任意角的三角函数的数学教案

1、任意角的三角函数的数学教案【教学目标：】1通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值2掌握已知角 终边上一点坐标，求四个三角函数值（即给角求值问题）【教学重点：】任意角的三角函数的定义【教学难点：】任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示【教学用具：】直尺、圆规、投影仪【教学步骤：】1设置情境角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题2探索研究（1）复习回忆锐角三角函数我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、

2、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示（2）任意角的三角函数定义如图1，设 是任意角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，当角 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为 ，则 定义：比值 叫做 的正弦，记作 ，即 比值 叫做 的余弦，记作 ，即 图1比值 叫做 的正切，记作 ，即 同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢？利用三角形相似的知识，可以得出对于角 ，这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关，只与角 的大小有关请同学们观察当 时， 的终边在 轴上

3、，此时终边上任一点 的横坐标 都等于0，所以 无意义，除此之外，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义比值 叫做 的余切，记作 ，则 比值 叫做 的正割，记作 ，则 比值 叫做 的余割，记作 ，则 可以看出：当 时， 的终边在 轴上，这时 的.纵坐标 都等于0，所以 与 的值不存在，当 时， 的值不存在，除此之外，对于确定的角 ，比值 ， ， 分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数（3）三角函数是以实数为自变量的函数对于确定的角 ，如图2所

4、示， ， ， 分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数即：实数角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）（4）三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3图3设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角 的终边（当 为第一、四象限时）或其反向延长线（当 为第二、三象限时）相交于 ，当角 的终边不在坐标轴上时，我们把 ， 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有：这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线当角 的终边在