4燕尾定理题库教师版资料

1、甲小学需师网絳小班况篆召羽而对1旺楚脣底4- 2- 4燕尾定理 题库page 1 of 19例题精讲燕尾定理：在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 0，那么S abo : So = BD ： DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和：ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：0乜=S2 ：& =BD : DC【解析】三

2、角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S：S4=BD:DC ;三角形 ABE与三角形EBD同高，S：S2=ED:EA ；三角形 ACE与三角形CED 同高，S4 ：& =ED : EA，所以 S ： S4 =5 ： E ；综上可得 3 0：& = BD : DC .【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上，且BD :DC =1:2 , AD与BE交于点F 则四边形 DFEC的面积等于家家学I名怖网络小班JIAJIAXUE.COMr 3甲小学需埔网絳小班现插希垂師商1补充荐巔【解析】方法一：连

3、接CF ,根据燕尾定理，SA ABFBDSa acfDC设 Sa bdf =1 份，则 Sa dcf =2 份，CSA ABFS CBFAE1ECSa ABF =3份 ,Sa aef=Sa efc=3份，如图所标5所以 Sdcef 二-12Sa abc12方法二：连接DE ,由题目条件可得到Sa abdSa abc3Sa adeJ Sa adc22 Sa abc3J，所以3BFSa abdFESa adeSa defSa deb2=- 1 * 3 Sa becSa abc2 323 2【巩固】而 Sa cde=-Sx ABC3 2如图，已知 BD =DC，11 所以则四边形3DFEC的面积等于

4、30ABC的面积是12求阴影部分面积EC =2AE，三角形A4- 2- 4燕尾定理 题库page 3 of 19【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接CF，因为BD =DC ,EC =2AE，三角形 ABC的面积是30,_1SSA ABC2=15 根据燕尾定理，SA ABFAESA ABFSA CBFECSA ACFBD1CD所以 sa abf *遊"5，SA BFD=15 7.5 =7.5 ,所

5、以阴影部分面积是 30 -10 -7.5 =12.5 1（法二）连接DE，由题目条件可得到Sa ABE二Sa ABC =10 ,311X2AFSa abe1Sa bdeSa bec =S ABC =10，所以-223FDSa bde11111 1 1Sa defSa DEASa ADC 二Sa、ABC - 2.5 ,2232322 1而Sa0ABC =10 所以阴影部分的面积为12.5 .3 2【巩固】如图，三角形ABC的面积是200 cm2 , E在AC上，点D在BC上，且AE: EC =3: 5, BD : DC =2 :3 ,AD与BE交于点F 则四边形DFEC的面积等于 .EFBCD【

6、解析】连接CF ,根据燕尾定理，SA ABF _ BD _ 2Sa acf DC 3SA ABFAE36Sa cbfEC51069545设 Saabf =6份，则 Saacf =9 份，Sabcf =10 份，Saefc =9- 一 份，3+583Sa CDF =106 份，2 + 345452所以 Sdcfe =200亠(6 9 10) (6)=8 (6) =93 (cm )88【巩固】如图，已知BD =3DC , EC =2AE , BE与CD相交于点O,则 ABC被分成的4部分面积各占 ABC 面积的几分之几？【解析】连接CO,设Sa aeo =1份，则其他部分的面积如图所示，所以Saa

7、bc =12 9 *18=30份，所以四部【巩固】分按从小到大各占12+4 5 ABC面积的丄,2 4530301313.5960 ,3010 , 3020（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在 ABC中，CP=】CB , CQ J CA , BQ与AP相交于23点X，若 ABC的面积为6，则 ABX的面积等于 【解析】方法一：连接PQ S bcqABC -1 1 2 由于 CP=2CB，CQ1CA，所以 SabQS-Abc，（3鹽聲名师网络小班甲小学需师网絳小班呪標召遷丽J对1补充脣巔2 1由蝴蝶定理知，AX:XP = S |ABQ : S BPQ = S ABC : S ABC =

