拓扑学第四章紧致性

1、精品文档第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质 ）。§ 4-1度量空间（X,d）中紧性（简单复习）定义1设A是（X, d）的一个子集。如果A中任一无穷点列有子列收敛于X中的一点，则称A是相对列紧的；如果A中每个收敛子列的极限点都属于A ,则称A是列紧的；如果（X,d）本身是列紧的，则称为 列紧空间。注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。下面的结论是显然的（ 由于都是过

2、去的知识，所以不加证明的给出）（1）有限子集总是列紧的。（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的 ）。（3）若A是（X,d）的列紧子集，则 A是（X,d）的有界闭集。（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果 （X,d）是列紧空间，则A列紧 A是闭集。（5）列紧的度量空间必是可分的。进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了 一种非序列刻画的方式。定义2设A是（X,d）的一个子集。U是X的一族开集，满足 UU A,则称U为A在X U U中的开覆盖；若U中只有有限个子集，称 U为有限开覆盖；若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X为紧致空间

3、（有的书成为紧空间）紧致空间理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间（这在泛函分析书中都有介绍）§ 4-2拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的， 实直线上闭区间a,b具有某些极好的性质， 它对于证明极 大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。但是，如何在拓扑空间上表述这个特性， 长期不得而知。所以，最早人们认为a,b上这个特性 取决于a,b上任何一个无穷子集都有极限点， 进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间 上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理

4、论中知道：“实数空间R的子集为有界闭集它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。这种描述的优点：用有限族去代替无穷族（序列）的研究；无须度量描述。解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？定义3设X为拓扑空间，如果 X的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称 X为紧致空间。显然，每一紧致空间也都是 Lindel?f空间（X的每一开覆盖都有可数子覆盖 ），反之不然。定义4设A为拓扑空间X的非空子集，若A作为X的子空间是紧致的，则称A为X的紧致子例1实数集R不是紧致空间。因为A （ n,n） n N为R的开覆盖，但是 A中任何有限子集族（ ni,ni）,（ mL ,（“，“）的并集为（maxn1,n2,L , n

5、k, maxn1,n2,L , nk）,它不能覆盖R ,即A没有有限子覆盖（解释: 要覆盖R只有n 。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。例2 R的开区间（0,1）不是紧致的。因为开区间族A :11,1（,1）,（ ,1）,L ,（ ,1）23 n是（0,1）的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖（0,1）。一- 一，一、一1例3 R的子空间A 0-|n N （ N为正整数集）是紧致的。n因为，任给 A的一个开覆盖 A , A中有一个成员包含0,记这个成员为U （开区间）。于是，1开区间U除了有限个“口外，它要包含 A的所有其余的点，因此，对于 A中的每一个U未包含 n的点，从A中

6、选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。例4任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。重新看一下定义4:说A为拓扑空间X的紧致子集，是指 A中的开集构成的 A的覆盖都有有限子覆盖，并没有明 显说明：每一 X的开集构成的 A的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。定理1拓扑空间X的子集A是X的紧致子集每一由X的开集构成的 A的覆盖都有有限子覆盖。证明：（）假设A是紧致的。令A B 是由X的开集组成的A的一个覆盖，那么，B A就是A中开集所组成的 A的一个开覆盖。由于 A是紧致的，从而有一个有限子族B1 A,B2 A,L,Bm A可以覆盖A,即它就是A的一个覆盖 A的有限族。()反之，设

7、 A的每一由X的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。设 A U 为人的 由X的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为U 1，U 2，L ,U n而(U 1 A) (U 2 A) L (U n A) A 故A是X的紧致子集。定理2设B为拓扑空间X的基，若由B的成员构成的X的每一覆盖(自然是开的)都有有 限子覆盖，则X为紧致空间。证明：设A是X的任一开集。对于 A A ,则A是开集，故存在 B的子族BA ,使得 A U B。令 B BaA= U Ba (即，覆盖A中所有成员A的B中集族) A A由U B U(U B) UA XBA A A B BaA A即，A"是B中成员构成的X的覆盖。如果A一有有限

