中值定理、罗必塔法则

1、第三章中值定理、罗必塔法则、导数的应用-、学习目的与要求1、加深理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式。2、会应用中值定理做一些证明题。3、熟练掌握用罗必塔法则求未定式的极限。4、理解函数的极值概念。5、掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点。6、 能描绘函数的图形(包括水平与铅直渐近线)。7、会解较简单的最大值和最小值的应用问题。&知道曲率及曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。二、学习重点中值定理的应用函数最值的求法及函数图形的描绘三、内容提要1、微分中值定理名称定理简图几何意义罗尔(Rolle )定 理若函数f (x)满足(i) 在闭

2、区间a,b上连续，(ii) 在开区间(a,b)内可导，(iii)f(a) f(b)，则(a,b)，使得f ( )0)J若联结曲线端点的弦是 水平的，则曲线上必有一 点，该点的切线是水平 的。拉格朗日(Lagrange) 中值定理若函数f (x)满足;(i) 在闭区间a,b上连续，(ii) 在开区间(a,b)内可导，贝V(a,b)，使得f(b) f(a) f ( )(b a);或者 f (a h) f (a) f (a h)h(01,h b a)d L曲线上总存在一点，该点 的切线与连结曲线端点 的直线平行。推论1在定理条件下，若 f (x)0,则f (x)常数推论2若f(x)、g(x)都满足定

3、理条件，且 f (x) g (x),则f (x) g(x) c(c为常数)柯西(Cauchy)定理若函数f(x),g(x)满足；(i) 在闭区间a,b上连续，(ii) 在开区间(a,b)内可导，(iii)g (x)0,则(a,b),使得f(b) f(a) f () g(b) g(a) g ()同上，只是曲线由参数方x g(t)程y a t y f(t)b)2、罗必达法则(LHospital)类型条件结论0型0与_型设当x a时f(x)与g(x)均为无穷小(或均为无 穷大)，且存在b a，使f (x)、g(x)在(a,b)内可 微且g (x)0, lim f (x) L(L为有限或)x a g

4、(x)rf(x) f (x)lim lim Lx a g(x)X a g (x)注1将结论中的x a换成x a或x a,x , x，且其它条件亦作相应变动，结论仍成立。注2 其它未定型转化为 -型型的形式。 03、泰勒(Taylor)定理设函数f(x)在含xo的某开区间(a,b)内具有直至n 1阶导数，则有f (x0)2f(x)f(x0) f(x0)(x X。)一2-(x X。)f(n)(X)n!(xx)nRn(x)f(n 1()其中Rn(x)(x x)n1,在X与X0之间,Rn(x)称为f (X)在X0处的拉格朗日余(n1)!项。特别，在上式中令X0，得f(x)f(0) f (0)f (0)

5、 2Xf(n)(0) nXf (n 1)(x) n 1x ,01.21n!(n1)!此公式称为麦克劳林公式f (x)f(x)f(x)(x x)(X0)(x 2!X0)2()(x X0)o(x X0)n!称为带有皮亚诺(Pea no)余项的泰勒公式f (0)f(n)(0)f (x) f (0) f (0)x2xn o(xn),称为带皮亚诺余项的麦克劳林2!n!公式注 在学习过程中应注意上述四个定理之间的关系4、函数的性质(I)单调性定理 设f (x)在a,b 上连续，在(a,b )内可微。(i) f(x)在a,b上单调增(单调减)的充要条件是在(a,b )内f (x) 0( f (x) 0)。(

6、 ii) f(x) 在 a,b 上严格单调增(严格单调减)的充要条件是在(a,b )内f (x)0( f (x) 0)，且使f (x) =0的点x不充满(a,b )的任何子区间。II )极值(1)极值的概念设f(x)在点xo及其邻域有定义，对于充分接近xo的所有x,若f(x)f(Xo)，则称函数f (x)在x = xo处取得极小值。函数f (x)的极大值和极小值统称为函数的极值使f (x)取得极值的点xo称为函数的极值点。若函数 f (x)在点xo处可微，且 f (x) o,则称点xo为函数f (x)的稳定点(驻点)。( 2)基本定理定理 1(必要条件) 一个函数只能在它的稳定点及不可微点处取

