(完整版)小学奥数中的数论问题

1、小学奥数中的数论问题在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题 目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基 本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质； （2）数的整除特征（小升初 常考内容）余数问题：（1 ）带余除式的运用被除数=除数X商+余数.（余数总比除数小）（ 2）同余的性质和运用奇偶问题：（ 1 ）奇偶与加减运算； （ 2）奇偶与乘除运算 质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理） 约数倍数：（ 1 ）最大公约最小公倍数两大定理一、两个自然数分别除以它们的最大公

2、约数，所得的商互 质。二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的 乘积。（ 2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常 出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地 位在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇 后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著 的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究 发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试 卷总分的 30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学 的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依 据，这一部分学习的

3、好坏将直接决定你是否可以在选拔考 试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇 到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简 单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了 数学课本上的简单数论题，比如：例 1：求 36 有多少个约 数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。 可是小升初考题里则是：例 2：求 3600 有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！” （孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去 求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划这道题其实用约数个数决定法则非常好求，而且省时省 力！可是我们

4、的出题老师却振振有词道：“这道题不超纲， 也符合教委的精神，因为你就是用普通数学的方法也能做 出来，无非多花一些时间而已！”殊不知考试的时间何其宝 贵，这道题的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高 下！ 数论的定理背起来简单，但真正理解和掌握却很难。 数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括，于是有些 孩子拿起来蒙头就开始背，终于花了不少时间硬啃下来， 却不食其中“滋味”，遇上数论的题目只能一条一条定理的硬 套，结果很多题目还是不会做。这里的原因在于缺乏老师 正确的引导，很多定理细心领会比死记更重要！孩子自身 的领悟能力有限，站在老师的肩膀上才能看得更远！ 单个数论的知识点掌握起来较简单，但综

5、合运用却很难。 数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察，比如和 分数，和计数综合等等。这样的题学生往往感觉无从下 手，也有一定难度，因此得分率很低。比如，例3：一个学校参加某项兴趣活动的学生不到 100 人，其中男同学人数 超过总数的 4/7 ，女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生 各多少人？（某中学入学测试压轴题）这道题兼顾分数主要从数论中的整除特性考查学生。 例 4 ：有一个四位数分别除以它的各位数字得到四个整数 商,这四个商的和还是这个四位数 ,求满足要求的四位数共有 多少个 ?这道题同样从数论入手考察学生多个知识点的综合运 用，题目较难。四、该如何学习数论知识数论的知识点较多

6、，在考试中占的比重较大，学生在 学习的过程中，熟记定理是必要的，除了熟记以外，更应 该知其然，知其所以然。如果时间允许，可以动手将所有 定理和公式一一推导一遍。比如：为什么能被4（或 25）整除的数只需要看末尾两位是否能被4（或 25）整除？原来一个数可以分成两部分的和，最后 2 位和前面若干位的 100 倍，前一部分能被 100 整除（当然也肯定能被 4 或 25 整除），所以只需看后两位即可。理解了这个也就不难理 解：为什么能被 8（或 125 ）整除的数只需要看末三位是否 能被其整除即可（想一想？）这样做的益处是一方面让孩子更深刻的理解了定理和 公式来源，举一反三，而不是死记硬背；另一方

7、面当作习 题来熟练解题套路，实践证明对于孩子的思维发散是很有 帮助的。要想深刻掌握数论题的解题要领，还需要多做些数论 的综合题。有些解题的常用套路是可以归纳总结的，比如 整数表示法，枚举法，反证法，构造法等等在这里不一一叙述，需要由老师帮助引领完成。五、哪些参考书数论部 分编写的较好对于数论常用知识点不了解的学生可参看：华校课本五年级上册 15讲，下册第4讲；华 校课本六年级上册第 8 讲，下册第 7 讲。（讲解知识点较 为详细）六、小学奥数的几大重点包括：行程问题，数论问题和几何问题。几道小学数 学数论题1 在 43 的右边补上三个数字，组成一个五位数，使它能 被 3， 4， 5 整除，求这

8、样的最小五位数 .2.两个整数A, B的最大公约数是 C,最小公倍数是 D.已 知C不等于1，也不等于 A或B，并且C+ D= 187.求A + B 是多少？3某个自然数是 3 和 4 的倍数，包括 1 和它本身在内共有10 个约数，那么这个自然数是几？（1 ）1 与 0 的特性： 1 是任何整数的约数，即对于任何整 数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，az0,a为整数，则 a|0.（2）若一个整数的末位是 0、2、4、6 或 8,则这个数能被 2 整除。3）若一个整数的数字和能被 3 整除,则这个整数能被 3 整除。（4）若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。

9、（5）若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数能被 5 整除。（6）若一个整数能被 2 和 3 整除，则这个数能被 6 整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去 个位数的 2 倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数， 就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直 到能清楚判断为止。例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程 如下：13 -3X 2=7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 - 9X 2=595 ,59- 5X 2=49，所以6139是7的倍数，余类推。（8） 若一个整数的未

10、尾三位数能被8 整除，则这个数能被8 整除。（9）若一个整数的数字和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除。（ 1 0 ）若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10 整除。（11 ）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。 11 的倍数检验法也可用上述检查 7 的割尾法处理！ 过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1！（12 ）若一个整数能被 3 和 4 整除，则这个数能被 12 整 除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加 上个位数的 4 倍，如果差是 13 的倍数，则原数能被 13 整 除。如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断 为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减 去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整 除。如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断 为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加 上个位数的 2 倍，如果差是 19 的倍数，则原数能被 19 整 除。如果差太大或心算不易看出是否 19 的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相加