件名 “14湘潭 25”，拖动点 F在 BC上运动， 观察 S随 m变化的图像， 可以体验到，当 F 运动到 BC的中点时， S取得最大值还可以看到，圆的直径就是直角三 角形 AEF的斜边思路点拨1用割补法求四边形 ADFE的面积比较简单2当 A、D、F、E四

9、点共圆时，由于 EDF EAF，那么在 ACF中，两角及夹边就是 确定的，可以解这个三角形图文解析（1）如图 1，因为 B C 60°， BDF CEF90°，所以 BDF CEF所以 SCEF 1CE2m)2（2）如图 2，当等边三角形 ABC的边长 a4时， SABC 4 3在 Rt BDF中，B 60°，1BFm，所以 BDm ， FD3m22所以 SBDF 1 BD3 FD 2 m28在 Rt CEF中，C 60°，1CF4 m，所以 CE 1(4 m)， FE3 (4 m)22FE 83(4 4 33 m23（4 m）23 m23m 2 3 3

10、 （m 2）2 3 3 8 8 4 4所以当 m2时， S取得最大值，最大值为 3 3此时点 F是 BC的中点（如图 3）（3）如图 4，由于 A、D、F、E四点共圆，所以 EAF EDF因为 AEF 90°，所以 AF是圆的直径在RtEAF中，由于 tan EAF EF 3，设 EF 3x，EA2xEA 2在 RtECF中， C 60°，所以 EF3 因此 ECxEC1由 AC EA EC a，得 2xx a所以 x 1a AF 7 a 33所以在 Rt EAF中， EF 3a，EA 2 a ，由勾股定理，得圆的直径33考点伸展第（ 2）题也可以求 ADF与 AEF的面积

11、和由于BD1m ， FD3m，所以AD 41m，SADF3m(8m)2228由于CE1(4 m) ，FE23(4m） ，所以AE12m ， S AEF3(16 m2 )2228因此S SADF SAEF3m(8 m)3(162 m ) 3m2 3m2 3 8842014年湖南省郴州市中考第 25 题如图 1，在 Rt ABC中， BAC90°， B60°，BC16cm，AD是斜边 BC上的高， 垂足为 D，BE1cm，点 M从点 B 出发沿 BC方向以 1cm/s 的速度运动，点 N从点 E出发，与 点 M同时同方向以相同的速度运动以MN为边在 BC的上方作正方形 MNGH

12、 点 M到达点 D时停止运动，点 N到达点 C时停止运动设运动时间为 t （s）（ 1）当 t 为何值时，点 G刚好落在线段 AD上？（2）设正方形 MNGH与 Rt ABC重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方 形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围；（ 3）设正方形 MNGH的边 NG所在直线与线段 AC交于点 P，连结 DP，当 t 为何值时， CPD是等腰三角形？图1动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 郴州 25”，拖动点 N 在 BC上运动，可以体验到，重叠部分 是正方形存在两种情况，等腰三角形CPD也存在两种情况思路点拨1用含 t 的式子把

13、直线 BC上的线段长都表示出来 2重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点H 落在 AB上，和点 G落在 AC上3等腰三角形 CPD不存在 DPDC的情况， 因为以 DC为半径的圆 D与线段 AC只有一个 交点图文解析 （1）如图 2，当点 G刚好落在线段 AD上时， DN0而 DNBDBMMN4t13t ，所以 3t 0解得 t 3当 HM在 AD的左侧时，正方形 MNGH的大小不变，边长为 1，S 1如图 3，当 H落在 AB上时， BMHMtan30 ° 3 所以 3 t <433如图 4，当 HM在 AD上时，正方形的边长为 t3，S（t 3）2如图 5，当G落在 AC上时

14、， AHHGtan30 ° 3(t 3)3由 AD 4 3 ，得 3 (t 3)3(t 3) 4 3解得 t 6 3 3所以 4t 6 3 3CCNP23 ，得CN 6 3此如图 6，当 PCPD时，点 P在DC的垂直平分线上， N是 DC的中点 此时 t 369如图 7，当 CPCD12 时，在 Rt CPN中，由 cos30时 t 15 6 3 考点伸展当点 G落在 AC上时，CGAG的比值是多少呢？如图 5，CGCNAG DNCN cot303 GN例 4 2015 年湖南省常德市中考第 25 题如图 1，曲线 y1是抛物线的一部分，与 x 轴交于 A、 B两点，与 y 轴交于

15、点 C，且表达式为 y1（x2 2x 3） （ x 3），曲线 y2与曲线 y1关于直线 x3 对称3（1）求 A、 B、C三点的坐标和曲线 y2的表达式；（2）过点 C作CD/ x轴交曲线 y1于点 D，连结 AD，在曲线 y2上有一点 M，使得四边形 ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝 形），请求出点 M的横坐标；（3）设直线 CM与 x轴交于点 N，试问在线段 MN下方的曲线 y2上是否存在一点 P，使 PMN的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由动感体验请打开几何画板文件名“ 15 常德 25”，拖动点 P 运动，可以

16、体验到，由于 M、N两点间 的水平距离是定值，因此当 PE最大时， PMN的面积最大思路点拨1由 A、C、D的坐标可以得到 ACD是底角为 30°的等腰三角形， 于是可知直线 M（N 直 线 CN）与 y 轴的夹角为 30 °2过点 P作x轴的垂线交 MN于 E，那么 PMN分割为有公共底边 PE的两个三角形， 这 两个三角形的高的和为定值图文解析1）由 y133 (x2 2x3) 3(x 1)(x 3)，得 A(1, 0) 、B(3, 0) 、C(0,3)因为 A(1, 0) 、B(3, 0)关于直线 x3 的对称点为 A（7, 0）B（3, 0） ，所以抛物线 y2 的

17、表达式为 y23 (x 7)(x 3)323 (x210x 21） （x>3）（2）由 CD/ x轴，可知 C、 D关于抛物线 y1的对称轴 x1 对称，所以 D（2,3）如图 2，由 A（1, 0） 、C（0,3 ） 、 D（2, 3 ），可得 ACDC2因此点 C在 AD的垂直平分线上如果四边形 ACDM的对角线互相垂直平分， 那么四边形 ACDM是菱形，此时点 M在 x 轴上，不在抛物线 y2 上因此只存在 MC垂直平分 AD的情况图2如图 2，如图 3，过点 A、M分别作 x 轴的垂线，与直线 CD分别交于点 G、 H，那么 ADG CMH由于 tan ADG AG 3，所以 A

18、DC30°因此 MH 3CH DG 3设 M(x, 3 x2 10 33x+7 3) ，那么 ( 3 x2 10 3 x+7 3) ( 3) 3x 3 3 3整理，得 x2 13x24 0解得 x 13 73 所以点 M的横坐标为 x213 7323)如图 2，如图 3，由于 ADC30°，当 CM AD时， OCN30°所以 ON 3 OC 1， N(1, 0) 3所以直线 CN为 y 3x 3 如图4，过点 P作x轴的垂线，垂足为 K，PK交MN于E，过点 M作y轴的垂线交 1所以 SPMN SPME SPNE PE(MF NK) 2 因为 MFNK为定值，因此当 PE最大时， PMN的面积最大PK于