导数复习导数大题练习含详解答案

1、1、已知函数 f(x)=(2x 2kx + k) e-x(I) 当k为何值时，f (x)无极值；(n)试确定实数k的值，使f(x)的极小值为02、已知函数 f (x) ax lnx(a R).(I) 若a 2，求曲线y f(x)在x 1处切线的斜率；(n )求f (x)的单调区间；(川)设g(x) x2 2x 2，若对任意人(0,)，均存在X20,1，使得f(xj g(X2),求a的取值范围.3、设函数 f x x aex 1。(I)求函数f x单调区间(II )若f x 0对x R恒成立，求a的取值范围;(III对任意n的个正整数a1,a2 a记Aa1a2an(1)求证:eA i1,2,n

2、(2)求证：A n a1a2 ana 34、已知函数f (x) x3Lx22x b，其中 a,b R.(I)若曲线y f(x)在点P(2, f (2)处的切线方程为y 5x 4，求函数f (x)的解析式;(n)当a 0时，讨论函数f(x)的单调性.5、已知函数f (x) (ax2 2x 1) e x(a R，e为自然对数的底数).(I)当时，求函数f(x)的极值；(n )若函数f(x)在-1，1上单调递减，求a的取值范围.2x6 已知函数 f(X) (x 3x 3) e ,设 t 2, f( 2) m, f (t) n.(I)试确定t的取值范围，使得函数f (x)在2,t上为单调函数；(U)试

3、判断m,n的大小并说明理由；f '(x )2(川)求证：对于任意的t 2,总存在xo ( 2,t)，满足一泸3(t 1)2,并确定这样e 3的X。的个数.7、已知函数 f(x) ln x ax2 (a 2)x .(I)若f(x)在x 1处取得极值，求a的值；(U)求函数y f(x)在a2,a上的最大值.18、 已知函数 f(x) (ax2 x)lnxax2 x. (a R).(I )当a 0时，求曲线y f(x)在(e, f (e)处的切线方程(e 2.718.);(II )求函数f (x)的单调区间.9、 已知函数f(x) (1旦)ex(x 0)，其中e为自然对数的底数.x(I)当a

4、 2时，求曲线y f(x)在(1,f (1)处的切线与坐标轴围成的面积；(U)若函数f (x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值.10、已知函数 f (x) ax3(a2)x2 6x 3.2(1)当a 1时，求函数f(x)的极小值;(2) 试讨论曲线y f (x)与x轴的公共点的个数11、已知函数f x ex， g x ax 1 ( a是不为零的常数且a R )。(1) 讨论函数F x f x g x的单调性；(2) 当a1时，方程f x g x t在区间1,1上有两个解，求实数t的取值范围；(3) 是否存在正整数N ，使得当n N 且n N时，不等式111

5、一f 1 f - f - L f n 2011恒成立，若存在，找出一个满足条件的23nN，并证明；若不存在，说明理由。12、设函数 f(x) ax (a 1)ln( x 1)(a1).(1)求f(x)的单调区间；(2)当a 0时，设f(x)的最小值为g(a),若g(a) t恒成立，求实数t的取值范围13、设函数 f (x)=ax3-( a+b)x2+bx+c，其中 a>0，b，c R.(1)若f (勺二。，求函数f(x)的单调增区间；3 求证：当 0wxwi 时，| f (x) | < max f (0), f (1).(注：maxa，b表示 a，b 中的最大值)14、已知函数f

6、(x) pln xp 1 x21(I)讨论函数f(x)的单调性;(U)当p 1时，f(x) kx恒成立，求实数k的取值范围；111*(川)证明：ln(n 1)1(nN).2 3n15、 已知f(x)是二次函数，f (x)是它的导函数，且对任意的x R , f (x) f(x 1) x2恒成立.(I )求f (x)的解析表达式；(n)设t 0，曲线C : y f(x)在点p(t,f(t)处的切线为I，I与坐标轴围成的三角形面积为S(t).求S(t)的最小值.16、 设函数f (x) x2 alnx与g(x) -x . x的图象分别交直线x 1于点A, B,且曲线y f(x)a在点A处的切线与曲线