8、4:1 ,3 一 6 _所以S|_ABXS ABP5 -4 1。=S ABC5 2 -ABC26 = 2.4 .54- 2- 4燕尾定理 题库page 7 of 19方法二：连接CX设Sacpx =1份，根据燕尾定理标出其他部分面积,所以 SABX =6-： (1 14 4) 4 =2.4【巩固】如图，三角形 ABC的面积是1， BD =2DC，CE =2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分 的面积各是多少？【解析】连接CF ,设Saaef =1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以16282+42Sa aef, Sa abf,Sabdf-SfDCE :2121721217

9、【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE :EC =2:3, BD : DC =1: 2 , AD与BE交于点F .四边形 DFEC的面积等于22 cm2，则三角形ABC的面积【解析】 ABFSa ABF连接CF ,根据燕尾定理，设Sa bdf =1份，则SA ACFBDDC1Sa cbfAEECSad c f 2 份SA ABF - 2SA AFC = 4 份，Sa aef3份,Saefc =4 一2.4 份，如图所标，所以 Sefdc =2 2.4=4.4 份，Saab2 39 份2+32所以 Sa abc =224.4 9 =45 (cm )AC =2 , CD =2 , CB =3

10、, AM =BM，那么三角形 AMN (阴影【巩固】三角形 ABC中，C是直角，已知 部分）的面积为多少？【解析】连接BN . ABC的面积为3 2 -：- 2 =3根据燕尾定理， ACN : ABN =CD : BD =2 :1 ;同理 CBN : CAN =BM : AM =1:1设厶AMN面积为1份，贝U MNB的面积也是1份，所以 ANB的面积是1 1 =2份，而 ACN的 面积就是2 2=4份， CBN也是4份，这样 ABC的面积为4 4 1 1 =10份，所以 AMN的 面积为 3 “10 1 =0.3 .【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是 平方厘米？2平方厘米， EC=2DE

11、F是DG的中点阴影部分的面积是多少【解析】DCEyG设Sxdef -1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影5SBCD1255平方厘米.12【例2】如图所示，在四边形 ABCD中，AB=3BE , AD形BODC的面积为.=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边【解析】:S bod连接AO, BD ,根据燕尾定理Sabo : S bdo = AF : FD=1: 2 , aod二 AE :BE =2:1，设 beo则其他图形面积，如图所标，所以Sbodc =2Saeof =2 12 =24 .【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G

12、，则四边形AGCD的面积是 平方厘米.【解析】连接AC、GB，设SG=1份，根据燕尾定理得S AGB = 1份，S BGC =1份，则S正方形=（1 1 1） 2=6份， SADCG =3+1=4份，所以 SADCG=122m6X=96 (cm2)【例4】如图，正方形 ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF的家家学I名怖网络小班JIAJIAXUE.COMF 3甲小学需埔网絳小班现篆希垂師对1补充荐巔面积是平方厘米.【解析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD =1:2,设Sbhc份，根据燕尾定理Schd =2份，Sbhd =2份,因此S正方形（122）2

13、 =10份,2 37，所以齢“127 “3 4（平方厘米）.4- 2- 4燕尾定理 题库page 11 of 19【例5】如图所示，在 ABC中，BE: EC =3:1， D是AE的中点，那么 AF : FC【解析】连接CD .由于 abd : bed -1:1 ,Sa BED : Sa BCD-3: 4，所以 Saabd : Sabcd=3： 4 ,根据燕尾定理，AF : FCABD : Sabcd =3： 4 .【巩固】在 ABC中，BD:DC=3:2 ,AE : EC =3:1，求 OB : OE 二？【解析】连接OC .因为BD:DC =3:2，根据燕尾定理,4又 AE:EC =3:1

14、，所以 SaqcSatQE -则 S AQB33 4_S AQCS AQE = 2S，AQE ,22 3所以 QB : QE =S.aqb : S.aqe -2 :1 .【巩固】在 ABC 中，BD : DC =2 :1 , AE : EC =1: 3，求 QB : QE =?【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积 比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看 就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接0C 连接0C 因为 BD:DC =2:1，根据燕尾定理，Saob