8、子覆盖，不妨设为Bi,B2,L ,Bn.Bi A。故存在A A ,使得B Ba ,从而Bi Ai o于是，A的有限子集族A,A2,L , An 一定是X的子覆盖。所以，X为紧致空间。定理3 紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。证明： 设A是紧致空间X的闭子集，于是 AC是X的一个开集。如果A是X的任一开覆盖，不难看出AC,A 构成X的一个开覆盖。又因为X是紧致的，故AC,A中存在有限集族Ui,U2,L ,Um, AC是X的有限子覆盖，而 Ui,U2,L ,Um是A的一个有限子覆盖，即闭集A的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以， A是紧致的。下面的几个定理不加以证明的给出。定理4每一拓扑空间都是某一紧

9、致空间的子空间。定理5若Xi,X2,L ,Xn均为紧致空间，则积空间 Xi X2 L Xn为紧致空间。定理6设f:XY是从拓扑空间 X到Y的连续映射,若A是X的紧致子集，则f(A)是Y的紧致子集。上述定理的解释：定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间,并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。b实直线的单点紧致化同胚于圆周(补充点N );R2的单点紧致化同胚于球面 S2。同时，从定理4又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。 即，紧致性不是可遗传性质。定理6说明：紧致集在连续映射下的象也是紧致集。从前面的定义知：紧致性是用一族开集的并运算定义的（ 开

10、覆盖），那么，根据集合论中的摩根定律， “开集的并 运算”与“闭集的交运算”是对偶的。所以，空间的紧性也可以利用另一种方式来定义。（尽管这种定义是较费解的，但是在拓扑学的某些证明中还是有用的）定义5令X为任意非空集合，A是X的任一子集族。如果 A的每一有限子集族的交集都是 非空的，则称 A具有有限交性质。定理7拓扑空间X是紧致的X的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交。关于定理7的注释（不证明）：关于“ X的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交”的含义是：设A 是X上的一族闭集合，它中的任何有限个集合的交集都是非空的，即是有限交性质的。则应由I A ，即，闭集族A 都必含有某个相同元素。&

11、#167; 4-3紧致性与分离公理（Hausdorff空间的紧致子集）本节讨论紧致空间和 T2公理共同作用下得到的拓扑空间性质。定理8 设A是Hausdorff空间X的紧致子集，若 x A,则x与A有不相交的邻域。证明：对于 y A,则y x。由于X是T2空间，则有x和y的开邻域Uy,Vy （注：下标均为y,表示 这两个邻域与y的选择有关），且Uy Vy。当y取遍A时，有Vy y A构成A的开覆盖。又由于A是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为Vy,Vy2,L ,Vyn。V VVy2L Vyn U Uy Uy?L UVyi。所以,则V是A的开邻域，U是x的开邻域。又，对于任意 Vyi （i 1,2

12、,L , n）均有UU V 。证毕。定理9 Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域。证明方法与定理8雷同，证略。它的意义如右图所示c由定理8和定理9,可以得到如下的推论。推论1 Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集。注释：因为x A,则x A （闭包），所以x不是A的聚点，即A是含有聚点的集合， 故A是 闭集。推论2 紧致的Hausdorff空间的子集为闭集它是紧致子集。注释：根据推论1得到 ；由定理3 “紧致空间的闭子集是紧致子集”得到。于是，有如下关系:紧致空间:闭集紧致子集Hausdoff空间：闭集紧致子集紧致Hausdorff空间： 闭集 紧致子集另外，由定理9,

13、我们得到如下结论。推论3 每一紧致的Hausdoff空间都是T4空间。注释：根据紧致Hausdoff空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。 则由定理9,有不相交邻域，则是T4空间。推论4 每一紧致的Hausdoff空间都是T3空间。注释：由紧致Hausdorff空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8,则是T3空间。于是，我们又推出如下关系：对于紧致空间：Hausdorff空间 正则空间 正规空间注：已知：正规空间正则空间Hausdorff空间 ()又，紧致空间是 Lindel?f空间，而对Lindel? f空间有T3T4 ,于是正则空间正规空间I又由推论3和4,故有()成立。定理10 从紧致空

14、间到 Hausdorff空间的连续映射必为闭映射。证明： 设X为紧致空间，Y为Hausdoff空间。f : X Y为连续映射。设A是X的任一闭集，故而是紧致子集( 由定理3),则f(A)是Y的紧致子集(由定理6)。 由推论1, f(A)是闭集。故f为闭映射。定理11 X为紧致空间，Y为Hausdoff空间，f:X Y是在上的一一连续映射，则 f是同 胚。证明：(提示：只要证明f 1 :YX是连续的)在第二章§2-5 “连续映射与同胚”中定理 1 (3)已有结论：“ F :U V ,若V的闭集在F下的原象是闭的，则 F连续”在此，记F f 1,U Y,V X ；于是利用定理10,有f