7、得极值。定理2 (第一判定定理)设函数f(x)在点xo处连续，在xo的附近可微(点xo可除夕卜)，当点x渐增经过点Xo时，f (x)的符号由正(负)变负(正)，贝y f (x)在 点 xo 处取得极大(小)值。定理3 (第二判定定理)设函数f (x)在点xo处具有二阶导数，且f (x) o ,f (x) o,则当f (x) o ( f (x) o)时函数f (x)在点xo处取得极大值(极 小值)。III )函数最大值、最小值的求法因为由闭区间上连续函数性质知：在闭区间a,b上连续的函数在该区间上必有最大值和最小值。所以若f (x)在a,b 上可微，则可用下面的方法求出它的最大值和最小值：先由极

8、值的判定定理，求出函数f(x)的极值点，然后比较函数在所有极值点处的值与函数的区间端点的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最 小值。若所考虑的区间为开区间或无穷区间,只要有办法断定最大值(最小值)是 存在的,那么从所有极大值(极小值)中选取最大(最小)的就是最大值(最小 值)。特别地,若在开区间内只有一个驻点时,最大值(最小值)则就在这个驻点处取 得。(IV )函数的凸性及曲线的拐点定义1若连续曲线y f(x)上任意两点A,B的弦AB恒在曲线段 AB的上侧(下 侧)，则称f(x)为下凸(上凸)函数，简称凸(凹)函数，而称曲线y f(x)为下凸(上凸)曲线。若对于任给 ，a,b()与t (0,

9、1),有f(1 t) t ) (1 t)f( ) tf()则称f (x)为在a,b 上的凸函数，若将上式中的w”换成v”，则相应地改称为“凸函数”为“严格凸函数”。若 f(x)为凸(严格凸)函数，则称 f(x)为凹(严 格凹)函数。定义2连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。定理 设f (x)在(a,b )内二次可微，f (x)在a,b 上连续(i) f (x)在a,b 上的凸(凹)函数的充要条件是在 (a,b )内f (x) 0 ( f (x) 0 )(ii) f(x)在a,b上严格凸(凹)的充要条件是在(a,b )内f (x) 0 ( f (x) 0)，且使f (x)0的点x不充满(a,

10、b )的任何子区间。(V) 曲线的渐近线定义当曲线无限伸展时，若曲线上的点与某一直线的距离趋于0,则称该直线为曲线的渐近线。渐近线的求法：铅直渐近线 若对于x，有lim f (x)，则x x0就是y f (x)的铅直渐近线。X xq水平渐近线 若lim f (x) y0，则y y0为y f (x)的水平渐近线。x斜渐近线若a lim上凶 及b lim f (x) ax都存在，则y ax b为y f(x)x xx的斜渐近线。(VI) 曲线的曲率 设M为曲线y f (x)上一点，M1为曲线y f (x)上异于M的任一点，弧MM1的长记为 s，过M与M1的两切线间的夹角为，当M g (x)，则对任意

11、x必有f (x) g(x)对吗？为什么?8、若f (x)在X。至少二阶可导，且lim竺学X 刈(x X0)1，则函数f (x)在X = Xo处取得极大值还是极小值，为什么?9、已知函数y f (x)对一切x满足xf (x)3x f (x)2X1 e ，若f (x)在某一点X0丰0处有极值，问f(x。)是极大值还是极小值？为什么?10、若f(X。) 0,则点(X。，f(x。)必为函数曲线yf (x)的拐点，对吗？为什么?分析典型例题分析试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法。lim 11，因为xX(1) lim x x si nx上式等号是错误的cosx时1 cosx的极限