7、y g(x)在点B处的切线平行。(1)求函数f(x),g(x)的表达式;(2) 当a 1时，求函数h(x) f(x) g(x)的最小值；11 1(3) 当a -时，不等式f (x) m g(x)在x -，-上恒成立，求实数m的取值范围24 2函数与导数解答题kxe2)22X)e k7/l(XX2(Xe kl 2XX)k2X2-k 4时，f'(x) (x 2)2e x 0, f(x)在 R上单调递减，所以，f(x)无极值6分kk(II )当 k 4时，令 f (x)2(x k)(x 2)e x 0，得捲 冬必 222k(1) k<4 时，2，有2令 f (k)0，得 2 (k)2

8、k k k 0，即 k=0. 9分2 2 2k(2) k>4 时，k 2，有2令f (2)0,得k=8所以，由(1)( 2)知，k=0或8时，f(x)有极小值02、解：(I )由已知 f (x) 2 1 (x 0)，2分xf (1) 2 13.故曲线y f (x)在x 1处切线的斜率为3.4分(II) f'(x) a 1 a(x 0) . 5分x x 当a 0时，由于x 0，故ax 1 0， f '(x) 0所以，f(x)的单调递增区间为(0,).6分 当a 0时，由f '(x) 0，得x -.a在区间(0, -) 上, f (x)0，在区间(丄，)上f (x)0

9、，aa所以，函数f(x)的单调递增区间为(0, 解得a)，单调递减区间为(丄，). aa7分(川)由已知，转化为f(X)max g(X)max 8分g(X)max 2 9分由(II)知，当a 0时，f(x)在(0,)上单调递增，值域为R，故不符合题意.(或者举出反例：存在f(e3) ae3 3 2，故不符合题意.)10分当a 0时，f(x)在(0, !)上单调递增，在(丄，)上单调递减,a故f (x)的极大值即为最大值,f(丄)1a1ln( )1 ln( a)，a所以21 ln( a)，3、解：(I)f (x)1 aex1当a 0时，f (x)0， f(x)在R上是增函数当 a 0时，令 f

10、(x)0 得 x 1 In a若x 1 In a则f (x)0，从而f (x)在区间(,1In a)上是增函数若x 1 In a则f (x)0 ,从而f(x)在区间(1 In a,)上是减函数在区间4分综上可知：当a 0时，f(x)在区间(,)上是增函数。当a 0时,(,1 In a)上是增函数，f (x)在区间(1 Ina, )上是减函数(II )由(1)可知：当a 0时，f(x) 0不恒成立 5分又当a 0时，f(x)在点x 1 In a处取最大值，且f (1In a) 1 In a ae InaIn a令In a 0得a 1故若f (x)0对 xR恒成立，则a的取值范围是1,(III)证

11、明:(1)由(II )知：当a 1时恒有f(x)x ex 10成立aia： 1eA A(2)由(1)知:鱼A巴1eA ；anA把以上n个式子相乘得a1a2 L anAn4 a2 L an ne LAn a1a2 Lan12故 A n a1a2L an4、解：(I) f (x) ax2 (a 1)x 1，由导数的几何意义得f (2)5,于是a 3 .由切点P(2, f(2)在直线y 5x 4上可知2 b 6，解得b 4 . -5 分所以函数f(x)的解析式为f(x) X3 2x2(U) f (x) ax2 (a 1)x 1 a(x -)(x a1),1当0 a 1时，1 1，函数f(x)在区间(

12、a,1)及(,a)上为增函数;(1,-)a1当a 1时，1 1，函数f(x)在区间( a)上为增函数;101当a 1时， 1，函数f(x)在区间(a1,-)及(1,)上为增函数; a在区间(丄，1)上为减函数.a12命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。5、解：(I)当 a 1 时，f (x)(x22x1)f (x)(2x2) e x (x22xx1) e(x1)(x 3) ex当x变化时，f(x)，f (x)的变化情况如下表:所以，当a 1时，函数f (x)的极小值为f (1)0，极大值为f (3) 4e(II ) f (x) (2ax 2

