圆锥曲线定点、定直线、定值问题.

1、定点、定直线、定值专题1C 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3 ，最小值为 1 、已知椭圆（）求椭圆C 的标准方程；（）若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A， B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标【标准答案】 (I) 由题意设椭圆的标准方程为x2y21(ab0)a2b2ac3, ac 1 ， a2, c1,b23x2y21.43ykxm4k 2 ) x24(m2(II) 设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，由x2y2得 (38mkx3) 0

2、，43164m2 k 216(34k 2 )(m23)0 ， 3 4k 2m20 .xx8mk, xx24(m23) .123 4k2134k2y1y2(kx1m) ( kx2m)k 2 x1 x2mk( x1x2 )m23(m24k 2 ).34k 2以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0), kADkBD1，y1y21，x12x22(最好是用向量点乘来) y1 y2x1x22(x1x2 )40 ，3(m24k 2 )4( m23)16mk4 0 ，3 4k23 4k 23 4k 27m216mk4k 20 ，解得 m12k, m22k，且满足 3 4k 2m20.7当 m2k 时，

3、 l : yk ( x2) ，直线过定点(2,0), 与已知矛盾；当 m2k时， l : yk( x2) ，直线过定点( 2 ,0).77( 2 ,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为72、已知椭圆 C 的离心率 e3， A 22 , 0。（）求椭圆 C 的方程；，长轴的左右端点分别为 A 1 2 , 02（）设直线 x my1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线 A 1 P 与 A 2 Q 交于点 S。试问：当 m 变化时，点 S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。Cx2y 21 ab01a2b2a2 ec3c3b 2a2c214a2

4、Cx 221542ym0, P1,3,Q1,333A 1 Pyx3,226A 2Qy3x3,S14,3.7 ,2P 1,3,Q1,3S24,3 .22S: x48m,A 1PA 2QSx2y21: x44xmy1my24y24,m24 y22my301P x1 , y1,Qx 2 , y2y1y 22m,y1 y2m239m244A 1PS0 (4, y 0 ),y0y1, y06y 1 .42x12x12A 2QS0 (4, y0),y02y2, y02y 2.104x 22x 22y0y 06y12y 26y1my 212y 2my134my1 y26 y1y2x12 x22x12 x 2

5、2x12 x 2212m12mm24 m24012x12x 22y0y0S0 S0mS: x413m0, P1,3,Q1,3A 1Py33x,A2Q2263y3 x3,S14,3.72m1, P8,3,Q0,1A 1P11A 2 Q1yx,yx24,1 .5561,S32S: x48m, 直线 A 1P 与直线 A 2Q 的交点 S 均在直线x2y21 得以下证明对于任意的: x4 上。事实上，由4xmy122即24 y22my3 0，记Px,y， ,则Qmy14y4,112m2y1y2m,y y3。 9分2221m2m44A 1P 的方程是yy1x2 , A2Q 的方程是y2x2 , 消去

6、y, 得y1x 2y2x2x12y2x1 22x 2x2以下用分析法证明x4 时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明6y12y 2, 即证x 1 2x 2 23y1my21y2my13 即,证 2my 1y2 3 y1y2 .2my 1y3 yy6m6m20,式恒成立。 这说明，当 m 变化时， 点 S 恒在定直线: x4 上。m24m241x 2y21 得 my24y 24, 即 m24 y2解法三：（）由42my30 。1xmy1记 Px1 , y1,Qx 2 , y2，则 y1y 22m,y1 y23。 6 分22m4m4A 1P 的方程是 yy1x2 , A 2 Q 的方程是 yy2x

7、2 ,7 分x12x 2 2yy1x2,x12y1y2由得x2x2 ,9 分y2x 22y2x2,x1x 22即 xy2x12y1x 222y 2my13y1 my 212my1y 23y2y122 y1 x 2y 2 my13 y1 my223y 2y1y2 x1212m332my1y14m42m224.12 分2m3y1y14m2这说明，当 m 变化时，点 S恒在定直线: x4 上。 13 分3、已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21 ，离心率为 e22（）求椭圆 E 的方程；（）过点1, 0 作直线交 E 于 P 、Q 两点，试问：在 x 轴上是

8、否存在一个定点M ，MPMQ 为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由x222ac21解：（ I）设椭圆 E 的方程为 x2y21 ,由已知得：c2。2 分aba2a22221椭圆E 的方程为x 2y21 。3 分c1bac2（）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设 P(x1 ,y 1),Q(x2 ,y 2 ) ，则：MP(x 1m, y1 ),MQ(x 2m, y2 ),MPMQ(x 1m)(x 2m)y1 y2x1x2m(x 1x 2 )m2y1y 2 。 5 分当直线 l的斜率存在时，设直线l的方程为： yk(x1) ，则由x2y21得 x22k2(x1)22

9、02yk(x1)(2k21)x24k2x(2k22)0 x1x 24k 2, x1x 22k227 分2k212k2122k2y1 y2k (x 1 1)(x21) k x 1x 2(x1x 2 ) 12k21所以 MP MQ2k 22m4k2m2k 2(2m24m1)k 2(m22)9 分2k212121212k2k2k5 ，对于任意的 k 值， MP MQ 为定值，所以 2m24m12(m22) ，得 m4所以 M(5,0),MPMQ7 ；11 分416当直线 l的斜率不存在时，直线l: x1,x 1x 22,x 1x 21,y 1y 2125得MP MQ7由 m416综上述知，符合条件的