15、 : S aoc 二 BD:BC =2:1，即 Sao2S aoc ； 又 AE ： EC T： 3，所以 s aoc -4S aoe 则 Saob =2Saoc =3112 3EC 匸EC，故 CG =GE，则 s*1 2 SAEG" 所以两三角形面积之和为 10 * 5 =15 （法2）如上右图，连接 AC、BG 根据燕尾定理，Sabg：Sacg 二 BF :CF =3:1 , S.bcg ：SACG 二 BE: AE =2:1 ,1而 S Abc Sabcd =60 ,2 4S.aoe - 8S aoe , 所以 0B : 0E =S AOB : s AOE -8:1 【例6】

16、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形 ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE =1 AB , CF =-BC , AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则 "EG与厶CGF的 34面积之和为【解析】1所以 AE =EB =2EH ,2所以S AEGS AbfAG :GF =AE : EH =2，即 AG =2GF ,231S ABCD =10 942（法1）如图，过F做CE的平行线交 AB于H，则EH : HB =CF : FB =1:3 ,且 EG =2HF3甲小学需师网絳小班呪標召垂丽对1旺楚脣巔3 121所以 S ABG, S ABC60 =

17、30 , S BCG, S ABC60 = 20 ,3+2+123 + 2+131 1贝U S AEG S ABG =10 , S CFGS BCG =5 ,34所以两个三角形的面积之和为15.【例 7】如右图，三角形 ABC中，BD:DC=4:9 , CE:EA=4:3，求AF : FB .4- 2- 4燕尾定理 题库page 15 of 19【解析】根据燕尾定理得SAOB : SAOC二BD：CD=4:9 =12:27S aob : S boc = AE :CE =3: 4 =12:16（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S aoc ： boc =27:16 =AF ：FB

18、【点评】本题关键是把 AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果 能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求AF : FB .【解析】根据燕尾定理得S aob : Saoc = BD : CD =3: 4=15: 20Sa aob : Sboc AE : CE 5:6 =15:18（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 Sa aoc : Sa boc =20:18 =10:9 = AF : FB【巩固】如图,BD :DC =2:3 , AE :CE =5:

19、 3 ,贝 U AF : BF =【解析】根据燕尾定理有Saabg:Saacg=2:3=10:15,Saabg:Sabcg =5:3=10:6,所以Sa acg : Sabcg =15: 6 =5： 2 =AF : BF【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD: DC =2:3 , EA : CE =5:4，求AF : FB .範家家学IJIAJIAXUE.COM名怖网络小班甲小学需师网絳小联况標召曲丽商1旺楚脣底【解析】根据燕尾定理得s aob : sAOC =BD ：CD =2 :3 =10:15S aob : Sboc = AE : CE = 5: 4 =10 :8（都有 AOB的面积要统

20、一，所以找最小公倍数）所以 S aoc : S boc =15:8 = AF : FB【点评】本题关键是把 AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例8】（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF : FB =BD : DC =CE : AE =3:2 ,且三角形ABC的面积是1，则三角形 形GHI的面积为ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角AA【分析】连接 AH、BI、CG .由于CE : AE =3: 2，所以AE根据燕尾定理，S.acg：S.abg 二CD :

21、BD =2:3 , SbcG : S abG =CE:E3:2，所以4 9S ACG : S ABG : S BCG =4： 6:9，则 S ACG, S BCG =一 一 一一 1919那么 S AGE =2 2AC，故 s Abe S，abc =555S AGC =2-8 ；5 5 19959同样分析可得S.ach，则 EG: EH 二 §CG： Sach=4:9, EG : E S acg ： S ac4:19，所以19EG:GH : HB =4:5:10，同样分析可得 AG :GI : ID =10:5:4，所以 s Bie = 5s Bae = 5 -， S ghi5S B

22、i - -.3 10 a 10 55 a 1919 519【巩固】 如右图，三角形 ABC中，AF :FB =BD :DC =CE : AE =3:2，且三角形GHI的面积是1,求三角形ABC的面积.甲小学需師网絳小班况篆召垂丽J对1旺充脣底【解析】连接BG, agc = 6份根据燕尾定理，Sa agc : Sa bgc 二AF : FB =3: 2=6:4 ,Sa abg : Sa agc 二 BD : DC =3: 2 =9 :6得 Sa bgc =4（份），Sa abg = 9 （份），则 Sa abc =19 （份），因此Sa agcSA ABC194- 2- 4燕尾定理 题库page