12、不存在(振荡)不能使用罗必塔法则。limXxsin xlimX1sin x1x(2)limXXeXeXeXelimX2xe1e1lim 务 1x 2e分析第一个等号是正确的，第二个等号是错误的。 种不同的极限过程，分两种情况考虑。因为本题应考虑分析X e lim e所以当x(3)设 g(0)1lim1 e2xe2X-X e limeXeXelimX2xe 12xe时极限不存在。(0)0,g (0)上式第一个等号是正确的。因为当0 时，g(x) 0, x2lim理辺10 2 20，所以警是-型2 0未定式。又因为g (0)2，在x=0的某邻域内g (x)存在，可以用罗必塔法则。第二个等号是错误的

13、。虽然x 0时，2x o,g(x)0，貯是I未定式，但g (0)2，仅代表f(x)在点x=0处二阶导数存在。而 g (x)在x=0的邻域内是否存分析分析在没有说明，不满足罗必塔法则中的条件 算。lim翌x 0 x2limx 0 2xlim皿n (n)2,故不能用罗必塔法则，应该按导数定义计1lim9(x) 9(0)1g(0)12x 0 x 02nimn 0上述运算是错误的。因为列不存在导数，不能直接用罗必塔法则。计算时，应的函数 虫。当x时，是一型未定式，可以使用罗必塔法则求函数的极xx限。显然，如果函数的极限存在，数列的极限也存在且等于函数的极限。但也需注意， 如果函数的极限不存在，数列的极

14、限可能还存在。1因 limX x(5)求 lim (1x 0limx1x)xx1.(1 x)x e limx 0=|叫(11X）；1= elim -xx 0 2为自然数，数列的定义域是离散点集，对自变量n而言数可先将n扩充为连续变量x，写出相0,所以，当x为正整数时(1 x)1/xJl n(1 limxx 01(1 x) ln(1 x) x2(1 x)=lim0(1x)lim 旦 0 n n1x(1 x)丄1x)xx (1 x)l n(1x)x2e2上述解法是正确的。这是0型未定式，可应用罗必塔法则0;而且为了简化运算，在第二个等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限

15、的因式 提出来单独求极限，避免使用罗必塔法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用 法则，这样计算大大简化。3 112求（1） lim x （sinsin ）;xx 2x（2） lim WcosVx。x 0（1 ）属0型未定式。lim x3(sin1sin?)lim小xJlimxcos13 x = 2lim3x 8x.3sin -2xcos-)x.1sin -2x.11 . 2sin sinx2 x123 .x 2sin sin2x31(丈抵)(2)属 1Ximo12x型未定式。1(cos、x)x，贝U ln yIn cos、x ln y limx 0 x所以-lim3x12xIn cos I

16、 xxlim -x 0 COSx11 coslim xx122 cosXx34x12x12、x-lim2 x 0tg xxlim x cos x lim y”x 0例3 如果a,a1, , an为满足a。2na。ax a?xanx对于幕指函数的未定式1 ,00,分析依题意要证明的是 a0 a a2a1a2an0的实数，证明方程23n 10在(0, 1)内至少有个实根。nan0,01，把它改写成0都可以按上式的方法计算。,a1 2 a2 3(axx x23an n x n 1这是罗尔定理结论的形式，因此可以构造辅助函数f(x) axa12x22a 3x3ann 1x n 1用罗尔定理证明。证 设

17、辅助函数f(x)2ai2 a 3a0x x x23ann 1x n 1f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,f (0)f (1)0。由罗尔定理知在0,1)内至少有一点使得f ( )=0, (0 1)，即2a2an0,所以方程在(0，1)内至少有一个实根。例4 设函数f (x)在闭区间0, 1上的每个x都有0v f (x) v 1，且f (x)丰1,证明在(0, 1)内有且仅有一个x，使f (x) = x。分析将要证的结论写成f (x) -x=0，利用介质定理可证方程在0,1内至少有一个实根,是否存在第二个实根可用反证法。证先证存在性设 F(x) f (x) x, F (x)在0,1上的