10、点M 存在，起坐标为513 分(,0) 4法二：假设存在点M(m,0) ，又设 P(x1 ,y 1),Q(x2 ,y 2 ), 则： MP(x 1m,y 1),MQ(x 2m,y 2 )MPMQ(x 1m)(x 2m)y1y 2 = x1x 2m(x 1x2 )2y1y2 .5 分m当直线 l的斜率不为0 时，设直线 l的方程为 xty1，由x2y 21得 (t22)y 22ty10y1y22ty 217 分2t2,y 122xty12tx1x2(ty11) (ty 21)t2 y1y2t(y1y 2 )1t22t 2t 222t 22t22t22x1x 2t(y 1y2 )22t 22t 2

11、44t 22t22MP MQ2t 224mm21(m22)t22m24m19 分t22 t22t22t 22设MP MQ则 (m22)t 22m24m1t22(m22)t22m24m1(t22)m220m545M(11 分(m 22 )t 22m 24m 1 2 02m24m 1 2 07,0)416当直线 l的斜率为 0时，直线 l : y0，由 M(5 ,0) 得：4MP MQ(25252527) (4)16416综上述知，符合条件的点M 存在，其坐标为(5。 13 分,0)44、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x24y的焦点，离心率e2，过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不

12、垂直的直线l ，交椭圆于 A 、 B 两点。5（ I ）求椭圆的标准方程；（）设点 M ( m,0)是线段 OF 上的一个动点，且(MA MB)AB ，求 m 的取值范围；（）设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N，使得 C、B、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（ I）设椭圆方程为x2y21(ab0) ，由题意知 b1a2b2a2b2225故椭圆方程为x2y21a 25a5（）由（ I）得 F (2,0)，所以 0m2 ，设 l 的方程为 y k( x2)（ k0 ）代入 x2y21，得 (5k 21)x220k2 x20k

13、 250设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),5220k2则 x1x220k5y1y2k ( x1x2 4), y1y2k( x1x2 )5k 2, x1 x25k 2,11MAMB( x1 m, y1)(x2m, y2 )( x1x22m, y1y2 ), AB(x2x1, y2y1)(MAMB)AB,( MAMB )AB0,( x1x22m)( x2x1)( y2y1 )( y1y2 )020k212m4k 20,(85m)k 2m0 由 k 2m0,0m8 ，5k25k 2185m5当 0m8(MAMB)AB 成立。时，有5N ( 5 ,0) ，使得 C 、 B 、 N 三

14、点共线。依题意知（）在 x 轴上存在定点C(x1,y1 ) ，直线 BC 的方2程为 y y1y2y1 ( xx1 ) ， 令 y0 ，则 xy1 (x2x1 )x1y1 x2y2 x1x2x1y2y1y2y1l 的方程为 yk ( x2), A 、 B 在直线 l 上，y1k( x12), y2k( x22) xk( x1 1)x2k ( x21)x12kx1x22k( x1x2 )k( x1x2 ) 4kk( x1x2 ) 4k2k20k 252k20k2555k 2125k 21在 x 轴上存在定点20k2N ( ,0) ，使得 C B N 三点共线。k4k25k21解法二：（）由（ I

15、 ）得 F (2,0)，所以 0m2 。设 l 的方程为 yk( x2)( k0),代入 x2y21，得(5k 21)x220k 220k250设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则5x1x220k 220 k25y1y2k ( x1x24)4k, y1y2k( x1 x2 )5k 2, x1 x25k 215k 211(MAMB) AB,|MA| |MB|,(x1m) 2(x1x2 2m)( x1x2 ) ( y1 y2 )( y1y2 )0,222y1( x2m)2y2 ,(1 k )( x1x2 )2m 4k0,(8 5m)kmm8k2188) k 0, k205

16、k255(5k21当 0m8时，有 (MAMB )AB 成立。500m85（）在 x 轴上存在定点N(5,0) ，使得 C、 B、 N 三点共线。2设存在 N (t,0), 使得 C 、 B 、 N 三点共线，则 CB / CN ，C B ( xx,yy) , C N ( t1,x，)y (x2 x1 ) y1(t x1 )( y1y2 ) 012211即 (x2x1 )k( x12) (t x1 )k (x1x24) 0 2x1x2 (t 2)( x1x2 ) 4t 020k 25(t2)20k 20 ，5存在 N(5C B N 三点共线。214tt,0) ，使得5k25k 21226、（福

17、建卷） 已知椭圆 x 2y 21 的左焦点为 F ，O 为坐标原点。2（）求过点O、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围 .本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：（I）a22, b21c1,F(1,0), l : x2.圆过点 O、 F，1M 在直线 x上。2设 M (1 ,t ), 则圆半径 r(1)(2)3 .222由 OMr , 得 (1 )2t 23 ,解得 t2.22所求圆的方程为( x1 )2( y2) 29 .24（ II ）设直线