定积分的概念及性质ppt课件

1、第26讲一、问题的提出一、问题的提出二、二、 定积分的定义定积分的定义五、五、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念 三、三、 定积分的几何意义定积分的几何意义四、四、 可积的充分条件可积的充分条件 第五章第五章 一、问题的提出一、问题的提出1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积由曲线由曲线，)0()( xfy轴轴，x及直线及直线bxax ,围成围成 ,求其面积求其面积 A .面积：面积：解决的步骤解决的步骤 1)分割：分割： a , b 中任意插入中任意插入 n 1 个分点个分点:0121nnaxxxxxb 用直线用直线ixx n 个小曲边梯形个小曲边梯形;困难困难 曲边梯形高度变化，曲边梯形高

2、度变化，不能使用不能使用.，将曲边梯形分成，将曲边梯形分成3) 近似和：近似和：1niiAA 1()niiif x 4) 取极限：取极限：令令1max,ii nx 则曲边梯形面积则曲边梯形面积01lim()niiif x ，1,iiixx 2) 取近似：取近似：任取任取第第i个窄曲边梯形面积个窄曲边梯形面积()iiiAf x 1()iiixxx 底底高高 niiAA12. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程某物体作直线运动某物体作直线运动,12( ),vv tC TT ( )0,v t 求在运动时间内经过的路程求在运动时间内经过的路程 s.1)分割分割 ：1,(1,),iittin 第第i

3、段上物体经段上物体经任任意意插插入入个个分分点点1,n (1, 2,)isin 速度速度n 小段小段过的路程为过的路程为解决的步骤解决的步骤将将 分成分成,21TTv变化，变化，公式失效公式失效初等公式初等公式tvs03) 近似和：近似和：iniitvs 1)( 4) 取极限：取极限：iniitvs 10)(lim )max(1init 方法步骤相同方法步骤相同 :“分割分割 , 取近似取近似 , 近似和近似和 , 取极限取极限 ”极限结构式相同极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限两问题的共性两问题的共性任任取取1,iiitt 2) 取近似：取近似：以以代代替替变变速速(),

4、iv ()iiisv t ), 2, 1(niabxo二、定积分定义二、定积分定义 设设在在上上有有界界( ) , ,f xa b，,ba01,naxxxb ,1 iiixxx令令任取任取1,iiixx i当当时时，1max0ii nx iniixf 1)( 总趋于数总趋于数 I , 则称则称 I 为为)(xf在在,ba上的定积分上的定积分,1xix1ix( )dbaf xx 即即( )dbaf xx 01lim()niiif x 记作记作任意划分任意划分1.定义定义 baxxfd)(iniixf 10)(lim 积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数积分变量积分变量积分和积分和：积

5、积分分区区间间 , a b符号说明符号说明被积表达式被积表达式2. 几点说明几点说明(1)”？”换换“用用“0 n不行！不行！(2) 两个任意性：两个任意性：划分的稠密性：划分的稠密性：划划分分任任意意 , a b选选点点任任意意i)3(上的定积分存在时，上的定积分存在时，在在当当,)(baxf称称 f (x) 在在区间区间a, b上可积上可积.定积分定积分 与与 有关有关与积分变量用什么字母表示无关：与积分变量用什么字母表示无关： 被积函数被积函数积分区间积分区间(4) 确定定积分的两个要素确定定积分的两个要素( )dbaf xx ( )dbaf tt ab)(xfy xyOab)(tfy

6、tyO“面积相同面积相同”三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义Axxfxfba d)(,0)(（曲边梯形面积）（曲边梯形面积） baxxfxfd)(,0)(（曲边梯形面积的负值）（曲边梯形面积的负值）abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba （各小面积的代数和）（各小面积的代数和）A 四、可积的条件四、可积的条件可积的必要条件：可积的必要条件： 在在a, b上有界上有界)(xf1. 必要条件必要条件在在上上可可积积( ) , f xa b在在上上有有界界( ) , f xa b反例反例: 狄利克雷函数狄利克雷函数 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxD0, 1)

7、(在任何区间在任何区间a, b上有界，但却不可积分上有界，但却不可积分.事实上，事实上，作分划：作分划：bxxxxxann 1210), 2 , 1(,1nixxii ,1iiixx 若若取取有有理理数数abxxDIiniiinin 1111)( abxDIiinin )(limlim1010 ),2 , 1(1)(niDi 则则,1iiixx 若若取取无无理理数数00)(112 iniiininxxDI 0)(limlim1020 iininxDI 2010limlimnnII ), 2 , 1(0)(niDi 则则.,)D(上上不不可可积积在在bax2. 充分条件充分条件定理定理1 在在上

8、上连连续续，( ) , f xa b则则在在上上可可积积( ) , .f xa b定理定理2在在上上有有界界( ) , ,f xa b且只有有限个间断点，且只有有限个间断点， 则则在在可可积积( ) , .f xa b注注有界函数有界函数 f (x)的定积分是否存在以及定积的定积分是否存在以及定积分的值为多少与分的值为多少与 f (x)在积分区间上有限个在积分区间上有限个点处的值无关点处的值无关.利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解将将 0,1 n 等分等分, 分点为分点为niix nix1,nii取取(1,2, )in 则则2()iiiif xx 32ni1( )niiif

