专题六概率与统计复数算法

1、专题六 SEC'I'ION SIXIK率与统计、复数、算法第1讲排列与组合、二项式定理【高考考情解读】1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在” “不在”问题、相邻问题、相间问题 )为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问 题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利 用二项式定理展开式的性质求有关系数问题.主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、 补集思想和逻辑思维能力 2排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查,般以选择题、填空题形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第 或第二

2、个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中, 难度为易或中等.瞄准高考主干知识梳理 cm+i=cm+ cm i3二项式定理(1)定理：(a + b)n= C0anb0 + cnan 1b +2b2 + cnan rbr + + Cna0bn(r = 0,1,2,n) （2）二项展开式的通项Tr+1= Cnan V, r = 0,1,2，n,其中C：叫做二项式系数二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等, 即 c0= cn, cn=cT,，cn=ct，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Cnn取得最大值；当n为奇数时,中间的两项的二

3、项式系数 C号n, C号丄n相等，且同时取得最大值n?各二项式系数的和a C0 + Cn+U+ + CS= 2n;b cn+ cn+ cnr+=cn+ + c/+1+=1 2n= 2n1热点分类突破增靳高考考点一两个计数原理【例1】（1）（2013山东）用0,1,，9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为A 243B 252261D 279（2）如果一个三位正整数“a1a2a3 ”满足a1<a2 且a3<a2，则称这样的三位数为凸数120,343,275），那么所有凸数的个数为A 240B 204729D 920思维启迪本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用

4、，解题的关键是合理分类，正确分步答案(1)B(2)A解析（1）无重复的三位数有：A3+ a2a2= 648个则有重复数字的三位数有：900 648= 252个分8类，当中间数为2时，有1 X 2= 2种;当中间数为3时,2X3= 6 种;当中间数为4时,3 X 4= 12 种;当中间数为5时,4 X 5= 20 种;当中间数为6时,5 X 6= 30 种;当中间数为7时,6 X 7= 42 种;当中间数为8时,7 X 8= 56 种;当中间数为9时,8 X 9= 72 种.故共有 2 + 6 + 12+20+30+ 42+56+ 72= 240 种.探究提高(1)在应用分类加法计数原理和分步乘

5、法计数原理时，一般先分类再分步，每步当中又可能用到分类加法计数原理.(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.变式训练i (1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序 A只能出现在第一步或最后一步，程序B和c实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共A. 24 种B . 48 种C. 96 种D . 144 种(2)如果把个位数是1，且恰有3 四个数字组成的重复数字的四位数中,个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由“好数”共有个.123,4答案(1)C(2)12解析(1)首先安排A有2种方法;第二步在剩余的 5个位置选取相邻的两个排

6、有4种排法，而B, C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的 3个程序，有A3种排法，共有2 X 4X 2X A = 96种.(2)当相同的数字不是1时，有c3个;当相同的数字是1时，共有 dc!个,由分类加法计数原理知共有“好数” c3+ c3c1= 12个.考点二排列与组合 【例2】(1)(2013重庆)从 3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派 5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1人的选派方法种数是数字作答）（2）（2013浙江）将A、B、c、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有 种.（用数字作答）答案(1)590(2)480解

7、析 分三类：选1名骨科医生，则有 c1（c4c5 + C4c5+c4c5）= 360（种）. 选2名骨科医生，则有 C2（c4c2 + C2c5）= 210（种）; 选3名骨科医生，则有 c3c4c5= 20（种）.骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360 + 210 + 20= 590.分类讨论：A、B都在c的左侧，且按c的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有:探究提高2(A2 a3+ c3a3 A2+ c3a4+ A5)= 480.求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合;分类相加,分步相乘.具体地说,解排列、组合

8、的应用题，通常有以下途径:（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.变式训辣耳（1）（2012山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为A. 232252c. 472D . 484某台小型晚会由 6 目乙不能排在第一位，个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共A. 3

9、6 种42种c. 48 种D . 54 种答案(1)c(2)Bcic?2= 264(种);解析（1）利用分类加法计数原理和组合的概念求解.分两类：第一类，含有 1张红色卡片，共有不同的取法第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C?2 3C4= 220 - 12 = 208（种）.由分类加法计数原理知不同的取法有264 + 208= 472（种）.（2）分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件,有A：种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C1种排法，其他3个节目有a3种排法，故有Ca3种排法.依分类加法计数原理，知共有 a