13、) e x (ax2 2x 1) e x e xax2 2ax 2x 3令 g(x) ax22(a 1)x 3 若 a 0，则 g(x) 2x 3，在(1,1)内，g(x) 0,即 f (x) 0 ,函数 f (x)在区间1,1上单调递减 7分 若a 0,则g(x) ax2 2(a 1)x 3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x _1 1 ,a当且仅当 g(1)0,即 0 a 1 时，在(1,1)内 g(x) 0，f (x)0 ,函数f(x)在区间1,1上单调递减 9分 若a 0,则g(x) ax2 2(a 1)x 3，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当 g( 1) 0，即 5 a 0 时，

14、在(1,1)内 g(x) 0 , f (x) 0 , g(1)03函数f(x)在区间1,1上单调递减 11分综上所述，函数f(x)在区间1,1上单调递减时，a的取值范围是 5 a 1 12分36 解：(I)因为 f (x) (x2 3x 3) ex (2x 3) ex x(x 1) ex1 分由 f (x)0 x 1 或x 0 ；由 f (x)00x1,所以f(x)在(，0),(1,)上递增,在(0,1)上递减3 分要使f (x)在 2,t上为单调函数，则2 t 04 分(U)因为f(x)在(,0),(1,)上递增,在(0,1)上递减, f(x)在x 1处有极小值e又 f( 2)13 e,e

15、f (x)在 2,上的最小值为f( 2)从而当t 2时，f( 2)f (t)，即 m n(川)证： f (x°)ex02 X。x0，又 勺ef(x0)沖)2. 2-X。x03(t 1)2,令 g(x) x2 x93(t 1)2,从而问题转化为证明方程g(x)x22(t 1)2 =0 在(2,t)上有3解,并讨论解的个数- g( 2)6 |(t 1)223(t 2)(t 4)，g(t) t(t 1)2(t 1)23(t 2)(t 1),3310当t 4或2 t1 时，g( 2) g(t) 0,所以g(x) 0在(2,t)上有解,且只有一解112当11 4时，g(2) 0且g(t) 0,

16、但由于g(0)-(t 1)20,所以g(x) 0在(2,t)上有解,且有两解12当t1时，g(x)x2x0x0或x 1 ,故g(x)0在(2,t)上有且只有一解;当 t4时，g(x)x2x60x 2或x 3,所以g(x) 0在(2,4)上也有且只有一解 13分I综上所述,对于任意的t 2,总存在X。( 2,t),满足丄舉 -(t 1)2,e 3且当t 4或2 t 1时，有唯一的x0适合题意；当1 t 4时，有两个X。适合题意.14 分(说明：第(3)题也可以令(x) X2 x，x (2"然后分情况证明彳(t 1)2在其值域内)7、解：(I)： f (x) ln x ax2 (a 2)

17、x，二函数的定义域为(0,) . 1 分1二 f (x) 2ax (a 2)x12 ax2 (a 2)x(2x 1)(ax1) 八.3 分xxV f(x)在x 1处取得极值,即 f (1)(2 1)(a 1) 0 , a在(1,)内 f (x)0 ,当 a 1 时，在(,1)内 f (x) 0 ,2 x 1是函数y f (x)的极小值点. a 1 . 6分(n)v a2 a，二 0 a 1 . 7 分11Vx (0,)，二ax 1 0 ,A f(x)在(0,)上单调递增；在(，)上单调递减,22 当0 a -时，f (x)在a2,a单调递增，232二 fmax(x) f (a) Ina a a

18、 2a ； 10 分a 1 当2，即丄a -时，f (x)在(a2,1)单调递增，在(丄,a)单调递减，2 1 2 2 2 2 a21 a a 2 a一八- fmax(x) f( )In 21 In 2 ; 11 分2 424 当1 a2，即一2 a 1时，f (x)在a2, a单调递减，2 22532二 fmax(x) f (a ) 2l na a a 2a . 12 分综上所述，当0 a 1时，函数y f (x)在a2,a上的最大值是ln a a3 a2 2a ;当1 a-时，函数y f (x)在a2,a上的最大值是-1 ln 2 ;224当a 时，函数y f (x)在a2,a上的最大值是