9、 x 2311niin 311(1)(21)6n nnn 111(1)(2)6nn 例例1122001dlimniiixxx o1 xyin2xy 在在上上连连续续，必必可可积积分分. .( )0,1f xlimn 13 111(1)(2)6nn利用利用,133) 1(233nnnn得得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加两端分别相加, 得得1)1(3 n)21 ( 3nn即即nnn3323nii12332) 1( nnnnii12) 12)(1(nnn)21 ( 3222n61注注 1.,d)(,)(的的取取法法无无关关

10、的的分分法法及及与与则则上上可可积积在在若若ibabaxxfbaxf ), 1 , 0(niinabaxi 分分点点：), 2, 1(ninabxi ), 2 , 1(nixii (小区间右端点小区间右端点)2此时，将此时，将 a, b n等分，等分，那么那么 baxxfd)( ninnabinabaf1)(lim有有 niiinxf1)(lim 可利用定积可利用定积分求一些分求一些“和式数列和式数列的极限的极限.取取五、定积分的性质五、定积分的性质(设定积分均存在设定积分均存在)( )dbaf xx 时时，2 ab 1( )dbak f xx ( k 为常数为常数)2 ( )( )dbaf

11、xg xx 证证 左左端端012lim ()()niiiif g x 01lim()niiif x = 右端右端规定规定时时，1 ba 性质性质1（线性性质）（线性性质）( )dabf xx ( )dbakf xx ( )d( )dbbaaf xxg xx 01lim()niiig x ( )d0baf xx 例例2是是连连续续函函数数，且且设设)(xf,d)(2)(10 ttfxxf求求 f (x).解解，则，则令令attf 10d)(axxf2)( xaxxd2d1010 axx2d10 axxf2)( 10dx 10d)(x a分析分析对于给定的被积函数及积分区间，定积分对于给定的被积函

12、数及积分区间，定积分( )dbaf xx 是一个确定的数是一个确定的数.xxad10 xyO1y = x1121 .21 )(xf从从而而. 1 xax2 baxxfd)(（可加性）（可加性）性质性质2 caxxfd)(.)(,中中的的任任意意三三个个数数的的可可积积区区间间为为其其中中Ixfcba bcxxfd)(证证 1 当当bca 时时,因因)(xf在在,ba上可积上可积 ,（以（以c 为分点分割区间）为分点分割区间） ,)(baiixf ,)(caiixf ,)(bciixf ,)(baiixf ,)(caiixf ,)(bciixf ，得，得令令0 baxxfd)( caxxfd)(

13、 bcxxfd)(abc当当时时2abc 类似）类似）（bac 由由1 得得 caxxfd)( baxxfd)( cbxxfd)( caxxfd)( baxxfd)( cbxxfd)( caxxfd)( bcxxfd)( baxdab 性质性质3 （度量性）（度量性）（区间长度）（区间长度）性质性质4因因11()0niiif x 那么.0d)(xxfba证证若若1( )0,f x 故故( )dbaf xx 0)(lim10iinixf若若2( )( ),f xg x 那么xxfbad)(xxgbad)(（保序性）（保序性），,bax，,bax令令，2( )( )( )F xg xf x . 0

14、)(xF则由由1得得0 )()(d)(babaxfxgxxF）（）（推论推论( )dbaf xx ( ) dbaf xx 证证由由 ( )f x( )f x ，( )f x )(ba ( ) d( )d( ) dbbbaaaf xxf xxf xx即即( )d( ) dbbaaf xxf xx 及保序性及保序性, 得得例例3比较积分大小：比较积分大小：与与1121200(1)dd ;IxxIxx 与与2223411(2)dd ;IxxIxx 解解（ ）因因21,0,1,xxx 故故12.II （ ）因因22,1,2,xxx 故故34.II , )(min, )(max,xfmxfMbaba 那

15、那么么)(d)()(abMxxfabmba )(ba （估值定理）（估值定理）性质性质5设设证证,)(Mxfm 由由 xxfbad)( baxmd baxM d )(abm)(abM 得得例例4估计估计221dxIex 的值的值.解解由由214,xeee 得得221dxex 41ee 例例5 试证试证:证证 设设 )(xf20,sin xxx寻找最值寻找最值0,1 x.2dsin120 xxx 那么那么 )(xf20,sin xxx0,1 x上上连连续续，从从而而可可积积，在在20)( xf )(xf2sincosxxxx )tan(xx2cosxx0)2, 0( x)0()()2(fxff

16、即即 2,1)( xf)2, 0( x故故xxxfxd1d)(d2202020 即即2dsin120 xxx性质性质6 (定积分中值定理）定积分中值定理）若若( ) , ,f xC a b 则至少存在一点则至少存在一点, ,ba 使使证证由性质由性质5 5 ，Mxxfabmba d)(1 由介值定理由介值定理, ,有有点点 , ,a b 使使xxfabfbad)(1)( 设设 , , max( ),min( ) ,a ba bMf xmf x ( )d( )()baf xxf ba 设设)(xf可可导导，且且1)(lim xfx， 求求 ttfttxxxd)(3sinlim2 . 例例6解解由积分中值定理知由积分中值定理知, 有有,2, xx使使ttfttxxd)(3sin2 3sin( )(2),f xx ttfttxxxd)(3sinlim2 32 limsin( )f )(33sinlim6 f 6116 定积分中值定理的数学意义定积分中值定理的数学意义