10、J+ c3a3=42（种）编排方案.考点三二项式定理【例3】（1）（2013辽宁）使 bx+点）（n N +）的展开式中含有常数项的最小的n为 （）B. 5若(1 -2x)1 2 013= a0+ a1x+ a2 013X2 013(x R),则|1+|2+-+的值为()B. 0答案(1)B(2)C解析（1）展开式的通项公式 Tr +1= Cn（3x）n-rTcH_ rr5_ . _Tr+1 = 3 - Cnxn-, r = 0,1,2,，n.55令n 2 = 0, n=歹，故最小正整数n= 5.(1 -2x)2 013= a0+ a1x + a2。说2 013,令则卜 2 X 1) 013a

11、ia2a2 013=a0 + y +22+ 2 = 0,其中 a0= 1,所以 01+"p+2= /VX+的展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为（A. 120B . 252C.:2 011 2若(1 + x)(2 x)= a0+ a1x + a2X +-+ 32 012等于"Cc2 011A . 2 2B. 2 2'2 011C. 1 2D. 1 2答案(1)C(2)C解析（1）根据二项式系数的性质，得 2n =X2 0122 01221010,故二项式变式训练3_a2 011X2 011 + a2 012X2 012,则 a2+a4+a2 0101 7 2

12、n的展开式的通项公式是Tr + 1= C10(VX)10-r 3M丿r rr r=C10x5 2 3，根据题意5 2 3 = 0,解得r = 6,故所求的常数项等于C60= C10= 210.(2)米用赋值法，令x = 1,得 a0+ a1 + a2+ a2 011 + a2 012= 2，令 x= 1，得 a。一 a1 +a2一a2 011 + a2 012 = 0,把两式相加，得2(a0 + a2+ a2 012) = 2,所以 a0+a2+a2 012 = 1，又令 x= 0，得 a0= 2 1 所以 a2+ a4+ a2 010+ a2 012= 1 故选 C.1.排列、组合应用题的解

13、题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚 “分类”或者“分步”的具体标准是什么.(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素(特殊位置)优先安排法；合理分类与准确分步；排列、组合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题倍缩法； 多排问题一排法； “小集团”问题先整体后局部法;构造模型

14、法；正难则反、等价转化法.2.二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解.另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点:(1)cnanrbr是第r + 1项，而不是第r项.运用通项公式Tr +1 = cnanrbr解题，一般都需先转化为方程(组)求出n、r,然后代入通项公式求解.(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n,计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系押题

15、精练A、B两1.有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.B说：你位学生去问成绩，老师对 A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为B. 18C. 20D. 24答案 B2.解析由题意知，名次排列的种数为如图所示，在A、B间有四个焊接点c3a3= 18.123,4,若焊接点脱落导致断路，则电路不通.今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有B . 11 种C. 13 种D . 15 种3.答案 C解析 按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落 1个，有（1）, （4），共2种;个，有(1,4), (2,3),

16、 (1,2), (1,3), (4,2),(2,3,4), (1,3,4)，共 4 种；若脱落 4 个,种焊接点脱落的情况.若脱落2（4,3），共 6 种；若脱落 3 个，有（1,2,3）, （1,2,4）,有(1,2,3,4)，共 1 种综上共有 2+6+ 4 + 1= 13在(1 x)n= a0+ a1x+ a2X2 + a3X3 + af 中，若 2a2 + an-3= 0，则自然数 n 的值是()D . 10答案 B解析 易知 a2= cn, an- 3= ( 1)n-'c：-' = ( 1)n Cn, 2a2+ an 3= 0,二 2C2 + ( 1)n 3C3 =

17、0,将各选项逐一代入检验可知n= 8满足上式，选B.在（1 + QX）2（1 +饭）4的展开式中，X的系数等于.（用数字作答）答案 3解析 因为（1 +五）的展开式中x的系数为1 , （1 +镶）4的展开式中x的系数为C3= 4,所以在（1 + VX）2 （1 +引X）4的展开式中，x的系数等于一3.专题突破练（推荐时间：45分钟）、选择题1.(2012重庆)(1 3x)5的展开式中X3的系数为A. 270B . 90C. 90D. 2705 .4人既有男生又有女生的选法种数为35 1 = 34.解析 (1 3x)5的展开式通项为答案 ATr + 1 = C5( 3)rxr(0< rw