19、2I na a5 a3 2a2. 13分28、解：(1)当 a 0 时，f (x) x xlnx , f '(x) In x , 2分所以 f(e) 0 , f'(e)1 , 4分所以曲线y f(x)在(e, f(e)处的切线方程为yx e.5分(II )函数f(x)的定义域为(0,)2 1f '(x) (ax x) (2 ax 1)lnx ax 1(2ax 1)lnx, x 当 a 0 时，2ax 1 0,在(0,1)上 f'(x)0，在(1,)上 f'(x) 0所以f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上递减； 111 当 0 a 时，在(0,

20、1)和(一，)上 f'(x) 0，在(1,)上 f'(x) 022a2a10分所以f (x)在(0,1)和(丄，)上单调递增，在(1,丄)上递减；2a2a 当a丄时，在(0,)上f '(x) 0且仅有f'(1) 0，2所以f (x)在(0,)上单调递增；12分 当a 1时，在(0,丄)和(1,)上f'(x) 0，在(丄,1)上f'(x) 022a2a14分所以f (x)在(0,±)和(1,)上单调递增，在(三,1)上递减29、解：(I) f (x) -ex，3 分x2x 2x 2 x1221当 a 2时，f (x)2 e， f (1)2

21、 e e， f (1)x1所以曲线y f (x)在(1,f (1)处的切线方程为y ex 2e，5分切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0, 2e)，6分所以，所求面积为1 2 2e 2e.7分2(U)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,10、所以，方程X2则4aa 0.设Xi,X2为函数贝 U x-ix2a ,ax a 0在(0,)内存在两个不等实根,0，9分所以a 4 .10分f(x)的极大值点和极小值点,x-|X2a ,11分因为，f(xJf(X2)e5,即 X1X2 a(xX2) a2exX2所以,X1 aXX2 ax2eex1x22 2a a a a 5e e

22、,a解得，a 5，此时f (X)有两个极值点， 所以a 522, (4>小题满分匹分)(I )函数痢定义域为C-1,十8)*丁卢的“心小-丄纽斗2H-1r + 1.14,12分由/'Cr)>0-得妙0：由广0疋0,得-l<r <0 ./ f (x)的増区面是(。，七功)，迅减区间是(_ij o)分(I) V由产3如+2)_»得FOj尸君(舍去)由(I)M f 3在l-i, q±®St» 在也 一1上违増.又崔丄-1)=丄斗苏e e-当“己-1川-1时，Fg的最大值为2.0= , fie-e故当m > e1 -2BJr

23、不等式F 3如旦成立.0.(川)方程 f(x) x2 x a, x a 1 2ln(1 x)记 g(x) x a 1 2ln(1 x),/ g/(x)11 x由 g/ (x) 0 ,得 x>1 或 x<-1 (舍去).由 g/(x) 0,得 1 x 1 .10分 g（x）在0,1上递减,在1,2上递增.g(0)0,g(1) 0,为使方程f （x） x2 x a在区间0,2上恰好有两个相异的实根,只须g（x）=0在0,1和（1,2上各有一个实数根，于是有g(2)0./ 2 21 n 2 3 21n3 , 11分实数a的取值范围是2 21 n2 a 3 2ln3 . 12分11、解：(

24、1)因为 F x ax 1 ex,1所以 F' xaex ax 1 ex aex x 1 一 , 1分a1当 a 0 时，F ' x 0 x 1 -, a所以F x在区间（1,1 1）上是减函数，a在区间（11Ja）上是增函数；3分当a 0时，F ' x10x1-a所以F x在区间（1,1 -）上是增函数，a在区间（11 a）上是减函数；5分（2）当a 1时，由（1）知道F x在区间 ,0上是增函数，在区间0,上是减函数,所以当x 0时取得极大值F0 1 , 7分2又F 1, F 10 ,方程f x g x t在区间1,1上有两个解，e实数t的取值范围是2,1）; 9分

25、(3) 存在N 24022.由(2)知道当a 1时，F11分1 n 1 丄1 n 1 n 1n所以f 1111,nL23412分当 n 24022 时,1 1 1 111124021240212 4022111111124 48 8 8 82 402224022240221 4022 20112所以:14分-n 2011 。na1ax 1 /(x1)，x1x 110，x112、(I)解：f (x) a当 a 0 时，f (x)所以函数f(x)的减区间为(1,)，无增区间；a(x 丄) 当a 0时，f (x)乳，x 111若 a 0，由 f (x)0得 x 一，由 f (x)0 得 1 x -，