23、 17 of 19同理连接AI、CH 得 Sa abh 6Sa bicS ABC19SA ABC1966-61所以一GHL二& ABC1919619三角形GHI的面积是1，所以三角形 ABC的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级AF =2FC，那么AABC的面积是阴影三角形面积的）如图， ABC 中 BD =2DA， CE =2EB，倍.【分析】如图，连接AI .根据燕尾定理，S.bci : S.abi - CF : AF 1: 1的1 -一 3二-，所以 ABC的面积是阴影三角形面积的 7 倍.77 ,所以,那么,Saci : S bci : Sabi

24、 -1:2: 4 , c2c2cS BCIS ABC S ABC .1+2+47 ABC面积同理可知AACG和ABH的面积也都等于2ABC面积的2，所以阴影三角形的面积等于7【巩固】如图在 ABC中,DC EA FBDB EC FA1 /GHI的面积的值.2， ABC的面积家家学I名師网络小班JIAJIAXUE.COMr亠甲小学需埔网絳小班现標希垂師商1补充荐巔4- 2- 4燕尾定理 题库page 21 of 19SA ABHSA ABC所以Sa ghi7 2 2 2Sa abc【解析】 连接 BG,设 Sabgc =1 份，根据燕尾定理 Saagc : Sbgc =AF : FB =2:1

25、, Sabg ：S°agc =BD ： DC =2:1 , S2得 Sa agc =2（份）,Saabg 二 4（份）则 Sabc =7 （份），因此一 -，同理连接 AI、CH 得足 ABC 72Sa bic57Sa abc【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的， 即再重复一次解题思路， 因此我们有 对称法作辅助线【巩固】如图在 ABC中,的值.D = E=FB =1 求GH| 的面积DB EC FA 3 ABC 的面积【解析】连接 BG,设 Sabgc =1 份，根据燕

26、尾定理 Saagc : Sabg AF : FB =3:1 , Sa abg ： Saagc 二 BD ： DC = 3:1S3得Saagc =3（份）,Saabg =9（份），则Saabc =13（份），因此亠竺C,同理连接AI、CH得Sa abc13Sa abhSA ABC= 13,Sa bicSA ABC13所以Sa ghiSa abc_13 -3 -3-3 _ 41313【巩固】如右图，三角形ABC中，AF :FB =BD : DC =CE : AE =4:3，且三角形 ABC的面积是74，求角形GHI 的面积.0翹韵名師网络小班【解析】连接BG, Saagc "2份根据燕尾

27、定理，Saagc : Sabgc 二 AF : FB 二4:3 二12:9 , Sabg : Sagc 二 BD : DC 二4:3 二 16:12s得 Sabgc =9（份），Saabg =16（份），则 & abc =9 12 137（份），因此 Aagc12SA ABC37所以 Sagh37-12-12-121SA ABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是174 泊=237【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示,三个三角形的面积ABC ABC 37同理连接 AI、CH 得 Sa abh12 Sabic12则阴影四边形的面积是多少?【解

28、析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为 ABC , BE和CD交于F，贝U BF二FE，再连结DE .所以三角形DEF的面积为3设三角形ADE的面积为x ,则x: 3，3；=AD : DB =x 10 :10，所以x =15，四边形的面积为 18 .方法二：设Saadf =x，根据燕尾定理Saabf : Sabfc =afe : Saefc，得到2 ae x 3，再根据向右下飞的燕子，有（x V，7）:7=x:3，解得x=7.5四边形的面积为7.5 7.5 18【巩固】右图的大三角形被分成

29、5个小三角形，其中 4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是.【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2: s阴影二13 :4，解得s阴影=2 .方法二：回顾下燕尾定理，有2: （ S阴影'4） 1:3，解得S阴影二2 .【例10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中 4个三角形的面积，问三角形 ABC的面积是多少？家家学I名怖网络小班JIAJIAXUE.COMr亠甲小学需埔剛絳小班现掾希垂師对1补充荐巔【解析】设bof