18、连续，由于 0 v f (x) v 1,则F(0)f(0)0, F(1) f (1) 10,由连续函数的介值定理可知，至少存在一点x1 (0,1)，使得F(xJ 0,即f (x1) x1。再证唯一性，用反证法：假设在(0, 1 )内除了点f区)=捲之外，还有一点x2也使f(x2) = x2。不妨设x1V X2由于F(x)在X1 , X2上满足拉格朗日中值定理的条件，因此在(捲,X2)内存在一点f(X2) f(X1) X2 X1x2 X1X2 X1这与题设f (x)1相矛盾，因此方程 f(x) =x有唯一的实根。小结证明方程只有一个实根或函数在某一区间上只有一个零点，一般需分别证存在性与唯一性。

19、存在性的证明往往利用连续函数的介值定理或罗尔定理，而唯一性经常用反证 法。例5 假设f(x)是a,b上的正值可微函数，则有点 (ab )，使Inf(b)f(a)a)分析 假设等式成立，把它改写成In f(b) In f(a)b af ()f()显然，上式左端是函数In f (x)在a,b上增量与区间长度之比，右端是 In f (x)在x点的导数。因此，可以构造辅助函数In f (x)，用拉格朗日中值定理证明。证 设F(x) = In f(x)，F(x)在a,b上连续，在(a,b )内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，故有 Inf(b) Inf(a)丄n，( a b) b af()f (b) f

20、 ()心、即In(b a)f(a) f()例6 设f (x)在xj, x2上可导，且0 v x1 0 时， 0, e 1, xe x，从而 e 1+ x，当 x 1+ x，所以当 x 0 时，ex 1 x证法用柯西中值定理。设 f (x) = ex, F(x)=1+x ,在()内任取x，在0 , X或X , 0内f(X)、F(x)满足柯西中值定理的条件。在0，x或x，0上连续；在(0,0)内可导；在(0，x )( x ,0 )内 F (x)=1F(x)F(0) x故有ex e0(1 x) 17，(在0与x之间)；当x 0时，e 1,xe 1+ x ；x V 0 时,xe 1.e v 1,1,x

21、xe 1+x ,所以0 时，ex 1 x。证法用泰勒公式。2 x 2!x这就证明了f(x) = ex，将ex在x=0点展开为一阶麦克劳林公式与x之间)因为当 x丰0时 x2 0，所以 ex2!xe 1 x小结 禾U用拉格朗日中值定值、柯西中值定理和泰勒公式证明不等式的关键是构造适当的辅助函数和选择适当的区间，使它满足定理的条件。其次是如何将等式转化成不等式，主要是把f ()适当放大或缩小从而得到所要证明的不等式。例8设f(x)在a1,b1上连续，在(a1,b1 )内有一阶、二阶导数且f f (b) 0, f (a) 0,a1 abb,试证在开区间(a, b)内至少存在一点使f ( ) 0分析

22、由f (a)0知在a点的右邻域内存在一点c,使得f(c) 0,a c b。又f(a) f(b) 0自然想到将a,b分成a,c , c,b二个区间，在每个区间上对f(X)应用拉格朗日中值定理，找到f ( 1), f ( 2)。选定1 , 2】闭区间，再次应用拉格朗日中值定理即可得到结果。又，由于f (x)在a,b内二阶可导，f(a) f(b) 0 ,且研究的结论是f() 0,而泰勒公式中包含二阶导数，自然想到也可以用泰勒公式证明。证法1用拉格朗日中值定理。由 f (a) |im f(X) f(a)|im 丄凶 0 可知，存在 0，当 c (a,a )x a x axaXa时，丄 0，从而，f(c