18、5, r N)，当 r = 3 时，该项为T4= c5( 3)3x3= 270x3，故可得 x3的系数为270.2.(2013课标全国n )已知(1 + ax)(1 + X)5的展开式中X2的系数为5，则a等于 答案 D 解析(1 + ax)(1 + x)5中含 x2 的项为：(C5 + C5a)x2,即卩 c5 + cja = 5, a= 1.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有A . 11 种B . 20 种C . 21 种D . 12 种答案 C解析当第一组开关有一个接通时，电路接通为c2(c3 + c3+ c3)= 14 种方式;当第一种方式，组有两个接通时，电路接通有C2(C1

19、 + c3+ C3)= 7种方式.所以共有14+ 7 = 21 故选C.高三某班6名同学站成一排照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有A . 120B . 240C . 360D . 480答案 B 解析 先将其他4名同学排好有 a4种方法，然后将甲、乙两名同学插空，又甲、乙两人顺序一定且不相邻，有C2种方法，所以共有 a4c5= 240种排法.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试， 若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A . 140 种B. 120种C . 35 种D . 34 种答案 D解析 从7人中选4人共有C4= 35种方法，

20、又4名全是男生的选法有C4= 1种.故选6.A. 122B . 123C. 243D . 2447.答案解析=35,122,在已知等式中分别取 x= 0、x= 1 与 x= 1，得 a0= 1, a0+ a1+ 82+ 83+ a4 + a5a。一a1 + a2 a3+ a4 a5= 1,因此有 2(a1 + a3 + a5) = 3 + 1 = 244, a1+a3+ a5 =a0+ ai +a3 + a5= 123，故选 B.在二项式（x2 x）n的展开式中，所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为若(1 + 2x)5 = a0+aix+ aiX + a3x' + a4x

21、° + 35x1 贝U a0+ai+a3+ a5的值为A. 32B . 32答案 C解析 依题意得所有二项式系数的和为2n= 32，解得n = 5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于（12 ）5= 0，选C.（2012湖北）设a Z,且0W a<13，若512 012 + a能被13整除，则a的值为 （）C . 11D . 12答案 D 解析 化51为52 1,用二项式定理展开.512 012 + a= (52 1)2 012 + a= c2 012522 012 c 012522 011+ + 踐 X 52 X ( 1)2 011 + 雳膨X ( 1)2 012 + a.

22、因为52能被13整除, 所以只需C2 012 X ( 1)2 012 + a能被13整除, 即a +1能被13整除，所以a= 12.（2012大纲全国）将字母a, a, b, b, c, c排成三行两列，要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A . 12 种B . 18 种C . 24 种D . 36 种答案 A解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有a3种不同的排法.再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A1种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法.C. 1 008 种D.1 108 种因此共有a3 > -1 = 12（种）不同的排列方法.

23、10.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有B. 960 种A. 504 种答案 C解析由题意得不同的安排方案共有A 2(A 6 2A 5+ A；) = 1 008(种).二、填空题11. （2013安徽）若亍的展开式中,X4的系数为7,则实数a=答案1a 解析Tr+ 1 = C8x8- r张丿311a = 8, a = 2.r r 44=aC8x8 了，由8 了 = 4得r = 3，由已知条件a3c8= 7,则1张，如果分4人，各有12.（2013北京）将序号分别为1

24、23,4,5的5张参观券全部分给 4人，每人至少给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .答案 96 解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给a4种分法，不同的分法种类共有 4A4= 96.C QC13. (2012 浙江)若将函数 f(x) = X 表示为 f(x)= a0+ a。+ x) + a2(1 + x) + a5(1 + x),其中a0, a1, a2,，a5为实数，则 a3=.答案 10 解析 方法一 将f（x） = x5进行转化，利用二项式定理求解.55f(x)= x = (1 + x 1), 它的通项为 Tr + 1 = C5(1 + X)5

25、r ( 1),T3= c5(1 + x)3( 1)2= 10(1 + x)3, a3= 10.方法二 不妨设1 + x= t，则x = t 1 ,，52345因此有(t 1) = a0+ a1t + a2t + a3t + a4t + a5t ,则 a3= C5（ 1） = 10.14 某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位， 其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为答案 70解析分两步：第一步先选3个人即c3= 冷 =35.第二步3个人相互调整座位，有2种方法. 35X 2= 70.15.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为答案 36解析 若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有X2 2AX1 3C3= 18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3 XC1= 18种.所以满足题意的分法共有 18+ 18= 36种.16.将9个相同的小球放入 3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有 1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有不同放法种.答案 18第一类，这3个盒子中所解析 对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数:放的小球的个数是1,2,6，此类放法有 a3= 6种；第二类，这 3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此