30、 =x，由题意知BD：DC=4：3根据燕尾定理，得S ABO : S ACO = S4 BDO : SCDO =4：3,所以 S ACO=-(84 x)=63 -x ,44再根据 S ABO : S BCO =S° AOE : S COE，3列方程(84 x): (4030) =(63 x - 35) :35 解得 x =564Saoe：35 =(5684): (4030),所以 SAOE =70所以三角形ABC的面积是84 4030 35 56 70 =315【例11】 三角形ABC的面积为15平方厘米, 的面积.D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分【解析】 令BE

31、与CD的交点为 M , CD与EF的交点为N,连接AM , BN.在 ABC中，根据燕尾定理,Sa abm : Sa bcm =AE : CE =1:1,Sa acm : Sa bcm = AD : BD = 1:1 ,所以Sa ABM=Sa acm = Sa bcn由于Sa aem1Ssa amc21SSA ABM2S,所以 BM : ME =2:1在 EBC中，根据燕尾定理,Sa ben:Sacen = BF : CF =1:12CEN : SACBN = ME : MB = 1: 2设 Sa cen =1(份)，则 Sa ben =1(份)，-4（份）,1111Sa bceSA ABC

32、: Sa bneSa bceSA ABC ,2448Sabcn =2(份)，Sabce所以Sa bcn因为BM : ME =2 :1 ,F为BC中点，所以所以22 11 111Sa bmnSa bneSa ABCSa abc , Sa bfnSa bnc= X33 812 22418Sa abc ,1155 石8 Saabc =24Saabc盲15记125(平方厘米)【例12】如右图，A ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点， AD与BG交于M ,AF与BG交于N ,已知A ABM的面积比四边形 FCGN的面积大7.2平方厘米，则A ABC的面积是 多少平方厘米？甲小学需师

33、网絳小呪標召垂丽商1旺楚脣底【解析】连接CM、CN根据燕尾定理，再根据燕尾定理,AN : NF =4:3 ,、 1Sa abm : Sa cbm =AG：GC=1：1 , Sa abm : Sa acm = BD : CD =1:3，所以 Sa abmSa abc ；5:SA fbn = 4 : 3，所以 _-x1S -5 S4281根据题意，有5【巩固】【解析】:Sa fbn 弓，所以S"1弓;SA ABN : SACBN - AG : GC =1：1，所以 Sa ABNSa ang 14=A2那么SA AFC-SA CBN5 AFC-Sa ABC28= 7.2 ,可得Sa abc

34、 =336（平方厘米）（2007年四中分班考试题）如图, 若ABC的面积为1,那么四边形由于点D是边AC的中点，点E、ABC中，点D是边AC的中点，点CDMF的面积是.F是边BC的三等分点,如果能求出那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形连接CM、CN .根据燕尾定理，么 BM =4DM ,那么S BMFBM另解：得出BNF是边BC的三等分点,NM、MD三段的比,CDMF的面积.S.ABM : S ACM = BF : CF = 2 :1，而 S ACM = 2S ADM，所以 S AB = 2S ACM = 4S ADM，那4即 BM BD .5BF 小 421S BCD

35、 =BD BC53 2,S四边形CDMF- 215S Abm =2S acm = 4S adm 后，可得S admS Abd -54 _Z30 10，155 2117边形 CDMF =S.ACF - S.ADM =3 -1030【例13】如图，三角形 ABC的面积是1 , BD=DE=：EC , CF =FG =GA，三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少？4- 2- 4燕尾定理 题库page 23 of 19O瓢蠱詁名师网络小班甲小学需师网絳小班呪篆召垂丽J对1旺楚脣底4- 2- 4燕尾定理 题库page 25 of 19【解析】 设BG与AD交于点P, BG与AE交于点Q

36、, BF与AD交于点 M , BF与AE交于点N.连接CP,CQ, CM , CN.根据燕尾定理，abp：S°cbp =AG：GC =1:2 , S ABp : S acp = BD ：CD =1： 2，设 S abp =1（份），则1S ABC =1 2 2 =5（份），所以 Sa5【巩固】【解析】同理可得，Sa abq2 1,Sa abn，而 Sa abg1二，所以Sa apq2 13，Sa AQG1217237 5353721冋理，Sa bpm3Sa bdm11 ,所以S|边形PQMN二1 239 ?35212 735701395115111 152四边形MNED，四边形NFC