15、1是连续的。故f是同胚。关于“欧氏空间的紧致子集” 一节略，同学们可以自己看。§ 4-4几种紧致性的关系(简介)在微积分学中，实数空间 R的子集A上，下述命题是等价的:(1) A是有界闭集；(2) A的每一开覆盖都有有限子覆盖；(3) A中每一无限子集都有聚点在 A中；(4) A中每一序列都有收敛的子序列收敛于A中的点；同时，(2)可以写成（5） A的每一可数开覆盖都有有限子覆盖（注：由（5）不能推出（2）!即，（5）不是（1）（4）的等价命题）定义6设X为拓扑空间，如果 X的每一可数开覆盖都有有限子覆盖,则称 X为可数紧致空 间。下面的命题都是显然的。命题1每一紧致空间都是可数紧致

16、空间。命题2 每一 Lindel? f的可数紧致空间都是紧致空间。注释：Lindel ?f空间一一每一开覆盖有可数子覆盖。如果它又是可数紧致空间，则每个可数 子覆盖都有有限子覆盖，则 X每个开覆盖都有有限子覆盖，故 X是紧致空间。前面介绍了度量空间的列紧性，列紧性也可以移植到拓扑空间中。定义7设X为拓扑空间，如果 X的每一无限子集都有聚点，则称 X为列紧空间。（说明：许多书对列紧的定义不一致）定理12 每一可数紧致空间都是列紧空间。（不证明）定义8设X为拓扑空间，如果 X中每一序列都有收敛的子序列，则称X为序列紧致空间。定理13每一序列紧致空间都是可数紧致空间。每一满足第一可数公理 C1的可数

17、紧致空间都是序列紧致空间。由上述定理，我们可归纳出如下关系:§ 4- 5局部紧致与仿紧紧致性是一种很好的拓扑性质，如，紧致空间上的函数有界，并且达到最大、最小值。但是， 紧致性的条件太强，以至于 n维欧氏空间En也不是紧致的（En的闭子集是紧致的）。本节介绍紧致性的两个方面推广一一局部紧致和仿紧的。定义9设X为拓扑空间，如果 X的每一点x X都有一个紧致的邻域，则称X为局部紧致空间。注释：“x X ,都有一个紧致的邻域”，表示至少存在一个，并不是说x的所有邻域都是紧致的。由定义9不难看出：紧致空间一定是局部紧致的。因为 x X ,若X是紧致的，则其闭子集也是紧致的， 只要取包含x的闭

18、集V作为x的邻 域即可；另外，X本身就是每一 x的邻域。 n维欧氏空间En是局部紧致空间。因为欧氏空间上的闭子集是紧致的，于是En的球形邻域的闭包是紧致的。下面讨论局部紧致性与 丁2公理(Hausdorff空间)配合的结果。定理14 设X是局部紧致的Hausdorff空间，则(1) X满足T3公理。(2) x X, x的紧致邻域构成它的邻域基(也称局部基)。(3) X的开子集也是局部紧致的。证明：(1)证明思路：由§ 3-4节命题5,有“ X是T3x X和它的开邻域U ,存在x的开邻域V ,使得V U于是，设x X , U是x的开邻域，仅证存在 x的开邻域V ,使得V U。设X是局部

19、紧致的 Hausdorff空间，x X , U是x的开邻域。x有一紧致邻域 D。根据§ 4-3 中推论1 "Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集”，则D是X的闭集。又由推论4 “每一紧致的 Hausdorff空间都是T3空间”，则D作为子空间是T3空间。令W U intD,则W是x在D中的开邻域；由于D是T3空间，则有x在D中的开邻域V , 使得V W U。以为W是X的开集，D是X的闭子空间，V是D中闭包，也是 X中闭包。综上所述：x X, x在X中的开邻域V,满足V U,即X是T3空间。(2)证明思路：根据x的局部基定义，只要证明对于x的任一开邻域U ,存在x的一个紧致邻域C ,使得C U。对于x X ,设D是x的一个紧致邻域，则 D U也是x的邻域。又