23、) 0,在a,c，c,b上f (x)满足拉格朗日中值定理条件,x a故在a,c上有(a1c)(c2b)1，2 上有f (c) f (a) f f(c)f ( i)，c ac a在b 上有 f(b) f(c) f () f(c)在c,b上有f ( 2)b cb c又f (X)在1，2上满足拉格朗日中值定理条件，故在f ( 2) f ( 1)2 1因为f (c) 0, c a 0, b c 0 ,所以f ( 1) 0, f ( 2) v0又因2 0, f ( 2) f ( 1) v 0，所以 f ( ) v 0。证法2 用泰勒公式。由题设(a)limx af(x) f(a)x alimx af(x

24、)x a0得到，在(a,b)内必存一点c使得f(c) 0,a c b。设f (x)在x点取得最大值，f (x) 0,a X。b, f() f(c) 0,f (x)f (X0) f(X0)(X X0)十(X X0),(在 x 与 X0之间)f ( )2令 x a，则有 f (a)f (xo) f (xo)(a x)(a x)f ()2f( )2f(xo)2(a X。)，即2F(a X。)f (xo) o，所以 f ( ) v o。小结证明包含二阶以上导数的有关结论，如果用拉格朗日中值定理，就要分析题目条件选定二个以上适合中值定理条件的区间，多次应用拉格朗日中值定理。泰勒公式中含有 各阶导数值，也

25、可以用来证明与二阶以及以上导数有关的命题。例9 求函数f (x) sin x cosx的极值(ow x o,4此题为可导函数且在驻点处便。2xx已知函数f (x)x 1,f (x)2x2x(11,f (0)limx of(x)所以,limx o所以f(4)所以fq)f (x) o,. 2为极大值。、2为极小值。所以找出驻点后，用第二充分条件进行判断方o,问x为何值时,o,f(x)取得极值。In x), xf(o)x o2x2x(1 ln x)o，当x=o时,olim -X o x1,f(o)limof(x) f(o)x olimx ox2x 1当x=o时，f (x)不存在。令 f (x)=o,

26、即 2x2x(1 ln x) =o，得驻点 x顺序排列，把函数的定义域(11 、,(将可疑点x =o及x 按大小 ee)分成三个部分区间，讨论在各部分区间上一阶导数的符号。)11当 x v 0 时，f (x) 0 ；当 0v x v 时，f (x) 0 ；当 x 时，f(x)0 时，4f (x) g (x)。因此，当 x 0 时，f(x) g(x),曲线 y f (x)及 yg(x)不会相交；当x0时，方程无实根，故方程以0为其最大实根。(2) g(x) sinx cosx2sin(x)为周期 T=2 的周期函数,它在直线y 2 及4y2间来回振动。而f (x) e2x，当 x时，f(x)0,

27、即曲线 y f(x)以x轴为渐近线，故两曲线y f(x)及 yg(x)在(,0)内无限多次相交,所以原方程有无限多个根。例192证明不等式x si nxx 当 0x 2时成立。证令 f (x) x sin x，则 1f (x)1 cosx0,x(0,2)所以f (x)在0,空上单调增，当02(2)令 g(x) sinx x，则 g (x)(0, )内不单调，要证当:2令sin xx 3时 f(x) f (0) =0 即 x sinxcosx 在(0,)可正可负，因此 g(x)在22 sinx 2 jx，证即可。为此，g(x) x，而 g (x)xcosx2xsin xcosx2 (x tanx) x由于当0x 时，cosx 0,tanx2x，所以g (x)0。函数 g(x)在(0,)内单调减小,因此，当0 x 2时，有 g(x) g(彳，即sinx 2x所以-x si nx x(0例20若0 x 1及p 1,求证:12卩1xp (1 x)p 1分析因中间部分是x的函数，两端是常数且式中出现等号，故可联想到闭区间上的连续函数，在该区间上一定能取得最值，且其函数值介于最小值与最大值之间