26、aa11所以函数f(x)的减区间为(1,丄)，增区间为(一，)；aa若1 a 0，此时-a1 a(x )1，所以 f (x)0 ,x 1所以函数f(x)的减区间为(1,)，无增区间;综上，当1 a 0时，函数f(x)的减区间为(1,)，无增区间，11当a 0时，函数f (x)的减区间为(1,丄)，增区间为(-,)6分aa1 1(n)解：由(I)得，g(a) f( ) 1 (a 1)l n(1)，aa因为a0，所以g(a)t妙乞011(1 -)l n(1丄)丄0，a aaaa a令 h(x)x (1 x)ln(1x) tx(x 0)，则h(x)0恒成立，由于 h (x) ln(1 x) t，当t

27、 0时，h(x) 0,故函数h(x)在(0,)上是减函数,所以h(x) h(0)0成立；10分当t 0时，若 h(x) 0得0 x et 1,故函数h(x)在(0,et 1)上是增函数，即对0 x et 1，h(x) h(0)0，与题意不符;综上，t 0为所求.12分13、解：(1) 由 f得 a=b.故 f (x)= ax3 2ax2+ax+c.2 1由 f (x)=a(3x 4x+1)=0，得 xi=_ , X2=1.3列表:由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-8,1-)及(1 , +8)2 2a b ab3a3(2) f (x) =3ax2-2( a+b)x+b=3a(x - b)2

28、3a当冬丄 1,或S w 0时，则f (x)在0,1上是单调函数,3a3a所以 f (1) W f (x) W f (0)，或 f (0) W f (x) W f (1)，且 f (0) + f (1)=a>0.所以 | f (x) | W max f (0), f (1).当 ov Lv 1,即-avbv2a,则3ab abW f (x) W max f (0), f (1).3a(i)当-avbW -时，贝U 0va+bW 弐.2 2所以f2 2 2 2 2 2a b ab _ 2a b 2ab = 3a (a b)3a3a3a Z2 > o.所以 | f (x) | W ma

29、x f (0), f (1).12分(ii)当号 vbv2a 时，则(b 誹 2a) v0,即 * |ab v0.222,22,2 ab a b所以 b a b ab=4ab a - > 2> 0,即 卩 f(0) >3a3a3a2 2a b ab3a所以 | f (x) | W max f (0), f (1).16分14、解：(I) f(x)的定义域为(0, +x)，2Pc 2 p 1 x P c 八x2 p 1 x2分xx综上所述：当 OW x W1 时，| f(x)| < maxf(O), f(1).当p 1时,当p 0时,当 0v p v 1时，令f '

30、;(x) =0,解得x则当x 0,： 2卩1p 时，f '(x) >0; x时，f'(x) v 0.故 f(x)在 °, 2p !一 J单调递增'在2pP单调递减.p 1(U)因为x 0，所以当 时，f (x) kx恒成立lnx kx kx令 h(x) 1 ，则 k h(x)max,x因为h'(x)，由 h'(x)0 得 x 1 ,x且当x (0,1)时，h'(x)0 ； 当 x(1,)时，h'(x)0.所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减所以h(X)maxh(1)110分(川)由(U)知当k 1时，有f (x

31、) X，当 x 1 时,f(x)x 即 ln xn 1n 11令x，则ln1即 ln( n 1) In n -12分f '(x) >0，故 f (x)在(0，+x)单调递增;f '(x) v0，故 f (x)在(0，+x)单调递减;所以ln2 1 , In3丄,1 1 2 2,心n相加得In2 In- In1 1 丄12n2 n而 In2 In31 2In 2 2In(n 1)1 1所以 In(n 1)1-231 *,(n N ).n14分15、解：(I)设 f(x)ax2 bx c ( a0),贝U f '(x) 2ax b ,(2分)(2a b)x af (x 1) a(x 1)2 b(x 1) c ax2由已知，得 2ax b (a 1)x2 (2a b)x a b c , a 10 2a