37、E，绻边形GFNQ=3357042321426321 642D、E是BC边的三等分点，点 F、G是AC边的三等分点，那么四1，点如图，边形JKIHABC的面积为的面积是多少?连接 CK、CI、CJ .根据燕尾疋理，S ACK : S ABK =CD : BD =1： 2， S 'abk : S. CBK = AG : CG =1： 2， 11cS 'AGK12 47所以Sa CK : Sbk : S店BK =1： 2 : 4，那么S a CKS ACK3121S acj84根据对称性，可知四边形17CEHJ的面积也为，那么四边形84JKIH周围的图形的面积之和为ScGKJ2 S

38、 AGI ' S.ABE2 2 1 .61841537061，所以四边形JKIH的面积为1 -70970【例 14】如右图，面积为 1 的 ABC 中，BD : DE : EC =1: 2:1 , CF : FG : GA = 1: 2 :1，AH : HI : IB =1: 2:1，求阴影部分面积.名師网络小班甲小学需师网絳小班呪篆召垂丽对1旺楚脣底家家学I名師网络小班JIAJIAXU.OOMr 21甲小学需師翩絳小班现篆希垂師商1补充荐巔A4- 2- 4燕尾定理 题库page 29 of 19【解析】 设IG交HF于M , IG交HD于N , DF交EI于P .连接AM , IF

39、.9-A| : AB =3:4 , AF : AC =3:4 , . Sa aifS abc16193Sa aimSa aifSaabc- AH:AI =1:3Sa ahmSa ABC ,46464AH :AB =1: 4AF : AC =3:4S 3Sa ahf :Sa ABC16Safim : Sa amf =IH : HA =2 ,Sa fim : Sa aim = FG ： GA = 2 ,同理3Sa cfd = Sa bdhSa abc-SafdhSaabcHM : HF 3：3“:4 ,16166416AI : AB =3: 4, AF : AC =3:4,IF / BC 又TIF

40、 : BC =3: 4,DE : BC =1:2 , DE :IF =2:3,DP : PF =2:3 ,同理HN : ND =2: 3 , THM : HF =1:4 , HN :HD =2:5 ,-Sahmn10Sa hdf7160Sa abc7160同理6个小阴影三角形的面积均为7160721阴影部分面积.16080【例15】如图，面积为影部分面积l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是 AB、BC、CA的三等分点，求阴【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为 M ,AF与CD的交点为N, BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为

41、 Q,连接AM、BN、CP求S四边形admi :在 ABC中，根据燕尾定理，Sa abm : Sa cbm AI : CI 1: 2 Sa acm : Sa cbm =AD : BD =1： 2C家家学IJIAJIAXUE.COM设 Sa abm 二 1（份），则 Sacbm 二 2 （份），Sa acm 二1（份）,Sa abc 二 4（份）,所以Sa ABM = Sa ACMSa abc , 所以Sa ADM41 Sa abm3Sa abc , Sa aim121 Sa ABC,12所以 S四边形 ADMI =()Sa ABCSa ABC ,12 12 6同理可得另外两个顶点的四边形面积也

42、分别是1 ABC面积的6求S五边形DNPQE :在 ABC中，根据燕尾定理S ABN:Sa acn 二 BF : CF 二1： 2 Sa acn : Sabcn 二 AD : BD =1:2,所以Sa ADNS ABN31 1SA ABC3 7 ABC，冋理 SabeQ1 SSA ABC21在厶 ABC 中，根据燕尾定理 Saabp : Saacp =BF ：CF =1：2,Saabp： &cbp =AI ：CI =1:21所以Sa>a abc5、1所以 S五边形 DNPQE =SA ABP Sa ADN 一 SA BEP = 5I ABC11S105 ABC同理另外两个五边形面积是 ABC面积的11105所以S阴影-13 一1131051370【例16】如图，面积为的三角形ABC中,G、 H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求中心六边形面积P、S、M、Q,连接 CR